2024-2025学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某地区二氧化碳的排放量达到峰值亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式：，若经过年，该地区二氧化碳的排放量为亿吨已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为亿吨，则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
8.已知定义在上的函数满足，对任意的，，且，恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，函数的部分图象，则( )
A. 的最小正周期为
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 直线是图象的一条对称轴
11.已知函数关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是( )
A. 函数的零点个数为
B. 实数的取值范围为
C. 函数无最值
D. 函数在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的零点所在区间为，，则的值为______
13.若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为______．
14.科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声如图所示已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为下述四个结论：
函数是奇函数；
函数在区间上单调递减；
对于，都有；
，使得．
其中所有正确结论的编号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
Ⅰ若，求，及；
Ⅱ若，求的取值范围．
16.本小题分
已知不等式的解集是．
求常数的值；
若在上单调递减，求实数的取值范围．
若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知锐角的终边与单位圆相交于点．
Ⅰ求实数及的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ若，且，求的值．
18.本小题分
近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鲫、蚂鱼等养殖为主方向为扩大养殖规模，某鳄鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．
Ⅰ求扇形的面积；
Ⅱ若，求矩形的面积；
Ⅲ若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
19.本小题分
已知函数．
判断的单调性，并用单调性的定义证明；
若对，都有成立，求实数的取值范围；
是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当，，
则或，，；
Ⅱ因为，所以，
当时，，显然成立；
当时，，显然不成立；
当时，，因为，，，即，
综上，
故的取值范围为．
16.不等式的解集是，
所以和是方程的解，且，
由韦达定理得，解得．
若在上单调递减，
则，即，解得，
则实数的取值范围为．
若关于的不等式的解集为，
则，解得，
所以实数的取值范围为．
17.解：由于点在单位圆上，且是锐角，
可得，，
则，；
Ⅱ因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，
可得，，
所以；
Ⅲ由题意得，，
则，
所以
．
18.解：扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，
点在圆弧上，点在边上，且，米，设；
Ⅰ由题意，，扇形半径即米，
则扇形的面积为平方米；
Ⅱ在中，，，
在中，，则，
，
则停车场面积：
，，
所以，其中；
Ⅲ，其中，
由，
则当时，即时，，
当时，取得最大值，最大值为．
19.解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
那么，
，
因为，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增．
因为，所以，
所以，
由第问知在上单调递增，所以，
所以，即对恒成立．
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，所以
由第问知，在上单调递增，
所以，
所以，为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，且．
第1页，共1页
