2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
3.圆心为且过原点的圆的一般方程是( )
A. B.
C. D.
4.若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是( )
A. B. C. D.
7.圆与直线的位置关系是( )
A. 直线与圆相交但不过圆心 B. 相切
C. 直线与圆相交且过圆心 D. 相离
8.若圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为( )
A. 或 B. 或 C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，，，这样的数称为“三角形数”，而把，，，这样的数称为“正方形数”如图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( )
A. B.
C. D.
10.在下列四个命题中，正确的有( )
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
11.已知椭圆：内一点，则，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的焦点坐标为、 B. 椭圆的长轴长为
C. 直线的方程为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：与：的距离为______．
13.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，且，为坐标原点，则的面积为______．
14.设椭圆：的左、右焦点分别为、，点、在上位于第一象限，且点、关于原点对称，若，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
三个顶点的坐标分别是，，．
求外接圆的方程；
若圆与直线交于，两点，求的弦长．
16.本小题分
如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．
求证：平面；
求平面与平面所成夹角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
过点，且斜率不为的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
已知数列的前项和为
求，；
求这个数列的通项公式．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
求的方程；
如图，过点的直线异于轴与交于点，，过左焦点作直线的垂线交圆于点，，垂足为．
若点，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
记，的面积分别为，，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，，，
设圆的方程为，
将三点的坐标代入可得：，解得，
所以圆的方程为；
由知，圆心到直线的距离，
而半径，
所以弦长．
即的弦长为．
16.解：证明：在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，
，，为棱上的点，且，
平面，且，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
又，，平面；
由得，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面与平面所成夹角为，
，
，
平面与平面所成夹角的正弦值为．
17.解：因为双曲线的右焦点为，
所以，
因为渐近线方程为，
所以，
又，
联立，
解得；
则双曲线的标准方程为；
易知直线的斜率存在，
设直线的方程，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得，
由韦达定理得，
所以，
易知点到直线的距离为，
所以的面积为，
解得或舍去，
则．
故直线的方程为或．
18.解：因为数列的前项和为，
所以，；
当时，，
当时，，
当时，上式也满足，
故数列的通项公式．
19.解：因为的短轴长为，离心率为，
所以，
解得，
则的方程为；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
此时，
所以
；
若，的面积分别为，，
此时，，
因为，
所以，
由椭圆的对称性可知，
所以，
因为直线的方程为，
所以，
因为，
所以直线的方程为，
联立，
解得，，
所以，
此时，
令，，
则，
所以，
易知函数在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即．
综上所述，的取值范围为．
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