河北省张家口市尚义一中等校 2024-2025 学年高一下学期开学数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 ： > 0，总有( 1) < 1，则命题 的否定为( )
A. ≤ 0，使得( 1) ≥ 1 B. > 0，使得( 1) ≥ 1
C. > 0，总有( 1) ≥ 1 D. ≤ 0，总有( 1) ≥ 1
1
2.函数 ( ) = √ + 4 + 的定义域为( )
1
A. [ 4, +∞) B. (1, +∞)
C. [ 4,1) ∪ (1, +∞) D. ( 4,1) ∪ (1, +∞)
3.非空集合 {1,2,3,4,5,6}，并且 中的元素满足条件：如果 ∈ ，则7 ∈ ，适合上述条件的集合 的
个数是( )
A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
4.若 为第二象限角，则一定成立的是( )
A. 2 > 0 B. 2 < 0 C. 2 > 0 D. 2 < 0
5 √ 3
5.已知sin(2 ) = ，则cos( 2 ) =( )
6 3 3
√ 3 √ 3 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.已知函数 ( ) = 1( 2 2 + 9 )在(3, +∞)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
3
A. ( ∞, 3] B. [3, +∞) C. [ 3,3] D. ( 3,3]
1
7.已知函数 ( ) = 2 + ( )| |，则不等式 (2 + 1) > ( 1)的解集为( )
2
A. ( 2,0) B. ( ∞, 2) ∪ (0, +∞)
C. (0,2) D. ( ∞, 0) ∪ (2, +∞)
8.已知函数 ( ) = 4 3 3 + (2 2 + 6) 2 3 + 1，当 > 0时， ( ) ≥ 0恒成立，若 ( )的最小值为0，
则 =( )
A. ±2√ 2 B. 2√ 2 C. ±4 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知幂函数 ( )的图象经过点(√ 5, )，则( )
5
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A. ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞) B. ( )的值域是(0, +∞)
C. ( )为奇函数 D. ( )为定义域上的减函数
10.已知正数 ， 满足 + = 4，且 ≠ ，则( )
A. 2 + 2 < 8 B. < 4 C. 2 < 16 D. 1( ) > 2
2
7
11.已知 ∈ (0, ), + = ，则下列结论正确的是( )
17
8
A. ∈ ( , ) B. =
2 17
15 7
C. = D. =
8 17
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = 3 1( > 0，且 ≠ 1)的图象过定点 ，则点 的坐标是______．
13.周长为4 的扇形取得面积最大值时的半径为______ ．
8 3, ≤
14.已知 ( ) = { 2 , ∈ ，使得方程 ( ) = 有两解，则实数 的取值范围是______． 4 , >
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记不等式 ≥ 0( ∈ )的解集为 ，不等式 2 + 2 3 > 0的解集为 ．
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)若 ∩ ( ) ≠ ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
(1)计算： 81 + 25 + 4 9 × 8 + 2 23 23 2 3 ；
3
cos( + )sin( + ) 1
(2)已知 是第三象限角，且 2 = ．
sin( )tan( )sin( ) 4
2
①求 的值；
②求sin2 + 3 的值．
17.(本小题12分)
√ 2
在以原点为圆心的单位圆中，钝角 的终边与单位圆相交于点 ( , )，连接圆心 和 得到射线 ，将射
2
线 绕点 按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，其中 ∈ (0, )．
2
(1)求 的值和钝角 的大小；
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4 3
3
( )+2 2( + ) 4 ( )
(2)求 2 2 的值；
2+2 2( + )+sin( + )
2
√ 5 7
(3)记点 的横坐标为 ( )，若 ( ) = ，求cos( ) + cos( )的值．
3 5 12 12
18.(本小题12分)
( )
若函数 ( ) = 2 2 + 7 + 2 + ( > 0)在区间[ 1,0]上有最大值8和最小值3，设 ( ) = ( ≠ 0)．
(1)求 ， 的值；
(2)若不等式 (2 ) 2 ≥ 0在 ∈ [0,2]上有解，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 1(2 + 1) + ( 为常数， ∈ )，且 ( )是偶函数．
2
(1)求 的值；
(2)若函数 ( ) = (2 ), ( ) = 2 [2 2
2 2 ( )]( > 0, ≠ 1)，问是否存在正实数 ，使关于
的不等式 ( ) ≤ 0对 ∈ [log23,2]恒成立，若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(3,0)
13.【答案】1
1
14.【答案】( , +∞)
2
15.【答案】解：不等式 ≥ 0( ∈ )的解集为 ，不等式 2 + 2 3 > 0的解集为 ．
(1)易知不等式 ≥ 0( ∈ )的解集为 = { | ≥ }，
不等式 2 + 2 3 > 0的解集为 = { > 1或 < 3}；
当 = 1时可得 = { | ≥ 1}，
因此 ∪ = { | ≥ 1或 < 3}；
(2)由(1)可知 = { | 3 ≤ ≤ 1}；
若 ∩ ( ) ≠ ，可知需满足 ≤ 1即可．
所以实数 的取值范围为( ∞, 1]．
9
16.【答案】解：(1)原式= 343 + lg(25 × 4)
3 × 23 + 3 2
332
32
= 4 + 102 3 × 3 2 + 3 2
2 33
2
= 4 + 2 × 3 32 + 3 2 32
= 4 + 2 2 × 3 + 3 2 = 1．
(2)①由题意可得：
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3
cos( + )sin( + )
2
sin( )tan( )sin( )
2
( ) cos2 1
= = 2 = ，则tan
2 = 4，
cos ( tan )( sin ) sin 4
∵ 是第三象限角，∴ = 2．
② ∵ 是第三象限角，∴ ≠ 0，
2 sin
2 +3
∴ sin + 3 = ．
sin2 +cos2
tan2 +3 4+3×2
= = = 2．
tan2 +1 4+1
√ 2 √ 2
17.【答案】解：(1)依题意可得 2 + ( )2 = 1，解得 = ± ，
2 2
√ 2
又因为 为钝角，所以 < 0，则 = ，
2
√ 2
易知 = ，又 ∈ ( , )，
2 2
3
因此可得 = ；
4
√ 2
(2)由(1)可知 = ，
2
4 3 +2 2 +4
所以原式= = 2 = √ 2；
2+2 2 +cos
3
(3)由题意可得 ( ) = cos( + )；
4
√ 5 3 5 √ 5
所以 ( ) = ，即cos( + ) = cos( + ) = ；
3 5 3 4 12 5
5 5 11
因为 ∈ (0, )，所以 + ∈ ( , )，
2 12 12 12
5 2√ 5
因此sin( + ) = ；
12 5
7 5 5
所以cos( ) + cos( ) = cos( + ) + cos( + )
12 12 12 2 12
5 5 2√ 5 √ 5 3√ 5
= sin( + ) cos( + ) = ( ) = ．
12 12 5 5 5
7
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 2 + 7 + 2 + ( > 0)关于 = 对称，
4
若 ( )在区间[ 1,0]上单调递增，
( 1) = 2 7 + 2 + = 3
则{ ，解得 = 1， = 6；
(0) = 2 + = 8
( ) 8
(2)由(1)可得 ( ) = 2 2 + 7 + 8， ( ) = = 2 + + 7，
8
(2 ) 2×2
+ +7 1 1
不等式 (2 ) 2 ≥ 0等价于 ≤ 2 2 = = 8 ( ) + 7 + 2， 2 2 2 2
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1 1
令 = ∈ [ , 1]，可得 ≤ 8 2 + 7 + 2， 2 4
不等式 (2 ) 2
1
≥ 0在 ∈ [0,2]上有解等价为 ≤ (8 2 + 7 + 2) , ∈ [ , 1]； 4
2 1由二次函数性质可得 = 8 + 7 + 2在[ , 1]上单调递增，
4
所以 = 17，因此 ≤ 17．
即可得实数 的取值范围为( ∞, 17]．
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = (2 1 + 1) + 的定义域为 ，
2
∵ ( )是偶函数，∴ ( ) ( ) = 0，
2 +1
∴ ( ) ( ) = 1(2 + 1) + [ 1(2 + 1) ] = 1 + 2 = 12 + 2 = (2 2 +1
2 2 2 2
1) = 0，
1
∴ 2 1 = 0，解得 = ．
2
1
(2)由(1)知 ( ) = (2 1 + 1) + ，
2
2
则 ( ) = (2 ) = 1(22 + 1) + = (22 1 + 1) 12 = 1(2 + 2 ) = 2(2
+ 2 )，
2 2 2 2
可得 ( ) = [22 2 2 2 (2
2 +2
)
] = [2
2 2 2 (2
+ 2 )]，
若不等式 ( ) ≤ 0对 ∈ [log23,2]恒成立，即 [2
2 2 2 (2
+ 2 )] ≤ 0，
令 = 2 ∈ [3,4]，可得 [
2 2 ( + 1)] ≤ 0，
可知 2 2 ( + 1) > 0对任意 ∈ [3,4]恒成立，
且 + 1 > 0，可得 1 > ，
8
∵ ( ) = 1在[3,4]内单调递增，则 ( ) ≥ (3) = ，
3
8
可得0 < < ，且 ≠ 1，
3
1
若0 < < 1，则 2 2 ( + 1) ≥ 1，可得 1
+ 1
≥ ，
∵ ( ) = 1， ( ) = + 1在[3,4]内单调递增，
1 71
可知 ( ) = 1 1在[3,4]内单调递增，则 ( ) ≥ (3) = ， + 30
71
可得 ≤ ，即0 < < 1符合题意；
30
8
若1 < < ，则 2 2
1
( + 1) ≤ 1，可得 1 1 ≤ ， 3 +
∵ ( ) = 1， ( ) = + 1在[3,4]内单调递增，
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可知 ( ) = 1
1 239
1在[3,4]内单调递增，则 ( ) ≤ (4) = ， + 68
239
≥
可得{ 68 ，不等式组无解；
8
1 < <
3
综上，存在正实数 符合题意，实数 的取值范围为(0,1)．
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