6.3角的培优训练人教版2024—2025学年七年级上册
一、知识梳理
1.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．
2.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.
3.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.
4.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.
度分秒加法与减法：度与度相加减，分和分相加减，秒和秒相加减，加法计算结束后，满60进一；减法如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″.
二、典型例题
专题一、 钟面上的角度问题
例1.9点20分时，时针与分针所成的角是多少度？（小于平角）
变式1.4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．以上结论都不对
变式2.由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是________度．
变式3.钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 ．
变式4.钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在4：00时，分针的位置为OB，时针的位置为OA，运动后的分针为OP，时针为OQ（本题中的角均指小于180°的角）．
（1）求4：00开始几分钟后分针第一次追上时针；
（2）若在4：00至5：00之间，OM在∠AOP内，ON在∠AOQ内，∠POM＝∠AOP，∠NOQ＝∠AOQ．
①当OP在∠AOB内时，求∠POM和∠AON之间的数量关系；
②从4：00开始几分钟后，∠MON＝111°．
专题二、 角的折叠与拼接
例2. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接既不重叠又不留空隙）（ ）
A．75° B．105° C．120° D．125°
变式1.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，其中中∠α＝∠β的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2.如图,将长方形纸片的一角斜折，使顶点A落在A'处，EF为折痕，再将另一角斜折，使顶点B落在EA’上的B‘处，折痕为EG，观察并估计∠FEG的度数，再测量经行验证，你能说出理由么？若折角∠AEF=30°，则∠AEG等于多少度？
变式3.把一张长方形纸条按图那样折叠后若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=_________
变式4.将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC等于多少
变式5.将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板ADE始终摆放在直线MN下方，三角板ABC可绕点A任意旋转．已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°．设∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150）．
（1）当m+n＝0时，求∠CAE的度数；
（2）当n＝2m（m≠0）时，求∠CAM与∠MAE的数量关系；
（3）当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系．
专题三、 角的和、差、倍、分
例3.如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OB是∠COE的平分线，∠COB＝5∠BOD．
（1）∠BOD的度数；
（2）∠AOE的度数．
变式1.如图，已知点O为直线AB上一点∠COE＝62°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若∠AOF＝3∠BOE，求∠FOD的度数．
变式2.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数.
变式3.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，O N平分∠BOC，求∠MON的度数.
变式4.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
变式5.如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．
变式6.如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
（1）若，求∠BOE的度数；
（2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数．
变式7.已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
变式8.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
变式9.已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB的下方且互不重合，OD在OE的右侧，∠BOC＝120°，∠DOE＝α．
（1）如图1，α＝80°，当OD平分∠BOC时，求∠AOE的度数；
（2）如图2，若∠DOC＝2∠BOD，且α＜80°，求∠BOE的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，点M在射线OA上，把射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线ON是∠MOC的四等分线，且3∠CON＝∠MON，请求出在运动过程中4∠AON+∠BOM的值．
变式10.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数．
（2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值．
②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值．
