6.2平行四边形的判定
一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列四个选项中不能判定四边形 是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
2.如图，在中，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方交于点D，连接，则的度数是( )
A． B． C． D．
3.如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是( )
A． B． C． D．
4.如图，点是平行四边形ABCD内的一点，过点作直线、分别平行于、，与平行四边形ABCD的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
5.如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为( )
A． B． C． D．
6.如图，在四边形中是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为( )秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形
A．1 B． C．1或 D．或2
二、填空题
7.如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．
8.已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，，，，，若，则DC的长为 ．
9.如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是 ．
10.如图，在平行四边形ABCD中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ．
11.如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
三、解答题
12.如图，在平行四边形ABCD中，，相交于点，点，分别为，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平行四边形ABCD的面积为，直接写出四边形的面积．
13.如图：， APE和均为直线同侧的等边三角形，点P在内．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若中，，，，求四边形的面积．
14.如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
15.如图，在平行四边形ABCD中，点为中点，延长相交于点，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，若，求的长度．
16.如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
17.如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．
18.在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若平分，，，求四边形的面积．
19.如图，在四边形中，，E为中点，延长到点F，使．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求四边形的面积．
20.如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，如果，求的周长．
(3)如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度．
21.如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动(P与点不重合)，点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则 ， ．
(2)当时，求的长；
(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，结合选项逐项分析，即可求解．
【详解】解：A. ∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B. 根据，，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
C. ∵，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D. ∵，
∴，
又
∴
∴
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2.D
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先判断出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：D．
3.A
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
；
；
∴四边形是平行四边形，故B正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又，
，
，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故C正确；
∵四边形是平行四边形，
；
又∵，
，
；
；
；
∴四边形是平行四边形，故D正确；
添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形，
故选：A．
4.B
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴，，
∵过点作直线、分别平行于、，
∴，，
∴四边形均为平行四边形，
∴加上平行四边形ABCD共9个．
故选B．
5.D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6.C
【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
分别从当运动到和之间、当运动到和之间去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵是的中点，
由题意可知：，则，
①当运动到和之间，设运动时间为，
∴，
解得：；
②当运动到和之间，设运动时间为，
解得：，
∴当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，为顶点的四边形是平行四边形，
故选：C．
二、填空题
7.
【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：添加条件，
四边形是平行四边形，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：．
8.
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质．过点C作于F，过点A作于H，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由是等腰直角三角形，可得，然后根据直角三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：过点C作于F，过点A作于H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
9.
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和平行四边形的判定，根据平行四边形的面积公式即可作答．
【详解】
又，
四边形是平行四边形
四边形的面积：
故答案为：．
10.
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
先根据平行四边形的判定与性质可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
11.2或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可．
【详解】解：如图1，四边形是平行四边形，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
如图2，四边形是平行四边形，作于点G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点F与点G重合，
∴，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
三、解答题
12.(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(2)解：∵平行四边形ABCD的面积为，
∴，
∵点，分别为，的中点，，
∴，
∴，
由(1)可知，四边形是平行四边形，
∴．
13.(1)证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形．
(2)解：如图所示，过作垂直的延长线于，
，，，
，
又，
，
，而
，
又
．
14.(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
(2)解：∵平分，
∴，
由()得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
15.(1)证明：由题意得，，
，
又点为的中点，
，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；
(2)解：∵四边形为平行四边形，
∴，AB=DF=3，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴，，
∴，即 CBF是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
16.(1)证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
(2)解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
17.(1)证明：，，
四边形是平行四边形；
(2)四边形是平行四边形，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：；
(3)∵DG⊥CE，
，
即，
中，，
，
，
，
．
18.(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
(2)解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由(1)得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
19.(1)证明：∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
在 ADE和中，
∴，
∴；
(2)由(1)得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
(3)∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
20.(1)∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∴，
∴
(2)∵四边形为平行四边形，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为；
(3)如图，在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
21.(1)解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
(2)当时，
是等边三角形，
，
解得∶，
；
(3)，理由如下∶
，
，
又，
，
；
(4)的长度不变．
连接，如图：
，
，且
四边形是平行四边形
