2024年永和中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）9的倒数是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．
2．（3分）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×10﹣10吨 B．1.5×10﹣11吨
C．15×10﹣12吨 D．1.5×10﹣9吨
3．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（ ）
A．90棵，120棵 B．100棵，100棵
C．120棵，100棵 D．100棵，120棵
5．（3分）如图，将直尺与含30°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝52°，则∠2的大小是（ ）
A．68° B．78° C．88° D．98°
6．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．若b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
8．（3分）如图，已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌坐成一圈，每人离圆桌的距离均为10厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使10人都坐下，并且在圆周上坐10人时每两个相邻的人之间的圆弧的长与原来坐8人时每两个相邻的人之间的圆弧的长相等．设每人向后挪动的距离为x厘米，根据题意，可列方程为（ ）
A．2π（80+10）×8＝2π（80+x）×10
B．2π（80+10﹣x）×10＝2π（80+10）×8
C．
D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝58°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF分别交AB，AC于点E，F．若点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，则∠BPC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．119° D．116°
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a2﹣ab﹣12b2＝ ．
12．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ．
13．（3分）如果一个正n边形的内角和小于外角和，那么n等于 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为 ．
15．（3分）如果关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），过点B的直线m⊥y轴，点P在直线m上运动，△APC是AP右侧的等腰直角三角形，且∠APC＝90°，点C在直线y＝﹣x+11上，则当AC+BC取最小值时点P的横坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）．
18．（6分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°．
（1）用尺规作∠BAC的角平分线AP交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BE＝2cm，求CE的长．
19．（6分）在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
（1）小张恰好坐在①号座位的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
20．（8分）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某中学组织学生们到离学校3000m的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发25min后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝25min 25
解法二 设… 等量关系：3×步行的速度＝骑自行车的速度 3
任务：
（1）解法一所列的方程中的x表示 ，解法二所列的方程中的x表示 ；
A．步行的速度为x m/min
B．骑自行车的速度为x m/min
C．步行的时间为x min
（2）任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度．
21．（8分）如图， ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H．
①求证：AH CH＝DH GH；
②若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
22．（8分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
（1）求证：△BOQ≌△POQ；
（2）若直径AB的长为12．当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形，并说明理由．
24．（10分）[观察猜想]
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．则AE与EP的数量关系是 ．
[实践探究]
希望小组的同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并求出∠DCP的度数．
[拓展迁移]
突击小组的同学深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP，知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2﹣5kx﹣8交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且8AO＝3CO．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，其横坐标为m，连接PC、AC、PA，PA交y轴于点D，△ACD的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在PD上（点F不与点P重合），过点F作FR⊥x轴交抛物线于点R，FR交PC于点M，连接CR，点E在CR上，连DE、PE，PE交FR于点N，若∠CDE＝∠PAB，FM：MR＝3：5，CE：ER＝3：2，求N点坐标．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D A B A D C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：9的倒数是，
故选：D．
2．解：150吨×10﹣12＝1.5×10﹣10吨．
故选：A．
3．解：A．俯视图是三角形，故本选项符合题意；
B．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C．俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；
D．俯视图是正方形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．解：将这8个数按从小到大的顺序排列为60，70，90，100，100，120，120，120，位于最中间的两个数分别为100，100，
∴这8个班级植树棵数的中位数为（棵），
∵120出现的次数最多，
∴众数为120棵，
故选：D．
5．解：如图：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵∠1＝52°，
∴∠CBD＝∠1+∠ABC＝112°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠EBD＝68°，
故选：A．
6．解：设m＝2k，n＝3k，
则
，
故选：B．
7．解：A、将x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的根，故符合题意；
B、若b＝0且方程存在实数根时，x＝±，两根一定互为相反数，故不符合题意；
C、若ac＜0，则﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根；故不符合题意；
D、若b＝2a+c，则b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意．
故选：A．
8．解：由题知，
当8个人坐一圈时，
因为圆桌的半径为80厘米，且每人离圆桌的距离均为10厘米，
所以相邻的两个人之间的圆弧长为：厘米．
当10个人坐一圈时，
因为圆桌的半径为80厘米，每人离圆桌的距离均为10厘米，且每人向后挪动的距离为x厘米，
所以相邻的两个人之间的圆弧长为：厘米，
所以，
即．
故选：D．
9．解：∵点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，
∴∠EBP＝∠EPB，∠FCP＝∠FPC．
∵∠EPB+∠BPC+∠FPC＝180°，
∴∠EBP+∠BPC+∠FCP＝180°．
∵∠PBC+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠EBP+∠FCP＝∠PBC+∠PCB．
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，即∠A+∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝180°，
∵∠A＝58°，
∴∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝122°，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝119°．
故选：C．
10．解：从函数图象看，y＝0的点在2.18和2.68之间，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：原式＝（a﹣4b）（a+3b）．
故答案为：（a﹣4b）（a+3b）
12．解：设函数解析式为I（k≠0）．
把（2，3）代入函数解析式得，
∴k＝3×2＝6，
∴I．
故答案为：I．
13．解：∵任意多边形的外角都为360°，如果一个正n边形的内角和小于外角和，
∴（n﹣2）×180°＜360°，
解得：n＜4，
又∵n≥3且n为正整数，
∴n＝3，
故答案为：3．
14．解法一：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝CD，
∴点D为BC的中点，
∵点E为AC的中点，
∴DEAB＝5，
故答案为：5．
解法二：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点E为AC的中点，
∴DEAC＝5，
故答案为：5．
15．解：，
解得：，
则不等式组的解集是：，
∵不等式组有4个整数解，
∴2＜m+1≤3．
故答案为：1＜m≤2．
16．解：设点P的坐标为（a，4），
过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点C作CF⊥BP，垂足为F，连接A'C，A'B，A'B与MN交于C'，如图．
∵BP∥OA，PE⊥OA，
∴∠EPF＝∠PEO＝90°．
∵∠APC＝90°，
∴∠EPA＝∠FPC＝90°﹣∠APF．
在△PEA和△PFC中，
，
∴△PEA≌△PFC（AAS），
∴PF＝PE＝4，CF＝AE＝|3﹣a|．
∴点C的坐标为（a+4，7﹣a）．
∴点C始终在直线y＝﹣x+11上运动．
设直线y＝﹣x+11与x轴、y轴分别交于点M、N，如图．
当x＝0时，y＝11，当y＝0时，x＝11，
∴M（11，0），N（0，11）．
∴OM＝ON＝11．
∵∠AOB＝90°，
∴∠OMN＝45°．
作点A关于直线MN作对称点A′，连A′C、A′M，
则A′C＝AC，A′M＝AM＝11﹣3＝8，∠A′MN＝∠AMN＝45°．
∴∠A′MA＝90°，
∵AC+BC＝A′C+BC≥A'B．
∴AC+BC最小值为A′B长，此时C位于C'处．
∵BN∥A′M，
∴△BC'N∽△A′C'M．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：，
解得xC，
∴a+4，
∴a，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：（π﹣1）02cos45°
＝1﹣3+25
＝1﹣35
＝3．
18．解：（1）如图所示，AP为所求．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AP为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴AE＝CE，
在Rt△ABE中，EB＝2cm，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝4cm，
∴CE＝4cm．
19．解：（1）∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同，
∴小张恰好坐在①号座位的概率为．
故答案为：；
（2）①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种，
∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为．
20．解：（1）根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为x m/min；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为x min．
故答案为：A，C；
（2）解法一：设步行的速度为x m/min，则骑自行车的速度为3x m/min，
根据题意得：25，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
此时3x＝240（m/min），
答：步行的速度为80m/min，骑自行车的速度为240m/min；
解法二：设步行的时间为x min，则骑自行车的时间为（x﹣25）min，
根据题意得：3，
解得：x，
经检验，x是原方程的解，
此时80（m/min），240（m/min），
答：步行的速度为80m/min，骑自行车的速度为240m/min；
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴1，
∴AF＝AB；
（2）①证明：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴，
∴AH CH＝DH GH；
②解：由①得△DCH∽△AGH，
∴，即，
∴GH＝1.2．
22．解：（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y．
（2）令y＝0，则2x+1＝0，
∴x．
∴A（，0）．
∴OA．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC1．
∴△ABC的面积AC BC．
23．（1）证明：∵BM切⊙O于点B，
∴OB⊥BQ，
∴∠OBQ＝90°，
∵PA∥OQ，
∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，
而OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP，
∴∠POQ＝∠BOQ，
在△BOQ和△POQ中，
，
∴△BOQ≌△POQ（SAS）；
（2）解：当PE＝6时，四边形AEOP为菱形，理由如下：
∵PE⊥AB，
∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，
∵OCOA＝3，
∴PC3，
∴PE＝2PC＝6．
故答案为：6．
24．解：[观察猜想]取AB的中点F，连接EF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∵F、E分别为正方形的边AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
[实践探究]在AB上取AF＝EC，连接EF，如图，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∵∠B＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
[拓展迁移]如图，连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，PG，
由（2）知∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°＝∠OCG，
∴∠DGC＝45°，
∴CD＝CG，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP＝AP+PG≥AG，
∴AP+DP最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，∠ABC＝90°，
由勾股定理得，
∴△ADP周长的最小值为；
25．解：（1）令x＝0得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），即CO＝8，
∵8AO＝3CO，
∴AO＝3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）代入得：
3+15k﹣8＝0，
解得k，
∴抛物线解析式为yx2x﹣8；
（2）过P作PG⊥x轴于G，如图：
由x2x﹣8＝0得x＝﹣3或x＝8，
∴B（8，0），
∵点P是第一象限抛物线上一点，其横坐标为m，
∴m＞8，
∴PGm2m﹣8，
∵∠DAO＝∠PAG，∠AOD＝90°＝∠AGP，
∴△AOD∽△AGP，
∴，
而AG＝m﹣（﹣3）＝m+3，
∴OD（m2m﹣8）m﹣8，
∴SCD AO（m﹣8+8）×3m，
答：S与m之间的函数关系式是Sm（m＞8）；
（3）过P作PH⊥y轴于H，如图：
∵A（﹣3，0），P（m，m2m﹣8），C（0，﹣8），
∴直线AP解析式为yx+m﹣8，直线CP的解析式为yx﹣8，
设F（t，t+m﹣8），（t＜m），则M（t，t﹣8），R（t，t2t﹣8），
∴FMt+m﹣8﹣（t﹣8）＝m﹣t，
MRt﹣8﹣（t2t﹣8）tt2，
∵FM：MR＝3：5，
∴（m﹣t）：（tt2）＝3：5，
解得m＝t（舍去）或t＝5，
此时t2t﹣8＝﹣8，
∴R（5，﹣8），
∵C（0，﹣8），
∴CR⊥y轴，∠DCE＝90°，
∵PH⊥y轴，
∴∠PHD＝90°，∠PAB＝∠DPH，
∵∠CDE＝∠PAB，
∴∠CDE＝∠DPH，∠DCE＝∠PHD＝90°，
∵CD＝OC+OD＝8+m﹣8＝m＝PH，
∴△PDH≌△DEC（AAS），
∴DH＝CE，
∵R（5，﹣8），C（0，﹣8），CE：ER＝3：2，
∴CECR5＝3，DH＝3，E（3，﹣8），
∵OH＝OD+DH＝m﹣8+3＝m﹣5，H（0，m2m﹣8），
∴m2m﹣8＝m﹣5，
解得m＝﹣1（舍去）或m＝9，
∴P（9，4），直线PE解析式为y＝2x﹣14，
把x＝t＝5代入得y＝﹣4，
∴N（5，﹣4）．
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