浙江省嘉兴市 2024-2025学年九年级数学上学期期末试卷
1．（2025九上·嘉兴期末）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·嘉兴期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025九上·嘉兴期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．两个负数的和是正数
B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球
C．任意画一个三角形，内角和为
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
4．（2025九上·嘉兴期末）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·嘉兴期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·嘉兴期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025九上·嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·嘉兴期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·嘉兴期末）如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B．或 C．或1 D．1
11．（2025九上·嘉兴期末）正六边形的每个内角等于 °．
12．（2025九上·嘉兴期末）在相同条件下对某品种绿豆进行发芽试验，得到如下的数据：
每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数 96 282 382 570 949 1902 2850
发芽频率
则估计这种绿豆的发芽概率是 ．
13．（2025九上·嘉兴期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ．
14．（2025九上·嘉兴期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ．
15．（2025九上·嘉兴期末）在直角坐标系中，已知点，，点在线段上，设，则的最大值为 ．
16．（2025九上·嘉兴期末）如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ．
17．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数．
（1）求函数图象与坐标轴的交点坐标．
（2）当时，直接写出的取值范围．
18．（2025九上·嘉兴期末）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
（1）从中随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率．
（2）从中随机摸出一个球，放回后摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法，求两次摸出的球颜色相同的概率．
19．（2025九上·嘉兴期末）如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
20．（2025九上·嘉兴期末）如图，是正三角形．
（1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积．
21．（2025九上·嘉兴期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
（1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
22．（2025九上·嘉兴期末）如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，．
（1）在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？
（2）当点落在边上时（如图3），求的长．
23．（2025九上·嘉兴期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
24．（2025九上·嘉兴期末）如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】由二次函数一般顶点式的顶点坐标为，可得答案； 解题时，应快速从函数式中提取出h和k的值，从而确定顶点坐标 .
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、根据有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意；
B、 因为袋中只有黑球，没有白球 ，∴在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意；
C、因为任意三角形的内角和总是180°，所以任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意；
D、 因为抛掷硬币时，正面和反面朝上的可能性都是存在的，且在每次抛掷前无法预测结果，所以抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，∴设a=3k，b=2k，
.
故答案为：A．
【分析】由已知可设a=3k，b=2k，从而代入待求式子分子合并同类项后约分化简即可.
5．【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
6．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：观察函数的图象可知，
图象与直线有3个交点，
∴方程的实数根有3个.
故答案为：C.
【分析】从图象角度看，求方程的实数根，就是求函数的图象与直线y=1交点的个数，结合图象，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接OC，根据垂径定理得OC⊥AB，OD⊥AB，AC=AB=4，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线；设，则，由勾股定理得建立方程可求出OA的长，代入公式计算即可．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠B=55°，最后根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴，，EF∥GH，
∵，
∴，
∵EF∥GH，
∴，
∴；
∵图中为四个全等的直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得，，EF∥GH，从而由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得出，结合全等三角形性质得出，在Rt△BCF中，根据勾股定理求出，得出，再根据勾股定理算出CE即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 二次函数得图象向右平移3个单位，
平移后的函数图象经过原点，
，
整理得：，
∴二次函数的对称轴为直线为，
①当时，
当时函数值有最小值，
当时，，
，
，
解得：；
②当时，
，
当时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或1．
故答案为：C．
【分析】由二次函数图象平移的规律“左加右减”得，由平移后函数图象经过原点得，由抛物线的对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线；分类讨论：①当时，由题意得时，函数有最小值y=2，从而代入可求出b的值；②当时，由图象上离对称轴越远的点函数值越小得出当x=-4时函数值最小为y=-2，从而代入可求出b的值，综上即可得出答案.
11．【答案】120°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： =120°，
故答案为：120°
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
12．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格中的数据可知，绿豆粒数越多，发芽的频率越稳定在附近，
∴这种绿豆的发芽概率是0.950．
故答案为：0.950．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可.
13．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由折叠性质得，
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍掉）.
故答案为：．
【分析】由折叠性质得，从而根据相似多边形的对应边成比例建立方程，求解可得答案.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵、是的中线，，
∴，，
∵HD∥BC，
∴，
∴，，
设，则，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理得，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边（或两边的延长线，）可证△DMH∽△BME，△AHD∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得，，，设，则，，即可求得比值．
15．【答案】-3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线为，将点，分别代入得
∴，
解得，
∴直线为，
∵点在线段上，
∴，
∴，
∵，
∴当时，t有最大值为．
故答案为：-3．
【分析】根据A、B两点的坐标，利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据直线上点的坐标特点得，从而整体代入t=n-m2，可得t关于m的二次函数解析式，进而结合二次函数的性质即可求得最值．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
17．【答案】（1）解：令二次函数 中的，得，
∴ 二次函数 与轴的交点坐标为，
令二次函数 中的，
得，
解得：，，
二次函数 与轴的交点为，；
（2）解：当y＞0时，x的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，分别令二次函数解析式中的、，算出对应的y与x的值，即可求解；
（2）当y＞0时，x的取值范围，就是求位于x轴上方图象自变量的取值范围，从而根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解.
（1）解：∴令，则；
∴与轴的交点坐标为，
令，解得：，，
与轴的交点为，．
（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
18．【答案】（1）解：由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．
（2）解：记三个红球为红1、红2、红3，依题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式，用布袋中红球的个数比上袋中小球的总个数，即可得出答案；
（2）此题是抽取放回类型，记三个红球为红1、红2、红3，根据题意画出树状图，由图可知：共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，从而利用概率公式计算即可.
（1）由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．
（2）记三个红球为，
依题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
19．【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：，
，即，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
20．【答案】（1）解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆．
（2）解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
，
扇形的面积为：．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）三角形外接圆得圆心是三边垂直平分线的交点，故作线段AB和AC的垂直平分线，它们的交点为圆心O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠AOB=120°，再利用扇形面积公式即可解答．
（1）解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆．
（2）解：，
扇形的面积为．
21．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：能通过，理由如下：
当时，，
能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可；
（2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可．
（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：当时，，
能通过．
22．【答案】（1）解：如图2，当点不在直线上时，
，，，
，
图1中的、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
答：在旋转过程中，与之间始终保持；
（2）解：图1中的、分别为、的中点，
，，，，
，
点在上，
，
由（1）可得：，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，有中点定义得AD=4，AE=5，则，由旋转的性质得，根据角的构成推出，从而用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质及邻补角互补得，由（1）可得，，则，在Rt△CDE中由勾股定理算出CE，然后根据即可求出的长．
（1）解：如图2，当点不在直线上时，
，，，
，
图1中的、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
答：在旋转过程中，与之间始终保持；
（2）解：图1中的、分别为、的中点，
，，，，
，
如图3，
点在上，
，
由（1）可得：，，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：（答案不唯一）
（2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），
将（x，-x），代入y=x2-mx-3，
得，则，
，
∴此方程存在两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“点”；
②∵这两个“点”的横坐标分别是，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
∴y=-x，
∴方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
【分析】（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；
（2）①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），将（x，-x），代入y=x2-mx-3，得，则，根据即可求证；
②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解；
（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
24．【答案】（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）由、得：，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
∴∠GCD+∠DCB=∠A+∠ACG，
即，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】连结EF，根据直径所对的圆周角是直角可知EF是直径及∠EDF=90°，易得∠CDE=∠CDF=45°，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证CF=CE；
根据等腰直角三角形的性质求得AC=BC=6，设DE=x，在Rt△DEF中，用含x的式子表示出EF，进而再根据等腰直角三角形的性质可得，则有，根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=∠DEC，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似证△ADF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，此题得解；
由同位角相等两直线平行得EF∥AB，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠BCD，从而由AAS判断出△ACG≌△BCD，得AG=BD；根据平行线性质、角的构成及三角形外角性质推出∠GCB=∠CGD，由等角对等边得BC=BG，设CE=a，EB=b，由，整理可得．
（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
浙江省嘉兴市 2024-2025学年九年级数学上学期期末试卷
1．（2025九上·嘉兴期末）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】由二次函数一般顶点式的顶点坐标为，可得答案； 解题时，应快速从函数式中提取出h和k的值，从而确定顶点坐标 .
2．（2025九上·嘉兴期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
3．（2025九上·嘉兴期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．两个负数的和是正数
B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球
C．任意画一个三角形，内角和为
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、根据有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意；
B、 因为袋中只有黑球，没有白球 ，∴在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意；
C、因为任意三角形的内角和总是180°，所以任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意；
D、 因为抛掷硬币时，正面和反面朝上的可能性都是存在的，且在每次抛掷前无法预测结果，所以抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．（2025九上·嘉兴期末）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，∴设a=3k，b=2k，
.
故答案为：A．
【分析】由已知可设a=3k，b=2k，从而代入待求式子分子合并同类项后约分化简即可.
5．（2025九上·嘉兴期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
6．（2025九上·嘉兴期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：观察函数的图象可知，
图象与直线有3个交点，
∴方程的实数根有3个.
故答案为：C.
【分析】从图象角度看，求方程的实数根，就是求函数的图象与直线y=1交点的个数，结合图象，即可得出答案.
7．（2025九上·嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接OC，根据垂径定理得OC⊥AB，OD⊥AB，AC=AB=4，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线；设，则，由勾股定理得建立方程可求出OA的长，代入公式计算即可．
8．（2025九上·嘉兴期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠B=55°，最后根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数.
9．（2025九上·嘉兴期末）如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴，，EF∥GH，
∵，
∴，
∵EF∥GH，
∴，
∴；
∵图中为四个全等的直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得，，EF∥GH，从而由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得出，结合全等三角形性质得出，在Rt△BCF中，根据勾股定理求出，得出，再根据勾股定理算出CE即可.
10．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B．或 C．或1 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 二次函数得图象向右平移3个单位，
平移后的函数图象经过原点，
，
整理得：，
∴二次函数的对称轴为直线为，
①当时，
当时函数值有最小值，
当时，，
，
，
解得：；
②当时，
，
当时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或1．
故答案为：C．
【分析】由二次函数图象平移的规律“左加右减”得，由平移后函数图象经过原点得，由抛物线的对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线；分类讨论：①当时，由题意得时，函数有最小值y=2，从而代入可求出b的值；②当时，由图象上离对称轴越远的点函数值越小得出当x=-4时函数值最小为y=-2，从而代入可求出b的值，综上即可得出答案.
11．（2025九上·嘉兴期末）正六边形的每个内角等于 °．
【答案】120°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： =120°，
故答案为：120°
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
12．（2025九上·嘉兴期末）在相同条件下对某品种绿豆进行发芽试验，得到如下的数据：
每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数 96 282 382 570 949 1902 2850
发芽频率
则估计这种绿豆的发芽概率是 ．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格中的数据可知，绿豆粒数越多，发芽的频率越稳定在附近，
∴这种绿豆的发芽概率是0.950．
故答案为：0.950．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可.
13．（2025九上·嘉兴期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由折叠性质得，
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍掉）.
故答案为：．
【分析】由折叠性质得，从而根据相似多边形的对应边成比例建立方程，求解可得答案.
14．（2025九上·嘉兴期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵、是的中线，，
∴，，
∵HD∥BC，
∴，
∴，，
设，则，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理得，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边（或两边的延长线，）可证△DMH∽△BME，△AHD∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得，，，设，则，，即可求得比值．
15．（2025九上·嘉兴期末）在直角坐标系中，已知点，，点在线段上，设，则的最大值为 ．
【答案】-3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线为，将点，分别代入得
∴，
解得，
∴直线为，
∵点在线段上，
∴，
∴，
∵，
∴当时，t有最大值为．
故答案为：-3．
【分析】根据A、B两点的坐标，利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据直线上点的坐标特点得，从而整体代入t=n-m2，可得t关于m的二次函数解析式，进而结合二次函数的性质即可求得最值．
16．（2025九上·嘉兴期末）如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
17．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数．
（1）求函数图象与坐标轴的交点坐标．
（2）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：令二次函数 中的，得，
∴ 二次函数 与轴的交点坐标为，
令二次函数 中的，
得，
解得：，，
二次函数 与轴的交点为，；
（2）解：当y＞0时，x的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，分别令二次函数解析式中的、，算出对应的y与x的值，即可求解；
（2）当y＞0时，x的取值范围，就是求位于x轴上方图象自变量的取值范围，从而根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解.
（1）解：∴令，则；
∴与轴的交点坐标为，
令，解得：，，
与轴的交点为，．
（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
18．（2025九上·嘉兴期末）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
（1）从中随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率．
（2）从中随机摸出一个球，放回后摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法，求两次摸出的球颜色相同的概率．
【答案】（1）解：由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．
（2）解：记三个红球为红1、红2、红3，依题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式，用布袋中红球的个数比上袋中小球的总个数，即可得出答案；
（2）此题是抽取放回类型，记三个红球为红1、红2、红3，根据题意画出树状图，由图可知：共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，从而利用概率公式计算即可.
（1）由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．
（2）记三个红球为，
依题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
其中两次摸出的球颜色相同共有10种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
19．（2025九上·嘉兴期末）如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：，
，即，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
20．（2025九上·嘉兴期末）如图，是正三角形．
（1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积．
【答案】（1）解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆．
（2）解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
，
扇形的面积为：．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）三角形外接圆得圆心是三边垂直平分线的交点，故作线段AB和AC的垂直平分线，它们的交点为圆心O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠AOB=120°，再利用扇形面积公式即可解答．
（1）解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆．
（2）解：，
扇形的面积为．
21．（2025九上·嘉兴期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
（1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：能通过，理由如下：
当时，，
能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可；
（2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可．
（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：当时，，
能通过．
22．（2025九上·嘉兴期末）如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，．
（1）在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？
（2）当点落在边上时（如图3），求的长．
【答案】（1）解：如图2，当点不在直线上时，
，，，
，
图1中的、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
答：在旋转过程中，与之间始终保持；
（2）解：图1中的、分别为、的中点，
，，，，
，
点在上，
，
由（1）可得：，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，有中点定义得AD=4，AE=5，则，由旋转的性质得，根据角的构成推出，从而用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质及邻补角互补得，由（1）可得，，则，在Rt△CDE中由勾股定理算出CE，然后根据即可求出的长．
（1）解：如图2，当点不在直线上时，
，，，
，
图1中的、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
答：在旋转过程中，与之间始终保持；
（2）解：图1中的、分别为、的中点，
，，，，
，
如图3，
点在上，
，
由（1）可得：，，
，
，
，
．
23．（2025九上·嘉兴期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：（答案不唯一）
（2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），
将（x，-x），代入y=x2-mx-3，
得，则，
，
∴此方程存在两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“点”；
②∵这两个“点”的横坐标分别是，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
∴y=-x，
∴方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
【分析】（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；
（2）①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），将（x，-x），代入y=x2-mx-3，得，则，根据即可求证；
②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解；
（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
24．（2025九上·嘉兴期末）如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）由、得：，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
∴∠GCD+∠DCB=∠A+∠ACG，
即，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】连结EF，根据直径所对的圆周角是直角可知EF是直径及∠EDF=90°，易得∠CDE=∠CDF=45°，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证CF=CE；
根据等腰直角三角形的性质求得AC=BC=6，设DE=x，在Rt△DEF中，用含x的式子表示出EF，进而再根据等腰直角三角形的性质可得，则有，根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=∠DEC，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似证△ADF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，此题得解；
由同位角相等两直线平行得EF∥AB，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠BCD，从而由AAS判断出△ACG≌△BCD，得AG=BD；根据平行线性质、角的构成及三角形外角性质推出∠GCB=∠CGD，由等角对等边得BC=BG，设CE=a，EB=b，由，整理可得．
（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
