第8章 实数单元提升卷
【人教版2024】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．
2．（3分）（23-24七年级·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
3．（3分）（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A．2.7 B． C． D．
4．（3分）（23-24七年级·河南商丘·期末）若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B． C．16 D．9
5．（3分）（23-24七年级·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（ ）
A． B． C． D．8
6．（3分）（23-24七年级·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（23-24七年级·广东珠海·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）若，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24七年级·广东广州·期末）的平方根是 ； ．
12．（3分）（23-24七年级·福建泉州·期末）在实数中，最小的实数是 ．
13．（3分）（23-24七年级·全国·期中）在、、、、、中，无理数的个数是 ．
14．（3分）（23-24七年级·甘肃嘉峪关·期末）若，满足，则的值是 ．
15．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）（23-24七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·内蒙古呼和浩特·期中）求下列式中的x值：
(1)
(2)
18．（6分）（23-24七年级·四川南充·期中）计算：
(1)；
(2)．
19．（8分）（23-24七年级·浙江温州·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示．
(1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______．
(2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________
(3)将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：________________________；
负数：________________________
20．（8分）（23-24七年级·广西南宁·期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求的平方根．
21．（8分）（23-24七年级·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
22．（8分）（23-24七年级·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① ，② ．
23．（8分）（23-24七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
(1)仿照以上方法计算：________；=________；
(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；
(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．
(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第8章 实数单元提升卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方根以及算术平方根，立方根的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：的平方根是，故选项A正确；
的平方根是，故选项B正确；
是的算术平方根，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选C．
2．（3分）（23-24七年级·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
3．（3分）（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A．2.7 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，，
由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间，
∴点表示的无理数为，
故选：D．
4．（3分）（23-24七年级·河南商丘·期末）若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B． C．16 D．9
【答案】D
【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可．
【详解】解： 与是同一个数的两个不相等的平方根，
，
解得，
，
，即这个数是9．
故选D．
5．（3分）（23-24七年级·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可.
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
∴，
故选：B
6．（3分）（23-24七年级·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可．
【详解】解：第次计算得：，而是有理数，
第次计算得：，而是有理数，
第次计算得：，是无理数，
故选：D．
7．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
8．（3分）（23-24七年级·广东珠海·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
9．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
10．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）若，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算，，，，的算术平方根，并进行化简即可．
【详解】解：，，，，
．
故选C
【点睛】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出，，，，的算术平方根是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24七年级·广东广州·期末）的平方根是 ； ．
【答案】 3
【分析】根据平方根以及立方根的计算法则即可解答；
【详解】的平方根是：；
；
故答案为：；3．
【点睛】该题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，解答的关键是熟悉这些概念，注意正负号．
12．（3分）（23-24七年级·福建泉州·期末）在实数中，最小的实数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的大小比较．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
根据题意可得，最小的实数为 ．
【详解】∵，，，且，
∴，
∴，
∴最小的实数是．
故答案为：．
13．（3分）（23-24七年级·全国·期中）在、、、、、中，无理数的个数是 ．
【答案】
【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．
【详解】解：在下列各数：、0.2、、、、中，
根据无理数的定义可得，无理数有、两个．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
14．（3分）（23-24七年级·甘肃嘉峪关·期末）若，满足，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，然后根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：，
且，
即，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的非负性和算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x，y的值是解题的关键．
15．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可；
【详解】解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：1；
阴影部分的面积为：；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键.
16．（3分）（23-24七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·内蒙古呼和浩特·期中）求下列式中的x值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的意义，
（1）利用立方根的意义解答即可；
（2）利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，，
，．
18．（6分）（23-24七年级·四川南充·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了实数运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值的求解，正确化简各数是解题关键．
（1）直接利用立方根以及算平方根分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．（8分）（23-24七年级·浙江温州·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示．
(1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______．
(2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________
(3)将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：________________________；
负数：________________________
【答案】(1)；；
(2)①见解析；②
(3)，；，
【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可；
（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为；
②利用数轴上点的特点进行解答即可；
（3）根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为．
故答案为：；；．
（2）解：①如图，
∵正方形的面积为：，
∴正方形的边长；
②根据数轴可知，．
故答案为：．
（3）解：无理数：，；
负数：，．
故答案为：，；，．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数与数轴．
20．（8分）（23-24七年级·广西南宁·期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)x和b的值分别为和
(2)
【分析】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的整数部分是解题的关键．
（1）由题意知，，，可求，则，然后作答即可；
（2）由，可得，根据的平方根为，代值求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
解得，，
∴，
∴x和b的值分别为和；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为，
∴的平方根为．
21．（8分）（23-24七年级·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小．
先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可．
【详解】解：方案一可行．
∵正方形木板的面积为，
正方形木板的边长为．
如图所示，沿着裁剪，
∵，
只要使就满足条件；
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为、宽为，
则，即，
解得（负值已舍去），
所裁长方形的长为，
∵，
所裁长方形的长大于正方形的边长，
方案二不可行．
22．（8分）（23-24七年级·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① ，② ．
【答案】(1)①两；②9；③3；39
(2)①；②0.81
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，，，
，
是两位数，
故答案为：两；
②的个位上的数是9，而，
个位上都是9，
的个位上的数是9，
故答案为9；
③，，，
的十位上的数是3，
又 的个位上的数是9，
，
故答案为：3，39；
（2）解：①的立方根是负数，
，，，
，
是两位数，
∵的前三位为117，后三位为649，，，
，
十位上的数为4，
∵的个位上的数是9，而，
个位上是9，
∴的立方根为49，
∴；
②∵，
∵，，，
，
是两位数，
∵的前三位为531，后三位为441，而，
∴，
∴十位数为8，
∵，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
∴，
故答案为：，0.81．
23．（8分）（23-24七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
(1)仿照以上方法计算：________；=________；
(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；
(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．
(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】(1)2，6；
(2)1，2，3
(3)四次之后结果为1，详见解析
(4)15，详见解析
【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，
（1）根据题意得，，，则，即可得；
（2）根据，，，x为正整数，即可得；
（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得；
解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，6；
（2）∵，，，x为正整数，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）∵第一次：，
第二次：，
第三次：，
第四次：，
∴第四次之后结果为1；
（4）（4）最大的是15，理由如下，
由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，
故答案为：15．
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