第9章 二元一次方程组（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x,y的值为(A)
A. B. C. D.
2.用代入消元法解方程组时,把②代入①,代入正确的是(C)
A.2x-5(3x+1)=4 B.2x-5(1-3x)=4
C.2x-5(3x-1)=4 D.2x-5(-1-3x)=4
3.(2024·青岛即墨模拟)已知a,b满足方程组,则a+b的值为(A)
A.2 B.4 C.-2 D.-4
4.(2024·宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求,大,小箱都要装满,则所装的箱数最多为(C)
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(2024·德州陵城模拟)在解方程组时,一同学把c看错而得到,正确的解应是,那么a,b,c的值是(B)
A.不能确定 B.a=0,b=-1,c=-2
C.a,b不能确定,c=-2 D.a=4,b=7,c=2
6.已知,均是关于x,y的二元一次方程2x-y=a的解,则k的值是(B)
A.24 B.25 C.11 D.12
7.(2024·威海荣成质检)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格,将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等,图是一个未完成的幻方,则x-y的值是(B)
A.0 B.-4 C.-10 D.32
8.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数,我们称这个方程组为“关联方程组”,若关于x,y的方程组是“关联方程组”,则a的值为(D)
A.0 B.1 C.2 D.-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知是方程2x+3y=5的一个解,则a= -2 .
10.(2024·潍坊寿光模拟)方程组的解是 .
11.五一期间,时代商场开展打折促销活动,某商品如果按原售价的八折出售,将盈利20元,而按原售价的六折出售,将亏损60元,则该商品的原售价为 400元 .
12.(2024·泰安宁阳质检)已知关于x和y的方程组的解满足x+y=5,则k= 6 .
13.已知关于x,y的两个方程组和的解相同,则a-3b= 9 .
14.当a= 8 时,关于x,y的方程组中的x,y互为相反数.
三、解答题(共52分)
15.(8分)解下列方程组:
(1) (2)
【解析】(1),由①得x=y+2,③
把③代入②得y=1,把y=1代入③得x=3.所以方程组的解是
(2)把方程②变形为24x+25y=14③,由①③组方程组得①×3-③,得y=2,把y=2代入①,得x=-,所以方程组的解是
16.(7分)已知方程组的解为求:
(1)a,b的值.
【解析】(1)因为方程组的解为,
所以,即,由①+②得4b=-12,解得b=-3,将b=-3代入①得2a-6=-4,解得a=1,故a=1,b=-3.
(2)a-b的值及其算术平方根.
【解析】(2)由(1)知a=1,b=-3,则a-b=1-(-3)=4,因为22=4,所以a-b的算术平方根为2.
17.(7分)已知关于x,y的二元一次方程组,其中a是实数.
(1)当a=3时,求该二元一次方程组的解.
【解析】(1)因为a=3,所以方程组为,
把②代入①得2x-(3x-1)=3,解得x=-2;
把x=-2代入②得y=3×(-2)-1=-7,
所以该二元一次方程组的解为;
(2)若x是y的2倍,求a的值.
【解析】(2)因为x是y的2倍,所以x=2y,
所以原方程组变为,解①得y=1,把y=1代入②得1=2a-1,所以a=1.
18.(8分)(2024·潍坊峡山模拟)甲地到乙地全程5.5 km,小明从甲地走路去乙地,其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路的平均速度为2 km/h,下坡路的平均速度为5 km/h.若小明走路从甲地到乙地需小时,从乙地走路到甲地需小时,来回走平路分别都用了小时,求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程.
【解析】设小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为x km,y km,
由题意得:,解得:,
答:小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为2 km,2.5 km.
19.(10分)(2024·东营河口区质检)为拓宽学生视野,某校组织学生前往昆明石林风景区开展研学旅游活动.在此次活动中,小亮、小红等同学随老师一同到该景区游玩.原来每名老师的购票费用为120元,每名学生的购票费用为60元,老师和学生共需门票费用为6 600元.现在景区为帮助师生完成研学活动,决定每人的购票费用减少20元,最终老师和学生共需门票费用为4 600元.问他们一共去了几名老师,几名学生
【解析】设有x名老师,y名学生,
由题意列方程组:,
解得,
所以他们一共去了10名老师,90名学生.
20.(12分)(2024·枣庄台儿庄质检)阅读感悟:
有些关于方程组的问题,需要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.
本题常规思路是将①,②两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值.
解决问题:
(1)已知二元一次方程组,请用“整体代入法”求x-y和x+y的值;
【解析】(1),
由②-①得:x-y=-4;
由②+①得:5x+5y=30,所以x+y=6;
(2)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax-by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,求a-b+c的值.
【解析】(2)因为3*5=15,4*7=28,所以,
由①×3-②×2得:a-b+c=-11.
【附加题】(10分)
对于未知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)方程组的解x与y (填“具有”或“不具有”)“邻好关系”;
【解析】(1)方程组,①×2-②得12y=48,解得y=4,把y=4代入②得4x-8=4,解得x=3,
因为x-y=3-4=-1,所以|x-y|=1,所以方程组的解x,y具有“邻好关系”;
答案:具有
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”,求m的值;
【解析】(2)方程组,①+②得6x=6m+6,解得x=m+1,把x=m+1代入①得y=2m-4,则方程组的解为,
因为|x-y|=|m+1-2m+4|=|-m+5|=1,所以5-m=±1,所以m=6或m=4;
(3)未知数为x,y的方程组,其中a与x,y都是正整数,该方程组的解x与y是否具有“邻好关系” 如果具有,请求出a的值及方程组的解;如果不具有,请说明理由.
【解析】(3)方程两式相加得(2+a)y=12,因为a,x,y均为正整数,所以或或(舍去)或(舍去),在上面符合题意的两组解中,只有a=1时,|x-y|=1,所以a=1,方程组的解为;
(4)【拓展】若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a,则称之为“成章方程”.例如:x+=0的解为x=-,而-=-1;2x+=0的解为x=-,而-=-2.
若关于x的方程ax+b=0(a≠0)为“成章方程”,请直接写出关于y的方程的解:a(a-b)y+2=(b+)y.
【解析】(4)因为关于x的方程ax+b=0(a≠0)为“成章方程”,所以方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a,把x=b-a代入原方程得:(b-a)×a+b=0,所以a2-ab=b.因为a(a-b)y+2=(b+)y,所以(a2-ab)y+2=(b+)y,所以by+2=by+y.
所以y=2.所以y=4.第9章 二元一次方程组（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x,y的值为( )
A. B. C. D.
2.用代入消元法解方程组时,把②代入①,代入正确的是( )
A.2x-5(3x+1)=4 B.2x-5(1-3x)=4
C.2x-5(3x-1)=4 D.2x-5(-1-3x)=4
3.(2024·青岛即墨模拟)已知a,b满足方程组,则a+b的值为( )
A.2 B.4 C.-2 D.-4
4.(2024·宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求,大,小箱都要装满,则所装的箱数最多为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(2024·德州陵城模拟)在解方程组时,一同学把c看错而得到,正确的解应是,那么a,b,c的值是( )
A.不能确定 B.a=0,b=-1,c=-2
C.a,b不能确定,c=-2 D.a=4,b=7,c=2
6.已知,均是关于x,y的二元一次方程2x-y=a的解,则k的值是( )
A.24 B.25 C.11 D.12
7.(2024·威海荣成质检)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格,将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等,图是一个未完成的幻方,则x-y的值是( )
A.0 B.-4 C.-10 D.32
8.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数,我们称这个方程组为“关联方程组”,若关于x,y的方程组是“关联方程组”,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知是方程2x+3y=5的一个解,则a= .
10.(2024·潍坊寿光模拟)方程组的解是 .
11.五一期间,时代商场开展打折促销活动,某商品如果按原售价的八折出售,将盈利20元,而按原售价的六折出售,将亏损60元,则该商品的原售价为 .
12.(2024·泰安宁阳质检)已知关于x和y的方程组的解满足x+y=5,则k= .
13.已知关于x,y的两个方程组和的解相同,则a-3b= .
14.当a= 时,关于x,y的方程组中的x,y互为相反数.
三、解答题(共52分)
15.(8分)解下列方程组:
(1) (2)
16.(7分)已知方程组的解为求:
(1)a,b的值.
(2)a-b的值及其算术平方根.
17.(7分)已知关于x,y的二元一次方程组,其中a是实数.
(1)当a=3时,求该二元一次方程组的解.
(2)若x是y的2倍,求a的值.
18.(8分)(2024·潍坊峡山模拟)甲地到乙地全程5.5 km,小明从甲地走路去乙地,其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路的平均速度为2 km/h,下坡路的平均速度为5 km/h.若小明走路从甲地到乙地需小时,从乙地走路到甲地需小时,来回走平路分别都用了小时,求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程.
19.(10分)(2024·东营河口区质检)为拓宽学生视野,某校组织学生前往昆明石林风景区开展研学旅游活动.在此次活动中,小亮、小红等同学随老师一同到该景区游玩.原来每名老师的购票费用为120元,每名学生的购票费用为60元,老师和学生共需门票费用为6 600元.现在景区为帮助师生完成研学活动,决定每人的购票费用减少20元,最终老师和学生共需门票费用为4 600元.问他们一共去了几名老师,几名学生
20.(12分)(2024·枣庄台儿庄质检)阅读感悟:
有些关于方程组的问题,需要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值.
本题常规思路是将①,②两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值.
解决问题:
(1)已知二元一次方程组,请用“整体代入法”求x-y和x+y的值;
(2)对于实数x,y,定义新运算:x*y=ax-by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,求a-b+c的值.
【附加题】(10分)
对于未知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)方程组的解x与y (填“具有”或“不具有”)“邻好关系”;
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”,求m的值;
(3)未知数为x,y的方程组,其中a与x,y都是正整数,该方程组的解x与y是否具有“邻好关系” 如果具有,请求出a的值及方程组的解;如果不具有,请说明理由.
(4)【拓展】若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a,则称之为“成章方程”.例如:x+=0的解为x=-,而-=-1;2x+=0的解为x=-,而-=-2.
若关于x的方程ax+b=0(a≠0)为“成章方程”,请直接写出关于y的方程的解:a(a-b)y+2=(b+)y.
