三十四 多边形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形的概念
1.(2024·烟台莱阳模拟)如图所示的图形中,属于多边形的有(A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.过六边形的每个顶点都有n条对角线,则n的值为(A)
A.3 B.5 C.7 D.9
知识点2 正多边形的概念
3.已知正八边形的周长是32 cm,则这个多边形的边长等于 4 cm.
4.下列选项中不可能是多边形内角和的是(C)
A.540° B.720° C.960° D.1 080°
5.若四边形的内角中有一个角为60°,则其余三个内角之和为 300° .
6.一个多边形的内角和是720°,这个多边形是(A)
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
【B层 能力进阶】
7.过多边形的一个顶点可以作4条对角线,则这个多边形的边数是(B)
A.6 B.7 C.8 D.9
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于(B)
A.280° B.285° C.290° D.295°
9.如图,五边形ABCDE是正五边形,若直线a∥b,则∠1-∠2的值为 72° .
【C层 创新挑战（选做）】
10.(运算能力、推理能力、抽象能力)某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线,以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系,他们决定从以下图形开始寻找规律.
(1)请在图5中画出从A点出发的所有对角线;
(2)根据探究,整理得到下面表格:
多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a
多边形对角 线的总条数 2 5 9 14 20 …… b
表格中a= n-3,b=;(用含n的代数式表示)
(3)拓展应用:若该校要举办足球比赛,总共有9个班级参加比赛,规定每个班级都要和其他班级比赛一次.请问总共要比赛多少场
【解析】(1)如图,
(2)因为多边形的边数为4时,从一个顶点出发的对角线的条数为1=4-3,多边形对角线的总条数2=;
多边形的边数为5时,从一个顶点出发的对角线的条数为2=5-3,多边形对角线的总条数5=;
多边形的边数为6时,从一个顶点出发的对角线的条数为3=6-3,多边形对角线的总条数9=;
多边形的边数为7时,从一个顶点出发的对角线的条数为4=7-3,多边形对角线的总条数14=;
多边形的边数为8时,从一个顶点出发的对角线的条数为5=8-3,多边形对角线的总条数20=;
……
所以多边形的边数为n时,从一个顶点出发的对角线的条数为a=n-3,多边形对角线的总条数b=;
(3)+9=36(场)
所以总共要比赛36场.三十五 多边形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 多边形的外角和
1.(2024·潍坊诸城模拟)如果一个多边形的边数是5,则这个多边形的外角和是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
2.一个多边形的外角和与它的内角和相等,则多边形是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
3.如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5是五边形ABCDE的5个外角,若∠2+∠3+∠4+∠5=300°,则∠BAE的度数为 °.
4.(2024·烟台海阳模拟)如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以2 cm为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为 cm2.(注:结果用含π的式子表示)
5.已知正多边形的一个外角等于18°,求这个正多边形的边数.是否存在一个内角度数为100°的正多边形 如果存在,求出边数;如果不存在,请说明理由.
6.已知一个多边形的边数为n.
(1)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°,求n的值.
(2)若这个多边形是正n边形,且一个内角与一个外角的比是13∶2,求n的值.
【B层 能力进阶】
7.将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置,顶点A,B,C,D在同一条直线上,E为公共顶点,则∠FEG等于( )
A.64° B.84° C.72° D.90°
8.如图,正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分∠EDF,则∠G=( )
A.36° B.54° C.60° D.72°
9.如图,以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF, △BGH,△CMN,△DPQ,求∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q的度数.
10.(1)如图①②,请直接写出∠1,∠2与∠3,∠4之间的数量关系.
(2)用你发现的结论解决下列问题:如图③,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.
11.阅读明明和芳芳的对话,解答下列问题.
(1)明明通过计算,发现少加了一个锐角,则这个“少加的锐角”的度数是 °.
(2)在(1)的条件下,明明求的是几边形的内角和
(3)在(1)的条件下,若这是一个正多边形,则这个正多边形的每一个外角的度数是多少
【C层 创新挑战（选做）】
12.(推理能力、几何直观、运算能力)阅读材料:
我们知道,探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形,利用三角形内角和获得结论,这一方法也可以用来解决其他求角度的问题,如图,四边形ABCD是凸四边形,探究其内角和的方法是:连接对角线AC,则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和为360°.
【解决问题】
(1)如图1,四边形ABCD是凹四边形,请探究∠BCD(∠BCD≤180°)与∠B,∠D,∠BAD三个角之间的等量关系.
小明得出的结论是:∠BCD=∠BAD+∠B+∠D,他的证明如下.请你将小明的证明过程补充完整.
证明:连接AC并延长AC到点E……
【联系拓广】
(2)如图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发,找出一条路线,用笔不离开纸,连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的).
请你根据上述解决问题的思路,解答下列问题:
①图2中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °;
②图3中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °. 三十五 多边形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 多边形的外角和
1.(2024·潍坊诸城模拟)如果一个多边形的边数是5,则这个多边形的外角和是(B)
A.180° B.360° C.540° D.720°
2.一个多边形的外角和与它的内角和相等,则多边形是(B)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
3.如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5是五边形ABCDE的5个外角,若∠2+∠3+∠4+∠5=300°,则∠BAE的度数为 120 °.
4.(2024·烟台海阳模拟)如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以2 cm为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为 4π cm2.(注:结果用含π的式子表示)
5.已知正多边形的一个外角等于18°,求这个正多边形的边数.是否存在一个内角度数为100°的正多边形 如果存在,求出边数;如果不存在,请说明理由.
【解析】正多边形的一个外角等于18°,且外角和为360°,
所以这个正多边形的边数是:360°÷18°=20,因为360°÷(180°-100°)=,不是整数,所以不存在一个内角度数为100°的正多边形.
6.已知一个多边形的边数为n.
(1)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多90°,求n的值.
(2)若这个多边形是正n边形,且一个内角与一个外角的比是13∶2,求n的值.
【解析】(1)由题意,得×(n-2)×180°-360°=90°,
解得n=12;
(2)由题意,得∶=13∶2,
解得n=15,经检验符合题意.
【B层 能力进阶】
7.将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置,顶点A,B,C,D在同一条直线上,E为公共顶点,则∠FEG等于(B)
A.64° B.84° C.72° D.90°
8.如图,正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分∠EDF,则∠G=(B)
A.36° B.54° C.60° D.72°
9.如图,以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF, △BGH,△CMN,△DPQ,求∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q的度数.
【解析】由三角形外角的性质可得:∠FAB=∠E+∠F,∠HBC=∠G+∠H,∠DCN=∠M+∠N,∠QDA=∠P+∠Q,
因为四边形的外角和为360°,
所以∠FAB+∠HBC+∠DCN+∠QDA=360°,
所以∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q=360°.
10.(1)如图①②,请直接写出∠1,∠2与∠3,∠4之间的数量关系.
(2)用你发现的结论解决下列问题:如图③,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.
【解析】(1)∠1+∠2=∠3+∠4,理由是:
如题图①,因为∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,
所以∠1+∠2+∠5+∠6=360°,
因为∠3+∠4+∠5+∠6=360°,
所以∠1+∠2=∠3+∠4,
如题图②,同理可得∠1+∠2=∠3+∠4;
(2)由(1)得:∠B+∠C=∠NAD+∠MDA,
因为∠B+∠C=240°,
所以∠NAD+∠MDA=240°,
因为AE,DE分别平分∠NAD,∠MDA,
所以∠EAD=∠NAD,∠ADE=∠MDA,
所以∠EAD+∠ADE=(∠NAD+∠MDA)=×240°=120°,
所以∠E=180°-120°=60°.
11.阅读明明和芳芳的对话,解答下列问题.
(1)明明通过计算,发现少加了一个锐角,则这个“少加的锐角”的度数是20°.
(2)在(1)的条件下,明明求的是几边形的内角和
(3)在(1)的条件下,若这是一个正多边形,则这个正多边形的每一个外角的度数是多少
【解析】(1)因为多边形内角和公式为(n-2)×180°,所以当n=7时,多边形内角和为(7-2)×180°=900°,
当n=8时,多边形内角和为(8-2)×180°=1 080°,
当n=9时,多边形内角和为(9-2)×180°=1 260°,因为发现少加了一个锐角,
所以这个“少加的锐角”是1 080°-1 060°=20°.
(2)设多边形边数为n,
则(n-2)×180°=1 080°,
解得n=8,
即明明求的是八边形的内角和;
(3)因为正八边形的外角都相等,而多边形的外角和始终为360°,
所以这个正多边形的每个外角为=45°,
所以这个正多边形的每一个外角的度数是45°.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(推理能力、几何直观、运算能力)阅读材料:
我们知道,探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形,利用三角形内角和获得结论,这一方法也可以用来解决其他求角度的问题,如图,四边形ABCD是凸四边形,探究其内角和的方法是:连接对角线AC,则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和为360°.
【解决问题】
(1)如图1,四边形ABCD是凹四边形,请探究∠BCD(∠BCD≤180°)与∠B,∠D,∠BAD三个角之间的等量关系.
小明得出的结论是:∠BCD=∠BAD+∠B+∠D,他的证明如下.请你将小明的证明过程补充完整.
证明:连接AC并延长AC到点E……
【联系拓广】
(2)如图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发,找出一条路线,用笔不离开纸,连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的).
请你根据上述解决问题的思路,解答下列问题:
①图2中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为180°;
②图3中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°.
【解析】(1)连接AC并延长AC到点E,
则∠BCE为△ABC的外角,∠DCE为△ACD的外角,
所以∠BCE=∠B+∠BAC,
∠DCE=∠D+∠CAD.
因为∠BCD=∠BCE+∠DCE,
所以∠BCD=∠B+∠BAC+∠D+∠CAD.
因为∠BAD=∠BAC+∠CAD,
所以∠BCD=∠B+∠D+∠BAD.
(2)①如图,由(1)得,∠CFD=∠A+∠C+∠D,
所以∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D,
因为∠BFE+∠B+∠E=180°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
②如图,
由(1)得,∠DHE=∠A+∠D+∠E,
所以∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E,
因为∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.三十四 多边形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形的概念
1.(2024·烟台莱阳模拟)如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.过六边形的每个顶点都有n条对角线,则n的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
知识点2 正多边形的概念
3.已知正八边形的周长是32 cm,则这个多边形的边长等于 cm.
4.下列选项中不可能是多边形内角和的是( )
A.540° B.720° C.960° D.1 080°
5.若四边形的内角中有一个角为60°,则其余三个内角之和为 .
6.一个多边形的内角和是720°,这个多边形是( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
【B层 能力进阶】
7.过多边形的一个顶点可以作4条对角线,则这个多边形的边数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( )
A.280° B.285° C.290° D.295°
9.如图,五边形ABCDE是正五边形,若直线a∥b,则∠1-∠2的值为 .
【C层 创新挑战（选做）】
10.(运算能力、推理能力、抽象能力)某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线,以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系,他们决定从以下图形开始寻找规律.
(1)请在图5中画出从A点出发的所有对角线;
(2)根据探究,整理得到下面表格:
多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a
多边形对角 线的总条数 2 5 9 14 20 …… b
表格中a= ,b= ;(用含n的代数式表示)
(3)拓展应用:若该校要举办足球比赛,总共有9个班级参加比赛,规定每个班级都要和其他班级比赛一次.请问总共要比赛多少场
