1、C 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、C 8、B 9、且 10、 2； 2
11、/ 12、2 13、； 14、 15、6（答案不唯一）
16、2，3（写一个即可） 17、/ 18、 19、； 20、6 21、B 22、A
23、D 24、5 25、 ； 26、(1)1；2；(2).
1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
2．已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、无理数的大小估算
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
4．下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5．下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；
【详解】；
故选D．
【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
6．估算的结果（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】C
【知识点】二次根式的乘法、估计算术平方根的取值范围
【分析】首先计算，并确定范围，然后再利用不等式的基本性质确定的范围即可．
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、确定二次根式的范围、不等式的基本性质等知识点，范围的确定是解题关键．
7．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较、实数与数轴、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】观察数轴得：，再逐项判断即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴，故C错误，不符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．
9．如果有意义，那么x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
解得，且，
故答案为：且．
10．计算： ；
【答案】 2 2
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可．
【详解】解：，，
故答案为：2，2．
11．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知，
．
【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键．
12．与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
【答案】2
【知识点】同类二次根式
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
13．化简： ； ．
【答案】
【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简
【详解】（1）分子、分母同乘以即可；
（2）根据式子，可知x≥0，故可直接开方．
解：；
．
故答案是
考查了二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法，解题的关键是注意开方数以及开方结果的非负性，并能根据所给的式子，判断未知数的取值范围．
14．比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较
【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，且，
，则，
故答案为：．
15．请写出一个满足不等式的整数解 ．
【答案】6（答案不唯一）
【知识点】估计算术平方根的取值范围
【分析】先估算出的值约为1.4，再解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
所以6是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于6的整数都是该不等式的整数解）；
故答案为：6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要求学生在理解相关概念的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性．
16．写出一个比大且比小的整数是 ．
【答案】2，3（写一个即可）
【知识点】估计算术平方根的取值范围、求算术平方根的整数部分和小数部分
【分析】由，可直接进行求解．
【详解】解：，，
比大且比小的整数是：2，3．
故答案为：2，3（写一个即可）．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握一个数的算术平方根的整数部分与小数部分的求法是解题的关键．
17．对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
【答案】/
【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
18．计算：
【答案】
【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算、负整数指数幂、求一个数的立方根
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【知识点】整式的加减中的化简求值、二次根式的化简求值、已知字母的值，化简求值
【分析】先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20．计算：．
【答案】6
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式．
21．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】根据数轴得∶ 0
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．
22．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】首先根据数的算术平方根估出介于哪两个整数之间，然后结合数轴，看哪个点在这两个整数之间，从而找到其对应的点．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在数轴上表示实数的点可能是点M．
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键利用算术平方根估算出是介于哪两个整数之间．
23．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
24．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ．
【答案】5
【知识点】无理数整数部分的有关计算、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根的定义，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
根据x是满足的整数，则求出或5，分别代入找出符合结果是有理数的即可．
【详解】解：∵x是满足的整数
∴或
∴或5，
当时，是无理数，不符合题意舍；
当时，是有理数，符合题意，
∴，
故答案为：5．
25．观察下列等式：
第1个等式：，第2个等式，
第3个等式：，第4个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第个等式： ；
（2） .
【答案】
【详解】试题分析：（1）观察上面四个式子可得；（2）根据所得的规律可得++++......+=.
考点：规律探究题.
26．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)，
【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．估算的结果（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
7．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如果有意义，那么x的取值范围是 ．
10．计算： ；
11．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
12．与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
13．化简： ； ．
14．比较大小： （填“”“”或“”）．
15．请写出一个满足不等式的整数解 ．
16．写出一个比大且比小的整数是 ．
17．对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
18．计算：
19．先化简，再求值：，其中，．
20．计算：．
21．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
22．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
23．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
24．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则 ．
25．观察下列等式：
第1个等式：，第2个等式，
第3个等式：，第4个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第个等式： ；
（2） .
26．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二讲 二次根式、实数的运算
教材知识 中考考点 课标要求
二次根式 1.二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念掌握二次根式的有关性质，能够运用性质进行二次根式的化简
2.二次根式的性质
3.二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
实数的运算 4.实数的大小比较 可能利用有理数估算一个无理数的大致范围；能比较实数的大小
5.实数的混合运算 理解乘方的意义；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能用运算律简化运算
命题点1 二次根式的概念、有意义的条件
1、二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数，“”称为二次根号.
2、二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
【要点解读】
①二次根式有意义的条件是被开方数，若二次根式在分母上，则被开方数.
②表示的意义是非负数的算数平方根.
3、最简二次根式：一般地，（1）被开方数不含分母（也就是说分母中不含根号）；（2）也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
4、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，如，，是同类二次根式.
1．（2024·北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．（2023·山东烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．（2024·上海）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
命题点2 二次根式的性质
1、的双重非负性：
【要点解读】
①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0.
②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即.
2、
3、
4、.
5、.
5．（2020·湖北武汉）化简二次根式的结果等于 ．
【答案】3
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
6．（2024·四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
故选：A．
8．（2024·四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
命题点3 二次根式的运算
类别 法则 示例
乘法
除法
加减法 ①将二次根式化成最简二次根式；②将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
【要点解读】 二次根式分母有理化的方法
（1）分母为单项式：凑平方
①；
②.
（2）分母为多项式：凑平方差
.
9．（2023·湖南）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、求不等式组的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
10．（2024·山东济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
11．（2023·河北）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
12．（2024·山东威海）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
命题点4 二次根式的估值
1、确定一个数（如）在哪两个相邻整数之间
（1）先对根式平方，如；
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开的尽方的整数，如；
（3）同时开方，即可确定这个根式的值在那两个相邻整数之间，如，则在3和4之间.
2、确定一个数（如）离哪两个整数较近
（1）确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如；
（2）求这两个整数的平均数，如；
（3）用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如，，因为，所以离3较近.
【要点解读】
记住常见开方数的值可以快速解题，如，，.
3、确定的整数部分
（1）确定在哪两个连续整数之间，如（为整数）；
（2）确定整数部分：的整数部分为，小数部分为.
13．（2024·江苏盐城）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【知识点】二次根式的乘法、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
14．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
故答案为：C
15．（2023·湖北荆州）已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
命题点5 实数的大小比较
1、数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
2、法则比较法：正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
3、作差比较法：；；.
4、作商比较法：
（1）若，则；；.
（2）若，则；；
5、平方比较法：若，则，则.如，则.
【要点解读】
适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值.
6、倒数比较法：若，则.
7、特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷.
16．（2024·广东广州）四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，
最小的数是，
故选：A．
17．（2024·江苏苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
18．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
19．（2023·江苏）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数与数轴、实数的大小比较
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
20．（2022·山东济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较、实数与数轴
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，
∴，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
命题点6 实数的运算
1、实数的运算法则
（1）四则运算
①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.
②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即.
③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数同0相乘，仍得0，即，，
，.
④除法：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即，.
（2）乘方运算：求几个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
（3）零指数幂与负整数指数幂
①；
②（，为正整数）.
（4）幂的运算：.
（5）绝对值：
2、实数混合运算的顺序
（1）先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，注意一定先计算各小项的值.
（2）同级运算按从左往右的顺序运算.
3、运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
21．（2024·吉林）若的运算结果为正数，则 内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．
【详解】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
22．（2024·天津）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解.
【详解】，
故选：A.
23．（2023·湖南常德）下面算法正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】根据有理数的加减法则计算即可．
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．（2024·陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【详解】解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
25．（2024·重庆）计算：＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．
26．（2024·四川凉山）计算：．
【答案】2
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
27．（2024·贵州节选）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
【答案】（1）见解析 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂
【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可；
【详解】（1）解：选择①，②，③，
；
选择①，②，④，
；
选择①，③，④，
；
选择②，③，④，
；
28．（2024·河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
1．（2024·辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案．
【详解】，，，
∵，
∴，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
2．（2024·四川自贡）在0，，，四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四个数中，最大的数是，
故选：C．
3．（2024·新疆）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：A．
4．（2023·山东）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数的混合运算
【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．
【详解】由数轴可知，
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项正确；
∴，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．
5．（2023·四川绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式计算是解题关键．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
∴x的最小值为，
故答案为：．
6．（2024·山东烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】/
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
7．（2023·辽宁丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：且．
8．（2023·四川凉山）计算 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、零指数幂、实数的混合运算
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键．
9．（2024·天津）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
10．（2023·湖北荆州）若，则 ．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
11．（2012·江苏连云港）写一个比大的整数是 ．
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键．
先估算出的大小，再找出符合条件的整数即可．
【详解】解：，
，
符合条件的数可以是：2(答案不唯一)．
故答案为：2．
12．（2022·山东临沂）比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．
13．（2024·甘肃兰州）计算：．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
14．（2024·江苏苏州）计算：．
【答案】2
【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
15．（2024·山西节选）（1）计算：；
【答案】（1）；
【知识点】有理数四则混合运算、负整数指数幂
【分析】本题考查的是有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．
（1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
【详解】解：（1）
；
16．（2024·新疆节选）计算：
(1)；
【答案】(1)7
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）利用绝对值的意义，乘方法则，算术平方根的定义，零指数幂的意义化简计算即可；
【详解】（1）解：原式
；
17．（2024·四川成都节选）（1）计算：．
【答案】（1）5；
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可；
【详解】解：（1）
；
18．（2024·山东泰安节选）（1）计算：；
【答案】（1）7；
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算；
【详解】解：（1）；
；
19．（2023·山东临沂）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、不等式的性质
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出，即可判断②③，根据，代入已知条件得出，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵
∴，故①错误，
∵
∴，
又
∴，故②③错误，
∵
∴
∵
∴
∴
∴，故④正确
或借助数轴，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
20．（2023·广东广州）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
21．（2023·湖北黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键．
22．（2024·河北）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算
【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案为：；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，而，
∴，，
观察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），
故答案为：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二讲 二次根式、实数的运算
教材知识 中考考点 课标要求
二次根式 1.二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念掌握二次根式的有关性质，能够运用性质进行二次根式的化简
2.二次根式的性质
3.二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
实数的运算 4.实数的大小比较 可能利用有理数估算一个无理数的大致范围；能比较实数的大小
5.实数的混合运算 理解乘方的意义；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能用运算律简化运算
命题点1 二次根式的概念、有意义的条件
1、二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数，“”称为二次根号.
2、二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
【要点解读】
①二次根式有意义的条件是被开方数，若二次根式在分母上，则被开方数.
②表示的意义是非负数的算数平方根.
3、最简二次根式：一般地，（1）被开方数不含分母（也就是说分母中不含根号）；（2）也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
4、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，如，，是同类二次根式.
1．（2024·北京）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
2．（2023·山东烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海）已知，则 ．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ．
命题点2 二次根式的性质
1、的双重非负性：
【要点解读】
①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0.
②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即.
2、
3、
4、.
5、.
5．（2020·湖北武汉）化简二次根式的结果等于 ．
6．（2024·四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
8．（2024·四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
命题点3 二次根式的运算
类别 法则 示例
乘法
除法
加减法 ①将二次根式化成最简二次根式；②将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
【要点解读】 二次根式分母有理化的方法
（1）分母为单项式：凑平方
①；
②.
（2）分母为多项式：凑平方差
.
9．（2023·湖南）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·山东济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·河北）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
12．（2024·山东威海）计算： ．
命题点4 二次根式的估值
1、确定一个数（如）在哪两个相邻整数之间
（1）先对根式平方，如；
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开的尽方的整数，如；
（3）同时开方，即可确定这个根式的值在那两个相邻整数之间，如，则在3和4之间.
2、确定一个数（如）离哪两个整数较近
（1）确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如；
（2）求这两个整数的平均数，如；
（3）用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如，，因为，所以离3较近.
【要点解读】
记住常见开方数的值可以快速解题，如，，.
3、确定的整数部分
（1）确定在哪两个连续整数之间，如（为整数）；
（2）确定整数部分：的整数部分为，小数部分为.
13．（2024·江苏盐城）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
14．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
15．（2023·湖北荆州）已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
命题点5 实数的大小比较
1、数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
2、法则比较法：正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
3、作差比较法：；；.
4、作商比较法：
（1）若，则；；.
（2）若，则；；
5、平方比较法：若，则，则.如，则.
【要点解读】
适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值.
6、倒数比较法：若，则.
7、特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷.
16．（2024·广东广州）四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
17．（2024·江苏苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
18．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
19．（2023·江苏）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
20．（2022·山东济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
命题点6 实数的运算
1、实数的运算法则
（1）四则运算
①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.
②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即.
③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数同0相乘，仍得0，即，，
，.
④除法：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即，.
（2）乘方运算：求几个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
（3）零指数幂与负整数指数幂
①；
②（，为正整数）.
（4）幂的运算：.
（5）绝对值：
2、实数混合运算的顺序
（1）先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，注意一定先计算各小项的值.
（2）同级运算按从左往右的顺序运算.
3、运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
21．（2024·吉林）若的运算结果为正数，则 内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
22．（2024·天津）的值等于（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·湖南常德）下面算法正确的是( )
A． B． C． D．
24．（2024·陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
25．（2024·重庆）计算：＝ ．
26．（2024·四川凉山）计算：．
27．（2024·贵州节选）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
28．（2024·河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
1．（2024·辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
2．（2024·四川自贡）在0，，，四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2024·新疆）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（2023·山东）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
6．（2024·山东烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
7．（2023·辽宁丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（2023·四川凉山）计算 ．
9．（2024·天津）计算的结果为 ．
10．（2023·湖北荆州）若，则 ．
11．（2012·江苏连云港）写一个比大的整数是 ．
12．（2022·山东临沂）比较大小： （填“”，“”或“”）．
13．（2024·甘肃兰州）计算：．
14．（2024·江苏苏州）计算：．
15．（2024·山西节选）（1）计算：；
16．（2024·新疆节选）计算：
(1)；
17．（2024·四川成都节选）（1）计算：．
18．（2024·山东泰安节选）（1）计算：；
19．（2023·山东临沂）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2023·广东广州）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
21．（2023·湖北黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
22．（2024·河北）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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