2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，使命题为真命题的一个必要不充分条件可以是( )
A. B. C. D.
3.若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 函数的值域为
C. 函数与是同一个函数
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
10.已知，且，则( )
A. B. 存在，使得
C. 不存在，使得 D.
11.将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的部分图象如图所示对于，，且，若，都有成立，则( )
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 函数在的零点为，，，，则
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.若函数，则 ．
13.已知，则 ______．
14.已知函数由下表给出：
其中等于在，，，中所出现的次数．
则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解答下列各题．
化简求值：；
已知，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递减区间；
求函数在上的最值．
17.本小题分
如图，四边形是一个边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形小山，其余部分都是平地，是弧上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在与上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值．
18.本小题分
已知函数且为奇函数．
求实数的值及函数的值域；
若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．
Ⅰ判断函数，是否具有性质；直接写出结论
Ⅱ已知函数，判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
Ⅲ设函数具有性质，且在区间上的值域为函数，满足，且在区间上有且只有一个零点求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式
；
当时，
可得
．
16.解：由题意可得
，
所以的最小正周期为，
令，可得，
所以的单调减区间为；
令，
可得函数的单调递增区间为，
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，．
17.解：延长交于，设，
则，，，．
．
设，
．
．
当，有最大值．
答：长方形停车场面积的最大值为平方米．
18.解：为奇函数，且定义域为，
，解得，
，
，
，
，
故函数的值域为．
，
令，则，
，，
原问题等价于在上有两个不同的零点，
，解得，
当时，有，无解；
当时，有，解得，
综上所述，的取值范围为
19.解：Ⅰ因为，
则，
又，
所以，
故函数具有性质；
因为，
则，
又，，
故不具有性质；
Ⅱ若函数具有性质，则，
即，
因为，
所以，
所以；
若，不妨设，
由，得，
只要充分大时，将大于，
而的值域为，
故等式不可能成立，
所以必有成立，即，
因为，
所以，
所以，则，
此时，
则，
而，
即有成立，
所以存在，，使函数具有性质．
Ⅲ证明：由函数具有性质及Ⅱ可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，
则，即，
所以，；
由，以及题设可知，函数在的值域为，
所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，
于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即．
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