2024-2025学年广东省茂名市信宜市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.数列，，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
4.将一个质地均匀的正方体骰子每个面上分别写有数字，，，，，先后抛掷次，观察向上的点数，则次抛掷的点数之和为的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则( )
A. B.
C. D.
7.已知直线与圆交于，两点，且，则实数( )
A. B. C. D.
8.若正四面体的面内有一动点到平面，平面，平面的距离依次成等差数列，则点在平面内的轨迹是( )
A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是( )
A. B. C. D.
10.已知曲线：，则( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
11.已知为数列的前项和，且，则( )
A. 存在，使得 B. 可能是常数列
C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三角形三边长为，，，则以边长为的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______．
13.过点作圆：的切线，则直线的方程为______写出一条方程即可
14.设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率．
16.本小题分
已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于、两点，为中点，求直线斜率．
17.本小题分
已知是等差数列的前项和．
证明是等差数列；
设为数列的前项和，若，，求．
18.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
证明：平面平面；
求二面角的平面角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题曼哈顿距离用于标明两个点在空间平面直角坐标系上的绝对轴距总和例如在平面直角坐标系内有两个点，，它们之间的曼哈顿距离
已知点，，求的值；
已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积；
已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或写出一条即可
14.
15.解：设事件表示“任选一道灯谜，甲猜对”，事件表示“任选一道灯谜，乙猜对”，
由古典概型公式得，，所以，，
“恰有人猜对”，且与互斥，因为两名同学独立竞猜，所以事件和相互独立，从而与，与，与相互独立，
于是．
事件“两人都没有猜对”表示为，记“甲乙至少有一人猜对”，
所以，
显然事件与事件为对立事件，所以，
所以甲、乙至少有一人猜对的概率为．
16.解：因为椭圆的焦点在轴上，
设椭圆的标准方程为，
因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，
所以，
因为椭圆经过点，
所以，
解得，
则，
故所求椭圆标准方程为；
设，，的中点，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，，
则．
故直线斜率为．
17.证明：等差数列的首项为，公差为，
所以，，故常数；
故是等差数列．
由于，，
故，解得；
故；
所以，
数列是以为首项，为公差的等差数列；
所以．
18.解：证明：取的中点为，连接、，
因为，为的中点，则，
而，，故，
在正方形中，因为，故D，故，
因为，故，则，
因为，、平面，
故平面，
因为平面，故平面平面．
因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，则，，
设平面的法向量，
则，取，则，
而平面的一个法向量为，
故．
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为．
由知平面的一个法向量为，，
则点到平面距离为．
19.解：．
令点，所以，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
因此围成的图形是边长为，面积为的正方形．
动点围成的几何体为每个面均为边长的正三角形的八面体，
该八面体体积为．
证明如下：
将平移到处，令，
如果，那么，
当，，时，所以，
令，，，
根据，可得，
因此，，，四点共面，
因此当，，时，在边长为的正三角形内部含边界，
同理可知正三角形内部任意一点，均满足．
因此满足方程的点，
构成的图形是边长为的等边三角形内部含边界、
根据对称性可知，围成的图形为每个面均为边长为的等边三角形的八面体，
因此该几何体体积．
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