11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
知识点1 一元一次不等式的有关概念
1.下列各式中,是一元一次不等式的是( )
A.x≥ B.2x>1-x2
C.x+2y<1 D.2x+1≤3x
2.已知(a-3)<2是一元一次不等式,那么a ,b .
3.若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m= .
知识点2 一元一次不等式的解法
4.(2024内江)不等式3x≥x-4的解集是( )
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x>-2 D.x<-2
5.(2023宜昌)解不等式>x-1,下列在数轴上表示的解集正确的是( )
A B
C D
6.若m加3的和与-m+1的差小于13,则m的值不可能为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.若关于x的一元一次不等式x
8.解不等式1-≥,并写出它的非负整数解.
9.关于x,y的方程组的解满足x-y<4,则k的取值范围是( )
A.k>5 B.k≥5 C.k<5 D.k≤5
10.若关于x的不等式mx-n<0的解集是x>,则关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是( )
A.x>- B.x<- C.x> D.x<
11.(2024烟台)关于x的不等式m-≤1-x有正数解,m的值可以是 (写出一个即可).
12.已知关于x的一元一次不等式2x-1>3+mx的解集是x<.如图,数轴上的A,B,C,D四个点中,实数m对应的点可能是 .
13.已知关于x的不等式(a+1)x<3的自然数解有且只有一个,试求a的取值范围.
14.(2024泰州期末)如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“母不等式”.特别地,一个不等式也是自身不等式的“母不等式”.例如:不等式x>3的解都是不等式x>1的解,则称不等式x>1是不等式x>3的“母不等式”.特别地,不等式x>1也是不等式x>1的“母不
等式”.
(1)判断:不等式x<-1 x<-2的“母不等式”(填“是”或“不是”);
(2)若不等式x<-5是关于x的不等式3(x-1)<2x+m的“母不等式”,同时关于x的不等式3(x-1)<2x+m也是不等式x<-5的“母不等式”,求m的值;
(3)已知关于x的两个不等式x+4≤2a和(a-5)x>a-5(a≠5),其中不等式x+4≤2a是不等式(a-5)x>a-5(a≠5)的“母不等式”,则a的取值范围是 .
第2课时 一元一次不等式的应用(1)
知识点 “至多(少)”问题
1.(2024杭州一模)一部电梯的额定限载量为1 000千克.两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层,这两人的身体质量分别为60千克和80千克,每箱货物的质量为50千克,设每次搬x箱货物,则下面所列不等式正确的是( )
A.50x+60+80=1 000 B.50x+60+80≤1 000
C.50x+60+80<1 000 D.50x+60+80≥1 000
2.(2024南宁期末)如图,小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板.爸爸的体重为75千克,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地,那么小明的体重应小于( )
A.49千克 B.50千克 C.24千克 D.25千克
3.(2024晋中期末)在学校举办的“阅读经典 传承文明”读书活动期间,小亮从图书馆借到一本共108页的经典图书,计划在一周内读完.若周六、周日每天的阅读页数是周一到周五每天阅读页数的2倍,则小亮周一到周五每天至少要读 页.
4.(2024日照期末)某校计划组织学生乘车到红色基地进行研学活动,现有甲、乙两种型号的客车可供租用,已知每辆甲型客车的租金为280元,每辆乙型客车的租金为220元,如果学校计划租用6辆客车,租车的总租金不超过1 600元,那么最多租用甲型客车 辆.
5.(2024西安月考)“爱心助学,我们在行动”,为了托起莘莘学子求学路上的信心与希望,某工厂为新建的希望学校免费定制A,B两种型号的学生桌椅共500套,已知生产一套A型桌椅需木板2 m2,生产一套B型桌椅需木板1.2 m2.若该工厂现有库存木板882 m2,则最多能生产多少套A型桌椅
6.(2024昆明期末)小杰到学校食堂就餐,看到A,B两窗口前面排队的人一样多(设一个窗口前排队人数为a人,a>8,且a为偶数),就站在A窗口队伍的后面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有8人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加6人.若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,所花的时间比原来少,则a的最小值是 (不考虑其他因素).
7.已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“筐里B品牌乒乓球是A品牌乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)据工作人员透露,B品牌乒乓球比A品牌乒乓球至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌乒乓球最多有几个.
8.在某市暑期篮球联赛中,月亮队与火炬队要争夺最后一个出线权,月亮队目前的战绩是16胜14负,后面还要比赛6场;火炬队目前的战绩是15胜16负,后面还要比赛5场.该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分,负一场不得分,所有参赛球队完成36场比赛后,得分高者获得出线权.
(1)为确保出线,月亮队在后面的比赛中至少要胜多少场
(2)如果火炬队在后面的比赛中3胜2负,那么月亮队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线
(3)如果月亮队在后面的比赛中2胜4负,未能出线,那么火炬队在后面的比赛中的战果如何
第3课时 一元一次不等式的应用(2)
知识点1 销售问题
1.小明用30元购买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元,他买了2支铅笔后,最多还能买几支签字笔 设小明还能买x支签字笔,则下列不等关系正确的是( )
A.5×2+2x≥30 B.5×2+2x≤30
C.2×2+2x≥30 D.2×2+5x≤30
2.(2024淮北期末)某品牌儿童自行车的标价比成本高25%,根据市场需求,该自行车需降价x%,若保证不亏本,则x应满足( )
A.x≤20 B.x≤25
C.x<20 D.x<25
3.(2023广东)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打 折.
4.某服装店因换季更新,需采购A,B两种款式服装共60件(两种款式都采购),其中A种款式单价为80元,B种款式单价为40元,采购两种服装的总费用不超过3 300元,则A种款式的服装最多能采购多
少件
知识点2 方案问题
5.某通信公司推出两种手机收费方案.方案一:月租费36元,本地通话话费0.1元/分;方案二:不收月租费,本地通话话费为0.6元/分.设小明的爸爸一个月通话时间为x分.小明爸爸一个月通话时间为多少时,选择方案一比方案二优惠 ( )
A.60分 B.70分 C.72分 D.80分
6.某书报亭开设两种租书方式:一种是零星租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书费每册0.4元.小明经常来该店租书,若每月租书数量为x册,则小明选择哪种租书方式更合算
7.某校为了开展好课后服务,计划用不超过10 000元的资金购买足球、篮球和排球,将它们用于球类兴趣班.已知足球、篮球、排球的单价分别为100元、80元、60元,且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息:①篮球的数量必须比足球的数量多10;②排球的数量必须是足球数量的3倍.则学校最多能购买足球( )
A.25个 B.26个
C.30个 D.100个
8.有10名菜农,每人可种茄子3亩或辣椒2亩,已知茄子每亩可收入0.5万元,辣椒每亩可收入 0.8 万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排 人种茄子.
9.某公园的门票是每人5元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若少于40人时,一个团队至少要有 人进公园,买40张门票才合算.
10.某商场销售一批进货单价分别为150元、120元的A,B两款书包,下表是近两天的销售情况(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本):
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 2个 2个 720元
第二天 3个 4个 1 240元
(1)求A,B两款书包的销售单价.
(2)若该商场准备用不多于5 100元的金额再购进这两款书包共40个,求A款书包最多能采购多少个.
(3)在(2)的条件下,销售完这40个书包能否实现利润1 800元的目标 若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
知识点1 一元一次不等式的有关概念
1.下列各式中,是一元一次不等式的是( D )
A.x≥ B.2x>1-x2
C.x+2y<1 D.2x+1≤3x
2.已知(a-3)<2是一元一次不等式,那么a ≠3 ,b =-1 .
3.若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m= 1 .
知识点2 一元一次不等式的解法
4.(2024内江)不等式3x≥x-4的解集是( A )
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x>-2 D.x<-2
5.(2023宜昌)解不等式>x-1,下列在数轴上表示的解集正确的是( D )
A B
C D
6.若m加3的和与-m+1的差小于13,则m的值不可能为( A )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.若关于x的一元一次不等式x
8.解不等式1-≥,并写出它的非负整数解.
解:去分母,得6-3(x-2)≥2(1+x),
去括号,得6-3x+6≥2+2x,
移项,得-3x-2x≥2-6-6,
合并同类项,得-5x≥-10,
系数化为1,得x≤2,
∴原不等式的非负整数解为0,1,2.
9.关于x,y的方程组的解满足x-y<4,则k的取值范围是( C )
A.k>5 B.k≥5 C.k<5 D.k≤5
10.若关于x的不等式mx-n<0的解集是x>,则关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是( B )
A.x>- B.x<- C.x> D.x<
11.(2024烟台)关于x的不等式m-≤1-x有正数解,m的值可以是 0(答案不唯一) (写出一个即可).
12.已知关于x的一元一次不等式2x-1>3+mx的解集是x<.如图,数轴上的A,B,C,D四个点中,实数m对应的点可能是 点D .
13.已知关于x的不等式(a+1)x<3的自然数解有且只有一个,试求a的取值范围.
解:∵不等式的自然数解只有1个,
∴原不等式的解不可能是x大于某一个数,
∴a+1>0,
∴不等式的解集为x<.
∵不等式的自然数解有且只有一个,
∴这个自然数解必为x=0,
∴≤1.
∵a+1>0,
∴a+1≥3,
∴a≥2,
∴a的取值范围是a≥2.
14.(2024泰州期末)如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“母不等式”.特别地,一个不等式也是自身不等式的“母不等式”.例如:不等式x>3的解都是不等式x>1的解,则称不等式x>1是不等式x>3的“母不等式”.特别地,不等式x>1也是不等式x>1的“母不
等式”.
(1)判断:不等式x<-1 x<-2的“母不等式”(填“是”或“不是”);
(2)若不等式x<-5是关于x的不等式3(x-1)<2x+m的“母不等式”,同时关于x的不等式3(x-1)<2x+m也是不等式x<-5的“母不等式”,求m的值;
(3)已知关于x的两个不等式x+4≤2a和(a-5)x>a-5(a≠5),其中不等式x+4≤2a是不等式(a-5)x>a-5(a≠5)的“母不等式”,则a的取值范围是 .
解:(1)是
(2)解不等式3(x-1)<2x+m,得
x
∴m+3≤-5,
∴m≤-8.
∵3(x-1)<2x+m是x<-5的“母不等式”,
∴m+3≥-5,∴m≥-8,∴m=-8.
(3)2.5≤a<5
第2课时 一元一次不等式的应用(1)
知识点 “至多(少)”问题
1.(2024杭州一模)一部电梯的额定限载量为1 000千克.两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层,这两人的身体质量分别为60千克和80千克,每箱货物的质量为50千克,设每次搬x箱货物,则下面所列不等式正确的是( B )
A.50x+60+80=1 000 B.50x+60+80≤1 000
C.50x+60+80<1 000 D.50x+60+80≥1 000
2.(2024南宁期末)如图,小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板.爸爸的体重为75千克,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地,那么小明的体重应小于( D )
A.49千克 B.50千克 C.24千克 D.25千克
3.(2024晋中期末)在学校举办的“阅读经典 传承文明”读书活动期间,小亮从图书馆借到一本共108页的经典图书,计划在一周内读完.若周六、周日每天的阅读页数是周一到周五每天阅读页数的2倍,则小亮周一到周五每天至少要读 12 页.
4.(2024日照期末)某校计划组织学生乘车到红色基地进行研学活动,现有甲、乙两种型号的客车可供租用,已知每辆甲型客车的租金为280元,每辆乙型客车的租金为220元,如果学校计划租用6辆客车,租车的总租金不超过1 600元,那么最多租用甲型客车 4 辆.
5.(2024西安月考)“爱心助学,我们在行动”,为了托起莘莘学子求学路上的信心与希望,某工厂为新建的希望学校免费定制A,B两种型号的学生桌椅共500套,已知生产一套A型桌椅需木板2 m2,生产一套B型桌椅需木板1.2 m2.若该工厂现有库存木板882 m2,则最多能生产多少套A型桌椅
解:设生产A型桌椅x套.
根据题意,得2x+1.2(500-x)≤882,
解得x≤352.5.
答:最多能生产A型桌椅352套.
6.(2024昆明期末)小杰到学校食堂就餐,看到A,B两窗口前面排队的人一样多(设一个窗口前排队人数为a人,a>8,且a为偶数),就站在A窗口队伍的后面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有8人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加6人.若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,所花的时间比原来少,则a的最小值是 14 (不考虑其他因素).
7.已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“筐里B品牌乒乓球是A品牌乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)据工作人员透露,B品牌乒乓球比A品牌乒乓球至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌乒乓球最多有几个.
解:(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,解得x=33.
又∵x为整数,∴x=33不合题意,
∴淇淇的说法不正确.
(2)A品牌乒乓球有x个,则B品牌乒乓球有(101-x)个,依题意,得
101-x-x≥28,解得x≤36.
又∵x为整数,
∴x可取的最大值为36.
故A品牌乒乓球最多有36个.
8.在某市暑期篮球联赛中,月亮队与火炬队要争夺最后一个出线权,月亮队目前的战绩是16胜14负,后面还要比赛6场;火炬队目前的战绩是15胜16负,后面还要比赛5场.该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分,负一场不得分,所有参赛球队完成36场比赛后,得分高者获得出线权.
(1)为确保出线,月亮队在后面的比赛中至少要胜多少场
(2)如果火炬队在后面的比赛中3胜2负,那么月亮队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线
(3)如果月亮队在后面的比赛中2胜4负,未能出线,那么火炬队在后面的比赛中的战果如何
解:(1)设月亮队还要胜x场,火炬队可以胜(15+5)场,
则16+x>15+5,解得x>4.
∵x为整数,
∴月亮队至少要胜5场.
(2)设月亮队还要胜y场,火炬队胜(15+3)场,则16+y>15+3,
解得y>2.
∵y为整数,
∴月亮队在后面的比赛中至少要胜3场.
(3)∵月亮队在后面的比赛中胜2场,∴得分为16+2.
设火炬队在后面的比赛中胜m场,
16+2<15+m,解得m>3.
∵m为整数,∴m可以取4或5,
∴火炬队在后面的比赛中的战果有两种可能:①4胜1负;②5胜0负.
第3课时 一元一次不等式的应用(2)
知识点1 销售问题
1.小明用30元购买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元,他买了2支铅笔后,最多还能买几支签字笔 设小明还能买x支签字笔,则下列不等关系正确的是( D )
A.5×2+2x≥30 B.5×2+2x≤30
C.2×2+2x≥30 D.2×2+5x≤30
2.(2024淮北期末)某品牌儿童自行车的标价比成本高25%,根据市场需求,该自行车需降价x%,若保证不亏本,则x应满足( A )
A.x≤20 B.x≤25
C.x<20 D.x<25
3.(2023广东)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打 8.8 折.
4.某服装店因换季更新,需采购A,B两种款式服装共60件(两种款式都采购),其中A种款式单价为80元,B种款式单价为40元,采购两种服装的总费用不超过3 300元,则A种款式的服装最多能采购多
少件
解:设A种款式的服装采购x件,则B种款式的服装采购(60-x)件.
根据题意,得80x+40(60-x)≤3 300,
解得x≤.
又∵x为正整数,∴x的最大值为22.
答:A种款式的服装最多能采购22件.
知识点2 方案问题
5.某通信公司推出两种手机收费方案.方案一:月租费36元,本地通话话费0.1元/分;方案二:不收月租费,本地通话话费为0.6元/分.设小明的爸爸一个月通话时间为x分.小明爸爸一个月通话时间为多少时,选择方案一比方案二优惠 ( D )
A.60分 B.70分 C.72分 D.80分
6.某书报亭开设两种租书方式:一种是零星租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书费每册0.4元.小明经常来该店租书,若每月租书数量为x册,则小明选择哪种租书方式更合算
解:零星租书应付金额为x元;
会员卡租书应付金额为(0.4x+12)元.
当x=12+0.4x时,x=20;
当x>12+0.4x时,x>20;
当x<12+0.4x时,x<20.
综上所述,当小明每月借书少于20册时,选择零星租书的方式更合算;当每月租书为20册时,两种方式费用一样;当每月租书多于20册时,选择会员卡租书的方式更合算.
7.某校为了开展好课后服务,计划用不超过10 000元的资金购买足球、篮球和排球,将它们用于球类兴趣班.已知足球、篮球、排球的单价分别为100元、80元、60元,且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息:①篮球的数量必须比足球的数量多10;②排球的数量必须是足球数量的3倍.则学校最多能购买足球( A )
A.25个 B.26个
C.30个 D.100个
8.有10名菜农,每人可种茄子3亩或辣椒2亩,已知茄子每亩可收入0.5万元,辣椒每亩可收入 0.8 万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排 4 人种茄子.
9.某公园的门票是每人5元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若少于40人时,一个团队至少要有 33 人进公园,买40张门票才合算.
10.某商场销售一批进货单价分别为150元、120元的A,B两款书包,下表是近两天的销售情况(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本):
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 2个 2个 720元
第二天 3个 4个 1 240元
(1)求A,B两款书包的销售单价.
(2)若该商场准备用不多于5 100元的金额再购进这两款书包共40个,求A款书包最多能采购多少个.
(3)在(2)的条件下,销售完这40个书包能否实现利润1 800元的目标 若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
解:(1)设A款书包的销售单价为a元,B款书包的销售单价为b元.
由题意,得解得
故A款书包的销售单价为200元,B款书包的销售单价为160元.
(2)设购进A款书包x个,则购进B款书包(40-x)个,
由题意,得150x+120(40-x)≤5 100,解得x≤10,
∴x的最大值为10.
故A款书包最多能采购10个.
(3)不能实现利润1 800元的目标.
理由如下:设购进A款书包m个,则购进B款书包(40-m)个.由题
意,得
(200-150)m+(160-120)(40-m)=1 800,
解得m=20.
由(2)知m≤10,∴m=20不符合题意,
∴不能实现利润1 800元的目标.
