10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 实际问题与二元一次方程组(一)
知识点1 和差倍分问题
1.篮球联赛中每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.如果某队在10场比赛中得到16分,那么这个队负的场数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.某车间有2个小组,甲组是乙组人数的2倍,若从甲组调8人到乙组,此时甲组人数比乙组人数的一半还多6人,则原来乙组的人数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
3.有这样一个故事:一只驴子和一只骡子驮着货物一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重,骡子说:“如果你给我一袋,那么我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮货物有 袋.
4.某大桥由桥梁和隧道两部分组成,桥梁和隧道全长共55 km,其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求该大桥的桥梁长度和隧道
长度.
知识点2 配套问题
5.机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 设安排x名工人加工大齿轮,安排y名工人加工小齿轮,可列方程组为( )
A. B.
C. D.
6.某车间有60名工人,每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个,要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母),则应分配 人生产螺母.
7.(2024杭州期中)有一个加工茶杯的车间,一个工人平均每小时可以加工杯身12个,或者加工杯盖15个,车间共有90人,应怎样分配人力,才能使生产的杯身和杯盖正好配套
8.小明的爸爸和妹妹的年龄差与爷爷和小明的年龄差的和为95,而爸爸的年龄比爷爷的年龄小40.已知小明今年13岁,妹妹今年4岁,求今年小明的爸爸和爷爷的年龄.(用二元一次方程组解答)
9.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务,购得规格是170 cm×40 cm的标准板材作为原材料,每张标准板材再按照如图①的裁法一或裁法二裁下A,B型两种板材(单位:cm).
① ②
(1)列出方程组,求a,b的值.
(2)若将m张标准板材按照裁法一裁剪,n张标准板材按照裁法二裁剪,再将得到的A,B型板材制作成如图②的横式无盖长方体礼品盒.
①两种裁法共产生A型板材 张,B型板材 张(用含m,n的代数式表示);
②若裁剪的标准板材共40张,且制作礼品盒时恰好把①中的A型板材和B型板材用完,求做成横式无盖长方体礼品盒的个数.
第2课时 实际问题与二元一次方程组(二)
知识点1 几何图形问题
1.一个长方形周长是16 cm,长与宽的差是1 cm,那么长与宽分别为( )
A.5 cm,3 cm B.4.5 cm,3.5 cm
C.6 cm,4 cm D.10 cm,6 cm
2.如图,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形.若这个拼成的长方形的长为35,宽为15,则图中Ⅱ部分的面积是 .
① ②
知识点2 数字问题
3.(2023长沙期末)一个两位数的两个数字之和为10,两个数字之差为6,求这个两位数,此题的解有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
4.一个三位数和一个两位数的差为225,在三位数的左边写这个两位数,得到一个五位数,在三位数的右边写上这个两位数,也得到一个五位数,已知前面的五位数比后面的五位数大225,求这个三位数和两位数.
知识点3 工程问题
5.2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷,3台大收割机和2台小收割机均工作5小时,共收割小麦8公顷,每台大、小收割机每小时收割小麦分别为( )
A.0.4公顷和0.2公顷 B.0.5公顷和0.3公顷
C.0.2公顷和0.4公顷 D.0.3公顷和0.5公顷
6.数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题:甲、乙两个工程队先后为某村修建3 000米的村路,甲队每天修建150米,乙队每天修建200米,共用18天完成.求甲、乙两个工程队分别修建了多少天.
(1)小红同学根据题意,列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数x表示的是 ,未知数y表示的是 ;
(2)小芳同学设甲工程队修建了p天,乙工程队修建了q天,请你按照她的思路解答老师的问题.
7.(2024廊坊期末)在大禹治水的时代,有一只神龟背上有一张神秘的图(如图①),浮出洛水,吉祥献瑞,后世称之为“洛书”.当后人将“洛书”上的数填在图②的表中时发现:每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等,像这样的数字方阵,称为“幻方”.如果图③也是一个“幻方”,那么x+y的值为( )
① ②
③
A.7 B.9 C.13 D.15
8.现有八个大小、形状相同的长方形,可拼成如图①②的图形,在拼图②时,中间留下了一个边长为2的小正方形,则每个小长方形的面积是( )
① ②
A.50 B.60 C.70 D.80
9.我国民间流传着一道“周瑜寿属”的诗歌形式的数学题:而立之年督东吴,早逝英年两位数;十比个位正小三,个位六倍与寿符;哪位同学算得快,多少年寿属周瑜 根据诗歌内容,列方程组解出周瑜的年龄.
第3课时 实际问题与二元一次方程组(三)
知识点1 行程问题
1.甲、乙二人相距6千米,二人同向而行,甲3小时可追上乙;二人相向而行,1小时相遇,则甲、乙二人的平均速度分别是( )
A.3千米/时,4千米/时 B.4千米/时,2千米/时
C.2千米/时,4千米/时 D.4千米/时,3千米/时
2.某船往返两地,顺流时每小时航行18千米,逆流时每小时航行14千米,则水流速度是( )
A.3.5千米/时 B.2.5千米/时 C.2千米/时 D.3千米/时
3.为了参加某国际铁人比赛,小李针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中,小李骑自行车的速度为每分钟600米,跑步的平均速度为每分钟200米,自行车路段和长跑路段共5千米,总共用时15分钟,求自行车路段与长跑路段的长度.
知识点2 图表问题
4.(2024达州期末)为筑牢拒毒防线,提升青少年识毒能力,某校举行“珍爱生命,远离毒品”知识竞赛活动,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣5分,不回答扣2分,一共10题,每个队的基本分均为0分,A,B两个参赛队前8题的答题情况如表,则a与b的值分别为( )
参赛队 题目数量/题 答对/题 答错/题 不回答/题 得分/分
A 8 6 0 2 56
B 8 a b 0 35
A.a=2,b=6 B.a=5,b=3 C.a=6,b=2 D.a=3,b=5
5.(2024武汉期末)七(1)班小明同学通过“测量硬币的厚度与质量”实验得到了每枚硬币的厚度和质量,数据如表.他从储蓄罐取出一把5角和1元硬币,已知这把硬币的总金额为15元,他把这些硬币叠起来,用尺量出它们的总厚度为35 mm,请你帮助小明算出这把硬币的总质量为 g.
硬币类型 1元硬币 5角硬币
每枚厚度/mm 1.8 1.7
每枚质量/g 6.1 6.0
6.A,B两地相距3千米,甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地,两人同时出发,20分钟后相遇,又经过10分钟后,甲所余路程为乙所余路程的2倍,则甲、乙两人的速度分别是( )
A.2千米/时和3千米/时 B.2千米/时和4千米/时
C.3千米/时和4千米/时 D.4千米/时和5千米/时
7.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分走60米,下坡路每分走80米,上坡路每分走40米,从家里到学校需10分,从学校到家里需15分.小华家到学校的下坡路长为 米.
8.(2024滨州期末)某旅行团组织游客到某景区参观,所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种,其中去程有26人搭乘缆车,回程有18人搭乘缆车.已知本次缆车总费用为7 200元,那么这个旅行团一共有 名游客.
参观方式 缆车费用
去程及回程,均塔乘缆车 300元
单程搭乘缆车,单程步行 200元
9.(2024临沂期末)某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱,现有两种不同的购买方案,如下表:
方案 牛奶/箱 咖啡/箱 金额/元
方案一 20 10 1 100
方案二 30 15
(1)根据表中的数据,判断方案二的金额是 元.
(2)①若后勤部购买牛奶25箱,咖啡20箱,则需支付金额1 750元.牛奶与咖啡每箱分别为多少元
②若牛奶和咖啡每箱的原价不变,超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近,进行打六折的促销活动,后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶,此次采购共花费了1 200元,其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的,则此次按原价采购的咖啡有多
少箱 10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 实际问题与二元一次方程组(一)
知识点1 和差倍分问题
1.篮球联赛中每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.如果某队在10场比赛中得到16分,那么这个队负的场数是( A )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.某车间有2个小组,甲组是乙组人数的2倍,若从甲组调8人到乙组,此时甲组人数比乙组人数的一半还多6人,则原来乙组的人数为( D )
A.6 B.8 C.10 D.12
3.有这样一个故事:一只驴子和一只骡子驮着货物一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重,骡子说:“如果你给我一袋,那么我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮货物有 5 袋.
4.某大桥由桥梁和隧道两部分组成,桥梁和隧道全长共55 km,其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求该大桥的桥梁长度和隧道
长度.
解:设该大桥的隧道长度为x km,桥梁长度为y km.
由题意,得
解得
答:该大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km和5.9 km.
知识点2 配套问题
5.机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 设安排x名工人加工大齿轮,安排y名工人加工小齿轮,可列方程组为( B )
A. B.
C. D.
6.某车间有60名工人,每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个,要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母),则应分配 35 人生产螺母.
7.(2024杭州期中)有一个加工茶杯的车间,一个工人平均每小时可以加工杯身12个,或者加工杯盖15个,车间共有90人,应怎样分配人力,才能使生产的杯身和杯盖正好配套
解:设加工杯身的人数为x,加工杯盖的人数为y.由题意,得解得
答:加工杯身的人数为50,加工杯盖的人数为40.
8.小明的爸爸和妹妹的年龄差与爷爷和小明的年龄差的和为95,而爸爸的年龄比爷爷的年龄小40.已知小明今年13岁,妹妹今年4岁,求今年小明的爸爸和爷爷的年龄.(用二元一次方程组解答)
解:设今年小明的爸爸的年龄是x岁,爷爷的年龄是y岁.
依题意,得解得
答:今年小明的爸爸的年龄是36岁,爷爷的年龄是76岁.
9.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务,购得规格是170 cm×40 cm的标准板材作为原材料,每张标准板材再按照如图①的裁法一或裁法二裁下A,B型两种板材(单位:cm).
① ②
(1)列出方程组,求a,b的值.
(2)若将m张标准板材按照裁法一裁剪,n张标准板材按照裁法二裁剪,再将得到的A,B型板材制作成如图②的横式无盖长方体礼品盒.
①两种裁法共产生A型板材 张,B型板材 张(用含m,n的代数式表示);
②若裁剪的标准板材共40张,且制作礼品盒时恰好把①中的A型板材和B型板材用完,求做成横式无盖长方体礼品盒的个数.
解:(1)由题意,得解得
(2)①两种裁法共产生A型板材(2m+n)张,B型板材(m+2n)张,
故答案为(2m+n),(m+2n).
②∵每个横式无盖长方体礼品盒由3张A型板材,2张B型板材组成,由题意,得
解得
∴共产生A型板材72张,B型板材48张,∴制作成横式无盖长方体礼品盒24个.
第2课时 实际问题与二元一次方程组(二)
知识点1 几何图形问题
1.一个长方形周长是16 cm,长与宽的差是1 cm,那么长与宽分别为( B )
A.5 cm,3 cm B.4.5 cm,3.5 cm
C.6 cm,4 cm D.10 cm,6 cm
2.如图,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形.若这个拼成的长方形的长为35,宽为15,则图中Ⅱ部分的面积是 150 .
① ②
知识点2 数字问题
3.(2023长沙期末)一个两位数的两个数字之和为10,两个数字之差为6,求这个两位数,此题的解有( C )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
4.一个三位数和一个两位数的差为225,在三位数的左边写这个两位数,得到一个五位数,在三位数的右边写上这个两位数,也得到一个五位数,已知前面的五位数比后面的五位数大225,求这个三位数和两位数.
解:设三位数为x,两位数为y.
由题意,得
解得
答:三位数为250,两位数为25.
知识点3 工程问题
5.2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷,3台大收割机和2台小收割机均工作5小时,共收割小麦8公顷,每台大、小收割机每小时收割小麦分别为( A )
A.0.4公顷和0.2公顷 B.0.5公顷和0.3公顷
C.0.2公顷和0.4公顷 D.0.3公顷和0.5公顷
6.数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题:甲、乙两个工程队先后为某村修建3 000米的村路,甲队每天修建150米,乙队每天修建200米,共用18天完成.求甲、乙两个工程队分别修建了多少天.
(1)小红同学根据题意,列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数x表示的是 ,未知数y表示的是 ;
(2)小芳同学设甲工程队修建了p天,乙工程队修建了q天,请你按照她的思路解答老师的问题.
解:(1)甲工程队共修建的米数 乙工程队共修建的米数
(2)由题意,得
解得
答:甲工程队修建了12天,乙工程队修建了6天.
7.(2024廊坊期末)在大禹治水的时代,有一只神龟背上有一张神秘的图(如图①),浮出洛水,吉祥献瑞,后世称之为“洛书”.当后人将“洛书”上的数填在图②的表中时发现:每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等,像这样的数字方阵,称为“幻方”.如果图③也是一个“幻方”,那么x+y的值为( C )
① ②
③
A.7 B.9 C.13 D.15
8.现有八个大小、形状相同的长方形,可拼成如图①②的图形,在拼图②时,中间留下了一个边长为2的小正方形,则每个小长方形的面积是( B )
① ②
A.50 B.60 C.70 D.80
9.我国民间流传着一道“周瑜寿属”的诗歌形式的数学题:而立之年督东吴,早逝英年两位数;十比个位正小三,个位六倍与寿符;哪位同学算得快,多少年寿属周瑜 根据诗歌内容,列方程组解出周瑜的年龄.
解:设十位数字为x,个位数字为y.
根据题意,得解得
答:周瑜的年龄为36岁.
第3课时 实际问题与二元一次方程组(三)
知识点1 行程问题
1.甲、乙二人相距6千米,二人同向而行,甲3小时可追上乙;二人相向而行,1小时相遇,则甲、乙二人的平均速度分别是( B )
A.3千米/时,4千米/时 B.4千米/时,2千米/时
C.2千米/时,4千米/时 D.4千米/时,3千米/时
2.某船往返两地,顺流时每小时航行18千米,逆流时每小时航行14千米,则水流速度是( C )
A.3.5千米/时 B.2.5千米/时 C.2千米/时 D.3千米/时
3.为了参加某国际铁人比赛,小李针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中,小李骑自行车的速度为每分钟600米,跑步的平均速度为每分钟200米,自行车路段和长跑路段共5千米,总共用时15分钟,求自行车路段与长跑路段的长度.
解:设自行车路段的长度为x米,长跑路段的长度为y米.根据题
意,得
解得
答:自行车路段的长度为3 000米,长跑路段的长度为2 000米.
知识点2 图表问题
4.(2024达州期末)为筑牢拒毒防线,提升青少年识毒能力,某校举行“珍爱生命,远离毒品”知识竞赛活动,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣5分,不回答扣2分,一共10题,每个队的基本分均为0分,A,B两个参赛队前8题的答题情况如表,则a与b的值分别为( B )
参赛队 题目数量/题 答对/题 答错/题 不回答/题 得分/分
A 8 6 0 2 56
B 8 a b 0 35
A.a=2,b=6 B.a=5,b=3 C.a=6,b=2 D.a=3,b=5
5.(2024武汉期末)七(1)班小明同学通过“测量硬币的厚度与质量”实验得到了每枚硬币的厚度和质量,数据如表.他从储蓄罐取出一把5角和1元硬币,已知这把硬币的总金额为15元,他把这些硬币叠起来,用尺量出它们的总厚度为35 mm,请你帮助小明算出这把硬币的总质量为 121 g.
硬币类型 1元硬币 5角硬币
每枚厚度/mm 1.8 1.7
每枚质量/g 6.1 6.0
6.A,B两地相距3千米,甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地,两人同时出发,20分钟后相遇,又经过10分钟后,甲所余路程为乙所余路程的2倍,则甲、乙两人的速度分别是( D )
A.2千米/时和3千米/时 B.2千米/时和4千米/时
C.3千米/时和4千米/时 D.4千米/时和5千米/时
7.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分走60米,下坡路每分走80米,上坡路每分走40米,从家里到学校需10分,从学校到家里需15分.小华家到学校的下坡路长为 400 米.
8.(2024滨州期末)某旅行团组织游客到某景区参观,所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种,其中去程有26人搭乘缆车,回程有18人搭乘缆车.已知本次缆车总费用为7 200元,那么这个旅行团一共有 28 名游客.
参观方式 缆车费用
去程及回程,均塔乘缆车 300元
单程搭乘缆车,单程步行 200元
9.(2024临沂期末)某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱,现有两种不同的购买方案,如下表:
方案 牛奶/箱 咖啡/箱 金额/元
方案一 20 10 1 100
方案二 30 15
(1)根据表中的数据,判断方案二的金额是 元.
(2)①若后勤部购买牛奶25箱,咖啡20箱,则需支付金额1 750元.牛奶与咖啡每箱分别为多少元
②若牛奶和咖啡每箱的原价不变,超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近,进行打六折的促销活动,后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶,此次采购共花费了1 200元,其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的,则此次按原价采购的咖啡有多
少箱
解:(1)1 650
(2)①设牛奶一箱x元,咖啡一箱y元,
根据问题中的相等关系,得
解得
答:牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元.
②设牛奶与咖啡总箱数为a,则打折的牛奶箱数为a,
打折牛奶价格为30×0.6=18(元),
打折咖啡价格为50×0.6=30(元),
即打折咖啡价格与牛奶原价相同,
设原价咖啡为b箱,则打折咖啡与原价牛奶共有箱,
根据问题中的相等关系,得
18×a+30×+50b=1 200,
整理得27a+20b=1 200.
∵a,b均为正整数,∴或
∵a>b,∴a=40,b=6,
即此次按原价采购的咖啡有6箱.
