基本计数原理--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练
一、选择题
1．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习,则不同的选择方案共有( )
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
2．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格中,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有( )
A.6种 B.9种 C.18种 D.24种
3．小武是1993年12月18日出生的,他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码,那么小武同学可以设置的不同密码的个数为( )
A.2760 B.3180 C.3200 D.3360
4．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有( )种
A.10 B.20 C.30 D.60
5．甲,乙,丙3位同学到4个社区参加志愿服务,每人限去一个社区,不同方法的种数是( )
A.24 B.36 C.64 D.81
6．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课,要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课,其中小明不选篮球和足球,则不同的选课方法共有( )
A.36种 B.50种 C.75种 D.125种
7．如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A.96 B.84 C.60 D.48
8．用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A.18 B.24 C.30 D.48
二、多项选择题
9．我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五曹算经》 《夏侯阳算经》 《张丘建算经》 《海岛算经》 《五经算术》 《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五经算术》 《缀术》和《缉古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为( )
A. B.
C. D.
10．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
乘坐站数x
票价/元 2 3 4
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
B.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种
C.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
D.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种
11．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选3门学习，共有20种选法
B.“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C.“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D.“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
三、填空题
12．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的1个讲座,不同选择的种数是________;
13．由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个.
14．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有_______________（用数字作答）.
四、解答题
15．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A、B、C三个盒子中，若每个盒子不空，且放入同一个盒子的小球编号不相连，求不同的放法种数.
16．称子集是“好的”，如果它有下述性质：“若，则且”，那么M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集？
17．用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：
（1）三位数？
（2）无重复数字的三位数？
（3）小于500的无重复数字的三位数？
（4）无重复数字的三位数的奇数？
18．某城市地铁公司为了鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价/元 2 3 4
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.
19．A，B，C，D四个区域如图所示，按照下列要求涂色.
（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，每个区域涂一种颜色，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，每个区域涂一种颜色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
参考答案
1．答案：B
解析：由分步计数原理,得不同的选择方案共有种.
故选:B
2．答案：B
解析：第一步：先把数字1填入方格中,符合条件的有3种方法,
第二步：把第一步中数字1填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一,
又有种方法,
第三步：填余下的两个数字,只有1种填法,共有种填法.
故选：B.
3．答案：D
解析：先将这8个数字进行全排列,有种情况,
而这8个数字中有三个1和两个9,可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法,
所以一共可以组成个六位数,即可以设置的不同密码的个数为.
故选：D.
4．答案：C
解析：4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况，
由分步计数原理得，共有种不同的方法.
故选：C
5．答案：C
解析：不同方法的种数是：.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为小明不选篮球和足球,所以小明有3种选课方法,
小强和小红各有5种选课方法,
所以不同的选课方法共有种.
故选:C.
7．答案：B
解析：分三类:种两种花有种种法;
种三种花有种种法;
种四种花有种种法.
共有.
故选B
8．答案：D
解析：由题意可知,首位数字有4种选择,则中间的数位有4种选择,末尾数字有3种选择.
由分步乘法计数原理可知,可以组成没有重复数字的三位数的个数.
故选:D.
9．答案：BD
解析：根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有，
由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为；
或者先分组再分配，6本书分为4组，
若为1，1，1，3，则有种，再分配给4个人有种，
若为1，1，2，2，则有种，再分配给4个人有种，
则一共有种分配方法.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：因为甲、乙两人乘坐地铁，共花费5元，
则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6，
设首站之后的前6站分别为，，，，，，
若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为，，，
，，，，，共8种，
同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有8种方案，
因此甲和乙两人共花费5元时共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确；
设首站之后的前9站分别为，，，，，，，，，
若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元；
由选项AB的解题思路可知每类情况有9种方案，
所以甲、乙两人共付费6元时共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对于A，某学生从中选3门学习，共有种选法，
故选项A正确；
对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种，
故选项B错误；
对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种；
②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，
所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有种选法，
故选项C正确；
对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种；
②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种；
③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种.
所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有种选法，
故选项D错误；
故选：AC.
12．答案：243
解析：根据题意,每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个,所以每位同学有3种选择方法,
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为:243.
13．答案：90
解析：因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，
则当0排在第6位时，共有（个）数；
当0排在第5位时，共有（个）数；
当0排在第4位时，共有（个）数，
故这样的七位数共有（个）.
故答案为：90
14．答案：9
解析：先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,
第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有种填法.
故答案为：9.
15．答案：42种
解析：将编号为1、2、3、4、5的5个小球，全部放入A、B、C三个盒子中，且每个盒子不空，
根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两类情况.
①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放入同一个盒子的小球编号互不相连，
因此放3个小球的盒子里小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，只有一种分组方法，再分配到三个盒子，
此时共有（种）放法；
②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放入同一个盒子的小球编号互不相连，
因此放2个小球的盒子里小球的编号分别为或或或或或，共6种，再分配到三个盒子，
此时共有（种）放法.
综上所述，不同的放法种数为（种）.
16．答案：56个
解析：含有2个偶数的“好的”子集A有两种不同的情形：
①两偶数是相邻的，有4种可能情况：2，4；4，6；6，8；8，10.
每种情况必有3个奇数相随（如，则），
余下的3个奇数可能在A中，也可能不在A中，
所以这样的“好的”子集共有（个）.
（2）两偶数不相邻，有6种可能情况：2，6；2，8；2，10；4，8；4，10；6，10.
每种情况必有4个奇数相随（如，则），
余下的2个奇数可能在A中，也可能不在A中，
所以这样的“好的”子集共有（个）.
综上所述，M中有（个）包含2个偶数的“好的”子集.
17．答案：（1）900
（2）648
（3）288
（4）320
解析：（1）（方法一）可以组成的三位数的个数为.
（方法二）可以组成的三位数的个数为.
（2）（方法一）可以组成无重复数字的三位数的个数为.
（方法二）可以组成无重复数字的三位数的个数为.
（3）可以组成小于500的无重复数字的三位数的个数为.
（4）（方法一）个位可以为1，3，5，7，9，有5种方法；百位不能排0，个位用去一个数字，所以有8种方法；十位剩下8个数字可以放，有8种方法.
所以可以组成无重复数字的三位数的奇数的个数为.
（方法二）先排个位，可以放1，3，5，7，9，有5种方法，用去一个数字后百位有9种方法，个位和百位各用去一个数字后，十位还有8种方法，共有（种）方法.
又不符合条件的是百位放数字0，有1种方法，此时个位有5种方法，十位有8种方法，故共有（种）方法.
所以可以组成无重复数字的三位数的奇数的个数为.
18．答案：（1）18种
（2）
解析：（1）因为小华、小李两人共付费5元，
所以小华、小李一人付费2元一人付费3元.
付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，
所以小华、小李下地铁的方案共有（种）.
（2）因为小华、小李两人共付费6元，
所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.
由于付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，
因此小华、小李下地铁的方案共有（种），
其中小华比小李先下地铁的方案共有（种）.
故小华比小李先下地铁的概率为.
19．答案：（1）24种
（2）18种
（3）6种
解析：（1）涂A区域有3种涂法，B，C，D区域各有2种涂法，
由分步乘法计数原理知，将A，B，C，D四个区域涂色共有（种）不同的涂色方案.
（2）恰好用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色.
由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共有（种）不同涂色的方案.
（3）若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色.
先从3种不同颜色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法.
由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂完四个区域，共有（种）不同的涂色方案.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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