1．平行线的概念： 在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行(parallel)，记作“a//b”．读作：直线a平行于直线b． 2．平行线的画法 一落：把三角尺一边落在已知直线上； 二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四画：沿三角尺过已知点的边画直线． 3．平行线的基本事实Ⅰ及其推论 （1）基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．平行线的判定 （1）判定方法1（基本事实Ⅱ）： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．平行线的性质 （1）性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠4，如图． （2）性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，如图． （3）性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言为：如果a∥b，那么∠3+∠4=180°，如图．
1．平行线：
（1）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（2）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（3）线段或射线平行是指它们所在的直线平行．
2．平行线的判定和性质的区别
平行线的性质是由两条直线的位置关系（平行）得出角的数量关系；
平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系（平行）．
【题型1】平行线的概念
（2024春 肇源县月考）下列说法正确的是
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
点拨 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
【变式练1】 （2023春 冷水滩区校级期中）在同一平面内，直线与没有交点，那么与的位置关系是 ．
【变式练2】 （2023春 青龙县期中）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 ， ．
【变式练3】 （2024春 洮北区校级月考）直线与平行可记作： ．
【题型2】平行线的基本事实及其推论
（2024春 和平区校级期末）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
点拨 强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．
【变式练4】 （2024春 沈河区校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【变式练5】 （2024春 肥城市期末）如图，已知，，则下列结论中一定正确的是
A． B．
C． D．
【变式练6】 （2024春 康巴什期末）如图，，，则点，，在同一条直线上，理由是 ．
【题型3】平行线的判定
（2024春 道县期末）如图，已知，，，．
求证：．
点拨 判定平行线的思路： （1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系； （2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明．
【变式练7】 （2024秋 伊川县期末）完成下面的证明：
已知：如图．平分，平分，且．
求证：．
证明：平分（已知），
．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
．
（已知），
．
．
【变式练8】 （2024秋 项城市期末）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：．
【变式练9】 （2024春 南昌县期末）已知：如图，，．垂足分别为，．且．
求证：．
【题型4】平行线的性质
（2024秋 青羊区校级期末）如图，，，，那么等于
A． B． C． D．
点拨 只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．
【变式练10】 （2025 碑林区校级一模）如图，，点在上，连接，，若平分，，则的度数为
A． B． C． D．
【变式练11】 （2024秋 句容市期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为
A． B． C． D．
【变式练12】 （2024秋 洛阳期末）如图，，，则
A． B． C． D．
【题型5】平行线的性质与判定综合
如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【变式练13】 （2024秋 达州期末）如图，在△中，平分，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【变式练14】 （2024秋 福田区期末）如图，．
（1）求证：．
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整．
证明：如图1，过点作，
（2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为 ．
【变式练15】 （2024秋 紫金县期末）如图，点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，，求．
1．平行线的概念： 在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行(parallel)，记作“a//b”．读作：直线a平行于直线b． 2．平行线的画法 一落：把三角尺一边落在已知直线上； 二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四画：沿三角尺过已知点的边画直线． 3．平行线的基本事实Ⅰ及其推论 （1）基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．平行线的判定 （1）判定方法1（基本事实Ⅱ）： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．平行线的性质 （1）性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠4，如图． （2）性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，如图． （3）性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言为：如果a∥b，那么∠3+∠4=180°，如图．
1．平行线：
（1）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（2）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（3）线段或射线平行是指它们所在的直线平行．
2．平行线的判定和性质的区别
平行线的性质是由两条直线的位置关系（平行）得出角的数量关系；
平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系（平行）．
【题型1】平行线的概念
（2024春 肇源县月考）下列说法正确的是
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【分析】根据平行线的定义选择．
【解答】解：、应该是不相交的两条直线，故错误；
、还有平行的情况，故错误；
、正确；
、应该是在同一平面内，故错误．
故选：．
点拨 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
【变式练1】 （2023春 冷水滩区校级期中）在同一平面内，直线与没有交点，那么与的位置关系是 ．
【变式练2】 （2023春 青龙县期中）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 ， ．
【变式练3】 （2024春 洮北区校级月考）直线与平行可记作： ．
1．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得出即可．
【解答】解：在同一平面内，直线与没有交点，
与的位置关系是平行．
故答案为：平行．
2．【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．
【解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交，平行．
故答案为：平行，相交
3．【答案】．
【分析】根据平行符号的表示方法解答即可．
【解答】解：直线与平行可记作：．
故答案为：．
【题型2】平行线的基本事实及其推论
（2024春 和平区校级期末）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，，，故不符合题意；
、，，与不一定平行，故不符合题意；
、，，，故符合题意；
、，，与不一定平行，故不符合题意；
故选：．
点拨 强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．
【变式练4】 （2024春 沈河区校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【变式练5】 （2024春 肥城市期末）如图，已知，，则下列结论中一定正确的是
A． B．
C． D．
【变式练6】 （2024春 康巴什期末）如图，，，则点，，在同一条直线上，理由是 ．
4．【答案】
【分析】根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”解答．
【解答】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条，
故选：．
5．【答案】
【分析】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长到，然后结合图形去分析即可解答．
【解答】解：延长到，
，
，
，
，
，
，
故选：．
6．【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可．
【解答】解：，，点，，在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【题型3】平行线的判定
（2024春 道县期末）如图，已知，，，．
求证：．
【答案】证明见解答过程．
【分析】结合邻补角定义、三角形内角和定理求出，根据“同位角相等，两直线平行”推出，再根据平行公理推论即可得证．
【解答】证明：，，
，
又，
，
，
，
，
，
．
点拨 判定平行线的思路： （1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系； （2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明．
【变式练7】 （2024秋 伊川县期末）完成下面的证明：
已知：如图．平分，平分，且．
求证：．
证明：平分（已知），
．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
．
（已知），
．
．
【变式练8】 （2024秋 项城市期末）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：．
【变式练9】 （2024春 南昌县期末）已知：如图，，．垂足分别为，．且．
求证：．
7．
【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】证明：平分（已知），
角平分线的定义）．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
等式的性质）．
（已知），
等量代换）．
同旁内角互补两直线平行）．
8．
【分析】要证，只需证，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得，故本题得证．
【解答】证明：，（已知）
．（垂直定义）
又，（已知）
．
．（对顶角相等）
又，（已知）
．
（同位角相等，两直线平行）．
9．
【分析】利用垂直的定义得出，，进而得出，再利用平行线的判定方法得出即可．
【解答】证明：，且，
，，
，
．
【题型4】平行线的性质
（2024秋 青羊区校级期末）如图，，，，那么等于
A． B． C． D．
【答案】
【分析】过作，得到，推出，，即可求出的度数．
【解答】解：过作，
，
，
，，
．
故选：．
点拨 只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．
【变式练10】 （2025 碑林区校级一模）如图，，点在上，连接，，若平分，，则的度数为
A． B． C． D．
【变式练11】 （2024秋 句容市期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为
A． B． C． D．
【变式练12】 （2024秋 洛阳期末）如图，，，则
A． B． C． D．
10．【答案】
【分析】由平行线的性质推出，，由角平分线定义求出，于是得到的度数．
【解答】解：，
，，
平分，
，
．
故选：．
11．【答案】
【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
，
，
，
，
故选：．
12．【答案】
【分析】根据邻补角概念，得到，再利用两直线平行，同位角相等，得到，得到结果．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【题型5】平行线的性质与判定综合
如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证明，即可得出；
（2）先求出的度数，即可得出的度数．
【解答】（1）证明：和是对顶角，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【变式练13】 （2024秋 达州期末）如图，在△中，平分，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【变式练14】 （2024秋 福田区期末）如图，．
（1）求证：．
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整．
证明：如图1，过点作，
（2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为 ．
【变式练15】 （2024秋 紫金县期末）如图，点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，，求．
13．【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出，结合可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，即的度数为．
14．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再结合得出即可解决问题．
（2）过点作的平行线，结合平行线的性质得出，再结合角平分线的定义即可解决问题．
【解答】（1）证明：过点作，
．
又，，
，
，
．
（2）解：过点作，
．
同理可得，，
又，
．
，分别平分和，
，，
．
又，
．
故答案为：．
15．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．
【分析】（1）先根据得出，再由得出，进而可得出结论；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
即，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
