河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期开学收心考试数学试题
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，若，则（ ）
A. 3 B. 6 C. 18 D. 12
5. 在正项等比数列中，若，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
6. 已知双曲线上两点关于原点对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A. 360 B. 480 C. 960 D. 1280
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为 D.
10. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 过定点
B. 若直线平分圆的周长，则
C. 的最小值为
D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为
11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，已知椭圆的右顶点为，上顶点为．是椭圆的左、右焦点．为椭圆上的动点．则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的面积为
B. 若的内切圆的面积为，则
C. 椭圆上存在6个点，使得直角三角形
D. 设点的坐标为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与直线垂直，则____________．
13. 已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为____________．
14. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若点关于轴的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程．
16. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
17. 如图1，在直角梯形中．．将沿折起，使，连接，得如图2的几何体．
图1 图2
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由．
19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如．
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求的前项和；
（3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1-8
【答案】C
【答案】D
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】B
【答案】D
【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（1）；
（2）或.
16.【答案】（1）；
（2）.
17.【小问1详解】
在直角梯形中，，，则，
三棱锥中，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
取中点，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，
则可得，平面，
由（1）可知平面，即平面平面，
则以为坐标原点，射线，分别为轴，轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面内，
设，则，
所以，，，，
则
由题意，设平面法向量为，
则，令，则，
得，
设平面的一个法向量，
则 ，令，则，
得，
所以，
所以二面角的余弦值为.
18.【答案】（1）；
（2）存在，.
19.【答案】（1）
（2）
（3）
