河南省商丘市部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数从到的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与平行，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，数列满足，，则前2025项和为（ ）
A. 2025 B. 2027 C. 5060 D. 5062
7. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上位于第一象限的点，且，直线与交于A，两点，且（为坐标原点），则以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，若在直线上存在点满足，则的取值可能为（ ）
A. B. C. 0 D.
10. 已知数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和的最小值为
D. 数列的前项和小于
11. 如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点，点在棱上运动（含端点，），则（ ）
A. 存在点，使得
B. 四面体体积的最小值为
C. 异面直线与所成的角总大于
D. 当点从向运动时，二面角先变大再变小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与函数的图象相切，则________．
13. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________．
14. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的公比，，．
（1）求；
（2）设，若，求．
16. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且当时，恒成立，求的最大值．
17. 已知数列中，，．
（1）求，；
（2）证明：为等差数列；
（3）求的前项和．
18. 如图，是圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，，，，点是的重心，点在线段上，且．
（1）求四面体外接球的表面积；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
19. 已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，点在上，在第一象限，在第二象限，，且．
（1）求的方程；
（2）求四边形面积的最小值；
（3）若直线与交于两点，的中垂线与轴交于点，证明：．
参考答案
1-8
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】C
【答案】D
【答案】D
【答案】A
【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】##
15.【答案】（1）；
（2）.
16.【答案】（1）
（2）
17.【小问1详解】
由题意可得，
所以由.
【小问2详解】
证明：因为，所以，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
【小问3详解】
由（2）得，所以，
所以的前项和，
所以，
所以，
所以.
18.【小问1详解】
因为是圆柱一条母线，所以平面，
又是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，所以，
因为，，，所以，
即外接圆的直径为，
设四面体外接球的半径为，则，即，
所以四面体外接球的表面积；
【小问2详解】
连接并延长交于点，连接，
因为点是的重心，所以，又，点在线段上，且，
所以，即，即，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问3详解】
过点作母线，则平面，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19.【小问1详解】
由已知得，
即，．
离心率，，
的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，且双曲线渐近线为.
设直线与交于另一点，直线与交于另一点，连接．
，由双曲线的对称性知，四边形为平行四边形，
．
由题意直线与双曲线左支交于两点，则斜率不为，
可设直线，设，
联立，整理得．
都在左支上，，
解得，
且.
.
设，则，
，
在时取得最大值，
当，即时，取得最小值，
故四边形面积的最小值为.
【小问3详解】
设的中点为，
直线过定点，
要使直线与双曲线两个不同交点，则.
将代入，整理得，
，
，
，
的中垂线方程为，
令，得，
又
，
.
