第二章：一元二次方程能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：∵m是关于x的一元二次方程.的根，
∴
∴
∵，
∴
故选择：A
2.答案：A
解析：一元二次方程-(x+m)(x+3m)=3mx+37
整理得：
∵
∵
∴
∴原方程无实数根，
故选择：A
3.答案：D
解析：∵一元二次方程有解，
∴
∴
故选择：D
4.答案：D
解析：∵方程中,满足和，
∴是原方程的两根，
故选择：D
5.答案：B
解析：是一元二次方程的解，
∴，
∴
∵，
∴
故选择：B
6.答案：B
解析：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵总有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵n是正整数，
∴，2，3，4，5，6，
∵方程是“倍根方程”，
∴3能被整除或能被3整除，
∴或5．
故选择：B．
7.答案：A
解析：∵一元二次方程有一个根为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴方程cx2+bx+a＝0可化为：cx2﹣2cx﹣2022×2024c＝0，
c（x2﹣2x﹣2022×2024）＝0，
c（x﹣2024）（x+2022）＝0，
若c＝0，则x取任意实数；
若c≠0，方程cx2+bx+a＝0的两个根为：x1＝2024，x2＝﹣2022，
故选择：A．
8.答案：D
解析：由题意可知，此方程有两个非负实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4×1×4≥0，解得k≤﹣2或k≥2，
∵k为非负实数，
∴k≥2．
∵方程x2﹣2kx+4＝0的两实数根为a，b，
∴a+b＝2k，ab＝4，
∴（a﹣1）2+（b﹣1）2
＝a2﹣2a+1+b2﹣2b+1
＝（a+b）2﹣2ab﹣2（a+b）+2
＝（a+b﹣1）2﹣2ab+1
＝（2k﹣1）2﹣2×4+1
＝（2k﹣1）2﹣7，
∵当时，（2k﹣1）2﹣7随k的增大而增大，
又k≥2，
∴当k＝2时，（2k﹣1）2﹣7有最小值，为（2×2﹣1）2﹣7＝2，
∴（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为2．
故选择：D．
9.答案：B
设正方形B的边长为，
∵将B放在A的内部如题图②所示，且阴影部分的面积为1，
∴易得阴影部分为正方形，且边长为1，
∴正方形A的边长为，
∵将A,B无缝隙且无重叠放置后构造的新正方形如题图③所示，
∴题图③中大正方形的边长为.
∵题图③中阴影部分的面积为7，
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
∴题图③中大正方形的边长为
∴题图③中大正方形的面积为15.
故选择：B
10.答案：C
解析：是方程的两个根，
，，
故选择：C
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵一元二次方程有一个根为1，
∴，
解得，
故答案为：
12.答案：4
解析：∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∴实数的值是，
故答案为： ．
13.答案：
解析：根据题意得：．
故答案为：
14.答案：①③④
解析：①将代入方程可得：，
∴①正确；
②若，则方程为，
∴，
∴方程必有两个的实数根，故②错误；
③∵，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，③正确；
④∵方程中，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，④正确.
故正确答案为：①③④
15.答案：
解析：∵，
由题意知：，，
∴，
，
，即
，
解得：或，
根据题意，
∴，
经检验，是原方程的解；
故答案为：
16.答案：6，
解：（1）设，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当围成的菜园面积为，BC的长为，
故答案为：6；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，
又∵墙可利用的最大长度为10m，
∴，
∴a的范围为．
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）解：，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，
解得．
（3）解：，，
，．
18.解析：（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根为，
，，
，
∵，
∴，解得，，
∵，
∴．
19.解析：（1）由题知，因为该方程有实数根，
所以，
解得，
所以m的取值范围是．
（2）解：将代入方程得，，
解得，．
当1为腰时，
，
所以此情况不存在．
当3为腰时，
，
此时等腰三角形的周长为：．
20.解析：（1）
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为1；
（3）解：∵
，
又∵，，
∴，
∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
21.解析：（1）证明：，
，即
∴方程有两个实数根；
（2）设，一元二次方程的解，
，
，，
∵△ABC中、的边长分别为方程的两个实数根，且，△ABC是等腰三角形，
，
有两种可能的情况：或，和，
当或即或时，即方程有两个不相等的实数根．
将，代入中得
，
解得，
将代入原方程得，
解得，，
∵△ABC中、的边长分别为方程的两个实数根，且，
△ABC的周长为，
当时，即方程有两个相等的实数根．
，即
解得：，
将代入原方程得，
解得，，
三条边分别为，，1，不能构成三角形，舍去；
综上所述：，△ABC的周长为．
22.解析：（1）解方程，得，，
解方程，得，，
∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根，
∴一元二次方程与属于“同伴方程”；
（2）解：解，得，，
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
∴m的值为或．
23.解析：（1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴．
答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元．
（2）解：设每个圆规的售价为m元，
由题意得：，
整理得：，解得：或，
∵降价幅度不超过，
∴，解得：，
∴．
答：每个套尺的售价为11元．
24.解析：解决问题：
（1）根据题意得：10＝12+32；
故答案为：10＝12+32；
（2）根据题意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
m＝2，n＝﹣1；
mn＝﹣2；
探究问题：
（3）已知等式变形得：（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0，
即（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
得：x＝1，y＝﹣3
则x+y＝1﹣3＝﹣2
故答案为：﹣2；
（4）当k＝8，S为“完美数”，理由如下：
S＝x2+9y2+4x﹣12y+8，
＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），
＝（x+2）2+（3y﹣2）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，3y﹣2也是整数，
∴S是一个“完美数”；
拓展结论：
（5）∵
∴﹣y＝﹣x2x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，
5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，
＝﹣3（x﹣2）2+6，
当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为：6．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二章：一元二次方程能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1. 若m是关于x的一元二次方程.的根,且m≠0,则的值为( )
A. B. C. D.
2. 若,则关于x的一元二次方程-(x+m)(x+3m)=3mx+37;根的情况是( )
A. 无实数根 B. 有两个正根 C. 有两个根，且都大于-3m D. 有两个根，其中一根大于-m
3．已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4. 若方程中,满足和,则方程的根是 ( )
A. 1,0 B. 一1,0 C. 1,-1 D. 2,一2
5. 若是一元二次方程的解,则m的值是( )
A. m=-4或m=2 B. m=-4 C. m=2 D. m=0
6.定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ）
A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6
7.已知一元二次方程有一个根为，且b+2c＝0，则方程一定有一个根为（ ）
A．﹣2022 B．﹣2023 C．﹣2024 D．﹣2025
8.设k为非负实数，且方程x2﹣2kx+4＝0的两实数根为a，b，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．4 D．2
9．有两个正方形A,B（如图①），现将B放在A的内部如图②；再将A,B无缝隙且无重叠放置后构造的新正方形如图③.若图②和图③中阴影部分的面积分别为1和7，则图③所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
A. 2-15 B. 2016 C. 2017 D. 2018
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若一元二次方程有一个根为1，则的值为____________
12.对于实数，定义新运算“”：，如． 若，则实数的值是___________
13.在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为_________________
14.对于一元二次方程，下列说法正确的有__________(填序号）
①若是方程的解，则；②若，则方程必有两个不相等的实数根；
③若，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程必有两个不相等的实数根.
15.古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接CD，若，则m的值为_________
16.小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形．
（1）当围成的菜园面积为时，的长为 ；
（2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解下列方程：
(1) (2)． (3)
18.（本题6分）一元二次方程：中，两根，，
已知关于x的方程两个实数根．(1)求m的取值范围； (2)设，求m的值．
19.（本题8分）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
．
20.（本题8分）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等
例如：分解因式：
(1)请用上述方法把分解因式；
(2)求多项式的最小值；
(3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
21.（本题10分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中、的边长，当时，△ABC是等腰三角形，求此时k的值和△ABC的周长．
22.（本题10分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
23.（本题12分）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．(1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
(2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
24（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足，求5x﹣3y的最值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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