2024-2025学年广东省深圳市西浦教育集团外国语高中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知两条直线：与：被圆截得的线段长均为，则圆的面积为( )
A. B. C. D.
6.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓忽略水泥建筑的厚度近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为米，则校门位于地面宽度最大约为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知为正方形的中心，，分别为，的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若且，则
10.已知点是椭圆上一点，，为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 点到轴的距离为 B.
C. 的周长为 D. 的内切圆半径为
11.如图，已知正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有( )
A. ，，，四点共面
B. 与所成的角为
C. 在线段上存在点，使平面
D. 在线段上任取点，三棱锥的体积不变
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知抛物线：焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 ______．
13.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 ______．
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求的前项和．
16.本小题分
已知圆心为的圆被直线截得的弦长为．
求圆的方程；
点与点关于直线对称，求以为圆心且与圆外切的圆的方程．
17.本小题分
记数列的前项和为，已知．
设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．
求证：；
是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线已知椭圆的共轭双曲线为．
求双曲线的标准方程；
已知点，直线不过点与相交于，两点，且，求点到直线的距离的最大值．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，
解得，
所以．
由可知，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
16.解：由题意得圆心到直线的距离等于．
圆被直线截得的弦长为，
圆的半径．
圆的方程为；
点与点关于直线对称，
点的坐标为，
设所求圆的方程为，
圆与圆外切，
，得．
圆的方程为．
17.解：，
当时，由，得，
两式相减得，即，
则，即，
当时，，解得；
又，故，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，即，
．
由得，
，
，
则，
两式相减，得
，
．
18.证明：连接，，如图所示：
因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，
又因为为的中点，所以，
因为是等边三角形，为中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
又因为，所以平面，
因为平面，所以；
解：存在，，理由如下：
因为平面平面，平面平面，
由知，，平面，所以平面，
因为，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
，，，
设，，
，
设平面的一个法向量，
则，即，取，得：，
，
，，
所以，，
因为直线与平面的夹角的正弦值为，
所以，，即，
整理得：，由，解得：．
故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．
此时：．
19.解：设双曲线的标准方程为，
因为椭圆的共轭双曲线为，
所以，，
所以双曲线的标准方程为；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得且，
由韦达定理得，，
，
易知，，
因为，
所以
，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线恒过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
此时直线恒过点，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
此时，，
因为，
所以，
解得或，
直线不经过点，
所以，
则直线恒过点．
故当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为．
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