专题3.11 圆中常用辅助线的作法【八大题型】
【北师大版】
【题型1 遇弦连半径构造三角形】 1
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 8
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 12
【题型4 遇切线作过切点的半径】 18
【题型5 遇90°的圆周角连直径】 25
【题型6 转移线段】 29
【题型7 构造相似三角形】 37
【题型8 四点共圆】 48
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）利于等边对等角的性质得到，，利用三角形的内角和得到，即可得到，再由圆周角的性质等量代换即可；
（2）连接，由垂径定理推出，，利用勾股定理建立式子运算出的长，再利用中位线定理即可推出的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
在中，，在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴为的中位线，
∴．
【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】A
【分析】连接OC，由垂径定理可得CP=PD=4，然后再根据勾股定理可得OC，进而问题可求解．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵，，
∴CP=PD=4，
∵，
∴在Rt△CPO中，
，
∴的直径为10；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角可得；
（2）延长交于，根据垂径定理的推论可得，，即可由得到，进而得到，由三线合一即可得到
（3）连，由勾股定理求得，进而依次得到，，，再求出，最后在中利用勾股定理求半径即可．
【详解】（1）由圆周角可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）延长交于，
∵延长交于点F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
中，，
∴
解得，
∴的半径为．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）连接，交于点N，根据E为的中点，可得，即有，再根据，可得，进而可得，即可证明；
（2）连接，在中，有，即，再由E为的中点，可得，进而可得，即可证明，问题随之得证．
【详解】（1）连接，交于点N，如图，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，且在（1）已证明，
即．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅助线，掌握垂径定理是解答本题的关键．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于，连接，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明．
【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长．
【详解】解：连接，则，过点O作交于点D，
∵若，
∴，
则=
∴．
故选：A．
【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到．
【详解】解：作于点，于点，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
(2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”.
①求的度数，
②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断；
（2）①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解．
②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据，得出，进而勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”，
且，，
，
，
，
方程必有实数根；
（2）解：①，理由如下：
作于，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
是“勾系方程”，
，
；
，
；
，
，
，
，
．
②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，
∴，
∵，则
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义．
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据垂径定理得到，于是得到结论；
（2）连接，，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点T，如图，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．
【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
连接，由以为直径作，，，
，，
动点在以为直径的圆上运动，为圆心，
当，，在一直线上时，
即的最小值为
故答案为：．
【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
又∵，且点为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形性质求得，根据切线的性质得到，再证明，再列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，是的垂直平分线，
，
设，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为4
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识．
（1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，又由得到，则，利用直角三角形性质即可得到答案；
（2）连接，由圆周角定理得到，再证明，在中，根据勾股定理得，，设，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：连接，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在中，，
根据勾股定理得，
设，由，得，
解得，
∴的长为4．
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)如图①，若为的中点，求的大小；
(2)如图②，连接与相交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解答
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
（1）连接，如图①，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以，然后利用互余得到的度数；
（2）连接，如图②，根据垂径定理得到，再利用等角的余角相等得到，加上，从而得到．
【详解】（1）解：连接，如图①，
与相切于点，
，
，
为的中点，
，
，
在中，，
，
点为的中点，
，
，
；
（2）证明：连接，如图②，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
(3)求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）根据切线的性质及证得，可证，再利用角的等量代换即可求证结论；
（2）设，则，，在和中，分别利用勾股定理即可求解；
（3）在和中，利用勾股定理得，，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
，是的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，设，
则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
即的半径为3．
（3）解：在和中，根据勾股定理得：
，
，
，，
，
，即：，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：作出合适的辅助线是解本题的关键．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，根据推出，再证明，，进而证明，即可证明．
（2）先证明是的直径，得到．由（1）可得．在中求出；在中，．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
，
．
，
，．
，，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：如图，连接．
，
是的直径，
．
由（1）可得．
，
．
在中，；
在中，．
【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形内接于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接，根据内接矩形的性质可得是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得，可得是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，点是线段的中点，
∴在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故选：B ．
【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为2和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形与四边形是位似图形，
∴四边形是正方形，
∴是四边形的外接圆直径，
∵正方形的边长为2，
∴四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果．
【详解】解：如图，连接，
为直角，且点都在圆上，
为直径，圆心P在上，
， ，
，，
，
，
故答案为：5．
【题型6 转移线段】
【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解．
【详解】解：延长交于点K，连接，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，的值最大，
即当为直径时，的值最大，
∵的直径，
∴，
故答案为：4．
【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．
【答案】//
【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，
∵圆F与相切，
∴，
∵在中，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，为圆F的直径，
∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用：
【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解；
构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用
勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．
【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，
在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，>，
∴>，即>．
∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．
∴小红的说法正确；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
构造运用：由折叠知，
∵是的中点，
∴，
∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．
当长度取最小值时，点在上，
过点作于点，
∵在边长为的菱形中，
，为中点，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
【题型7 构造相似三角形】
【例7】（2024·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．
(1)直接写出线段与线段的数量关系；
(2)求证：；
(3)设的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等角，等弧，等弦，即可得出结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，利用证明即可；
（3）过点作，圆周角定理得到，勾股定理得到，证明，得到，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接，则：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵为直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（3）过点作，则
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C．
(1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程．
(2)如图2，当B、C重合于一点时，______．
(3)如图3，当平分时，______．
【答案】(1)；过程见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）连接、，证明，得出，求出．
（2）连接，根据当B、C重合于一点时，与相切于点C，得出，求出．
（3）连接，根据角平分线定义得出，证明，，得出，即，求出，，即可求出结果．
【详解】（1）解：连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：连接，如图所示：
∵当B、C重合于一点时，与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【变式7-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；
(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）设与相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明．
（2）过F点作于点K，设与交于点N，连接，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图，设与相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
（2）解：过F点作于点K，设与交于点N，连接，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理得：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等得：，且，
∴，
∴，
∵，与交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，
设，
∵点A关于的对称点为E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分类讨论如下：
如图，当时，连接，，设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
如图，当时，连接，，
设，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，满足条件的的长为或，
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．
【变式7-3】（2024九年级上·上海·专题练习）已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且．
(1)如图1，如果平分，求证：；
(2)如图2，如果，求的值；
(3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）如图2中，作于，于，设．首先证明，解直角三角形求出，（用表示）即可解决问题．
（3）由，推出，分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，
，
，
，，
，
，
∴，
，
．
（2）解：如图2中，作于，于，设．
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
．
（3）解：如图中，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
解得或（舍弃），
．
如图中，当时，可得是等腰直角三角形，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
【题型8 四点共圆】
【例8】（2024九年级上·北京海淀·阶段练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
【答案】（1）；（2）①画图见解析；②，证明见解析
【分析】（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．
（2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．
【变式8-1】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键．
【变式8-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
【变式8-3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．
(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；
(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的面积是1
【分析】（1）构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理和含角的直角三角形的性质分别求出和，即可求解；
（2）分别过点B和点F向作垂线，构造矩形和全等的三角形，再利用全等三角形的性质转化边的关系，即可求证；
（3）先利用四点共圆得到点A、R、B、C在以为直径的圆上，得出四边形是正方形，再证明，求出，再证明得到，进而求解．
【详解】（1）如图①，过A点作于G，
∵将绕点D顺时针旋转到，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过F点作于，过点B作于J，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M点为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）的面积是1
如图3，连接，
∵，，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A、R、B、C在以为直径的圆上，
∴当时，的值最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，此时，是直径，
由，，
此时，四边形是正方形，如图4所示，
∴，
由翻折知：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过D点作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、旋转的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是正确做出辅助线，本题综合性较强，对学生综合分析问题的能力要求较高．
()专题3.11 圆中常用辅助线的作法【八大题型】
【北师大版】
【题型1 遇弦连半径构造三角形】 1
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 2
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 4
【题型4 遇切线作过切点的半径】 5
【题型5 遇90°的圆周角连直径】 6
【题型6 转移线段】 7
【题型7 构造相似三角形】 9
【题型8 四点共圆】 11
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，，求的长．
【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ．
【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
(2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”.
①求的度数，
②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)如图①，若为的中点，求的大小；
(2)如图②，连接与相交于点，求证：．
【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
(3)求线段的长．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形内接于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．
【题型6 转移线段】
【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ．
【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
【变式6-3】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【题型7 构造相似三角形】
【例7】（2024·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．
(1)直接写出线段与线段的数量关系；
(2)求证：；
(3)设的面积为，的面积为，求的值．
【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C．
(1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程．
(2)如图2，当B、C重合于一点时，______．
(3)如图3，当平分时，______．
【变式7-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；
(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．
【变式7-3】（2024九年级上·上海·专题练习）已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且．
(1)如图1，如果平分，求证：；
(2)如图2，如果，求的值；
(3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
【题型8 四点共圆】
【例8】（2024九年级上·北京海淀·阶段练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
【变式8-1】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【变式8-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
【变式8-3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．
(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；
(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．
()
