专题16.6 二次根式全章专项复习【3大考点11种题型】
【人教版】
【考点1 二次根式】 2
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】 2
【题型2 利用=|a|化简】 4
【考点2 二次根式的乘除】 6
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】 6
【题型4 二次根式的乘除运算】 8
【题型5 二次根式大小的比较】 10
【题型6 分母有理化】 13
【题型7 二次根式化为最简二次根式】 16
【考点3 二次根式的加减】 17
【题型8 二次根式的混合运算】 18
【题型9 与二次根式有关的化简求值】 21
【题型10 二次根式的应用】 22
【题型11 二次根式的规律探究】 27
【考点1 二次根式】
1.二次根式的定义
形如（≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （≥0）;
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）
（2）回归性:（≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:.（主要用于二次根式的化简）
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】
【例1】（23-24八年级·安徽池州·期末）代数式的值为常数2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】分，，三种情况讨论即可．
【详解】解：
当时，原式，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，原式，
当时，原式，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键．
【变式1-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
故选D．
【变式1-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．
先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，解得：，
∵有意义，
∴，即，解得：．
故答案为：．
【变式1-3】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【答案】-2≤x≤0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．
【详解】解：，
x≤0，x+2≥0，
解得-2≤x≤0，
故答案为：-2≤x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．
【题型2 利用=|a|化简】
【例2】（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴x与y异号，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）将化简的结果是 .
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
【变式2-2】（23-24七年级上·青海黄南·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由数轴可知，且，
，
，
．
故答案为：．
【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，化简得 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可求得答案．
【详解】∵0
∴
=
=
=
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
【考点2 二次根式的乘除】
1.二次根式的乘法法则： .
2.二次根式的除法法则：
（1）；（2）；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；
具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
3.常用分母有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式.
4．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】
【例3】（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）使等式成立的x的取值范围是
【答案】.
【分析】根据负数没有平方根及分母不为0，即可求出x的范围．
【详解】根据题意,得 ，
解得：，
则使得等式 成立的x的取值范围是x；
故答案为x.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江·课后作业）若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到答案．
【详解】根据题意，得
．
解得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）已知＝，则的取值范围是( )
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0
【答案】C
【分析】
根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案．
【详解】
∵，，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
【题型4 二次根式的乘除运算】
【例4】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．
【详解】解：
．
故答案：
【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘除，正确化简和求解是解答的关键．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
【题型5 二次根式大小的比较】
【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题：
参考下面例题的解法，解答下列问题：
试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴
(1)比较和的大小．
(2)比较和的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键．
（1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案；
（2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小：
(1)与
(2)与
(3)与
(4)与．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质和乘法，解题的关键是将各数据平方后再比较．
（1）比较两数被开发数的值，即可得出结论；
（2）比较两数被开发数的值，即可得出结论；
（3）比较两数平方后的值，即可得出结论；
（4）比较两数被开发数的值，然后利用不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，
∵
∴
∴；
（2）∵，
∵
∴
∴
∴；
（3）∵，
∵
∴；
（4）∵
∴
∴
∴
∴，即．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.
【答案】
【详解】试题分析：先分母有理化，再进行比较即可.
试题解析：
故
【变式5-3】（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：；
(2)若a是的小数部分，求的值；
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）分子分母同乘以即可得；
（2）先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得；
（3）根据题意得到，，然后由即可求解．
【详解】（1），
，
；
（2），
，
的小数部分是，即，
则
，
；
（3）根据题意得，
，
∵
∴．
【题型6 分母有理化】
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知．
(1)将分母有理化；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照示范例子，进行计算化简即可；
（2）根据完全平方公式变形计算即可．
本题考查了分母有理化，完全平方公式的应用，熟练掌握进行分母有理化计算是解题的关键．
【详解】（1），
．
（2）∵，
∴，
∴．
【变式6-1】（2024·上海浦东新·二模）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．
【详解】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）分母有理化： ．
【答案】
【分析】根据，则可得原式的倒数为，继而化简得出，则可得原式为，然后分子分母同乘以即可得出答案．
【详解】解：，
∴原式的倒数
，
∴原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分数的性质以及平方差公式是解本题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得，因为无理数与无理数的乘积为有理数，所以我们称无理数与无理数互为有理化因式．例如：，所以无理数与无理数互为有理化因式．
(1)无理数的有理化因式是______．
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）分别对两个式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴无理数的有理化因式是，
故答案为：；
（2）解：原式
．
【题型7 二次根式化为最简二次根式】
【方法总结】应用二次根式的性质可以把二次根式化为最简二次根式,为二次根式的运算奠定基础.
【例7】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次根式中，，
，
，
故答案为：．
【变式7-1】（23-24八年级·河北张家口·期末）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴可以为，，，，
∴或或或，
解得：或或或，
故答案为：．
【变式7-2】（23-24八年级·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【答案】
【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
所以，是型无理数，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握是解题的关键．
【考点3 二次根式的加减】
1．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
2．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
3．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
【题型8 二次根式的混合运算】
【方法总结】二次根式的混合运算可以运用整式的乘法法则和乘法公式计算.
【例8】（23-24八年级·浙江杭州·自主招生）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：2．
【变式8-1】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)
(2)；
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键；
（1）先计算括号内的加减运算，再计算除法运算；
（2）先计算乘方，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式8-2】（23-24八年级·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式①
②
③
④
(1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
【答案】(1)③
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．
（1）指出二次根式运算错误的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【详解】（1）小明从第③步开始出错的；
故答案为③；
（2）原式
．
【变式8-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的：
．
，即．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：_______________，_______________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)2021
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键．
（1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算；
（2）根据二次根式的分母有理化计算发现数字的变化规律，从而进行计算；
（3）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值．
【详解】（1），
，
故答案为：，；
（2）原式
．
（3）
，
．
，即．
．
【题型9 与二次根式有关的化简求值】
【方法总结】与二次根式有关的化简求值也是中考经常考的题型,方法灵活多样,例如直接代入法、整体代入法等.
【例9】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式9-1】（23-24八年级·江西九江·期中）斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，当时计算出第1个数和第2个数，相加即可得到答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
所以，斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为，
故答案为：2．
【变式9-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可．
【详解】解:
，
．
故答案为：．
【变式9-3】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）， ．
【答案】9
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可．
【详解】解：∵
，
∴
．
故答案为：．
【题型10 二次根式的应用】
【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号．
∴的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当______时，有最小值为______．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)3，6
(2)
(3)60米
【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
（3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号．
∴的最小值为6．
故答案为：3，6．
（2），
∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为；
（3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
∵∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；
（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得
；
（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，
∴；
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆形团扇所用的包边长度更短
【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米；
（2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米，
∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米
∵，，
∴，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【答案】(1)秒
(2)秒
【分析】（1）根据题意可先求得，根据代入计算即可求解；
（2）先根据高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴，
∴，
∴该物品落地的时间为；
（2）该玩具最低的下落高度为，
∴．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【题型11 二次根式的规律探究】
【例11】（23-24八年级下·山东威海·期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：由规律可得，第n个式子为：
．
故选项A、B、D错误，选项C正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．
【变式11-1】（2024九年级·湖北随州·学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】；
；
；
，
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质（等）．
【变式11-2】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键．
观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【变式11-3】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式：
，，
利用以上规律计算：
．
【答案】2023
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的混合运算，由题意得出规律，再利用此规律结合二次根式的混合运算法则计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键．
【详解】解：，，，…，
，
，
故答案为：．
()专题16.6 二次根式全章专项复习【3大考点11种题型】
【人教版】
【考点1 二次根式】 1
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】 2
【题型2 利用=|a|化简】 2
【考点2 二次根式的乘除】 2
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】 3
【题型4 二次根式的乘除运算】 4
【题型5 二次根式大小的比较】 4
【题型6 分母有理化】 5
【题型7 二次根式化为最简二次根式】 5
【考点3 二次根式的加减】 6
【题型8 二次根式的混合运算】 6
【题型9 与二次根式有关的化简求值】 7
【题型10 二次根式的应用】 8
【题型11 二次根式的规律探究】 9
【考点1 二次根式】
1.二次根式的定义
形如（≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （≥0）;
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）
（2）回归性:（≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:.（主要用于二次根式的化简）
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】
【例1】（23-24八年级·安徽池州·期末）代数式的值为常数2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
【变式1-3】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【题型2 利用=|a|化简】
【例2】（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）将化简的结果是 .
【变式2-2】（23-24七年级上·青海黄南·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的值是 ．
【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，化简得 ．
【考点2 二次根式的乘除】
1.二次根式的乘法法则： .
2.二次根式的除法法则：
（1）；（2）；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；
具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
3.常用分母有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式.
4．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】
【例3】（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）使等式成立的x的取值范围是
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江·课后作业）若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）已知＝，则的取值范围是( )
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0
【变式3-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【题型4 二次根式的乘除运算】
【例4】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ．
【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ．
【变式4-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 二次根式大小的比较】
【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题：
参考下面例题的解法，解答下列问题：
试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴
(1)比较和的大小．
(2)比较和的大小．
【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小：
(1)与
(2)与
(3)与
(4)与．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.
【变式5-3】（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：；
(2)若a是的小数部分，求的值；
(3)比较与的大小．
【题型6 分母有理化】
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知．
(1)将分母有理化；
(2)求．
【变式6-1】（2024·上海浦东新·二模）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）分母有理化： ．
【变式6-3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得，因为无理数与无理数的乘积为有理数，所以我们称无理数与无理数互为有理化因式．例如：，所以无理数与无理数互为有理化因式．
(1)无理数的有理化因式是______．
(2)计算．
【题型7 二次根式化为最简二次根式】
【方法总结】应用二次根式的性质可以把二次根式化为最简二次根式,为二次根式的运算奠定基础.
【例7】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【变式7-1】（23-24八年级·河北张家口·期末）将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ．
【变式7-2】（23-24八年级·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【考点3 二次根式的加减】
1．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
2．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
3．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
【题型8 二次根式的混合运算】
【方法总结】二次根式的混合运算可以运用整式的乘法法则和乘法公式计算.
【例8】（23-24八年级·浙江杭州·自主招生）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)
(2)；
【变式8-2】（23-24八年级·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式①
②
③
④
(1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
【变式8-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的：
．
，即．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：_______________，_______________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【题型9 与二次根式有关的化简求值】
【方法总结】与二次根式有关的化简求值也是中考经常考的题型,方法灵活多样,例如直接代入法、整体代入法等.
【例9】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·江西九江·期中）斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为 ．
【变式9-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若，则 ．
【变式9-3】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）， ．
【题型10 二次根式的应用】
【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号．
∴的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当______时，有最小值为______．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【变式10-1】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积
【变式10-2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【题型11 二次根式的规律探究】
【例11】（23-24八年级下·山东威海·期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】（2024九年级·湖北随州·学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
【变式11-3】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式：
，，
利用以上规律计算：
．
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