专题18.3 矩形【十大题型】
【人教版】
【题型1 矩形性质的理解】 1
【题型2 由矩形的性质求角度】 3
【题型3 由矩形的性质求线段长度】 8
【题型4 由矩形的性质求面积】 12
【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 16
【题型6 矩形中的的证明】 22
【题型7 添加条件使四边形是矩形】 26
【题型8 证明四边形是矩形】 29
【题型9 由矩形的性质与判定求值】 34
【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 41
知识点1：矩形的性质
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 矩形性质的理解】
【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．平分
【答案】B
【分析】根据矩形的性质即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
，
是等腰三角形，不一定是等边三角形，
，平分均不一定正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
【变式1-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．
【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；
D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
【变式1-2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．内角和为
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可.
【详解】A. 菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B. 菱形和矩形的内角和都为，故B选项不符合题意；
C. 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意.
故选：D
【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键.
【变式1-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键．
由题意得向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案．
【详解】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意；
此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意；
边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意；
四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意．
故选：C．
【题型2 由矩形的性质求角度】
【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用矩形的性质及已知条件证明，，再证是等边三角形，得出，，进而得出，，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，
∴，，
∵ AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，.
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，证明是等腰三角形．
【变式2-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明 ，推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）如图，当为锐角时，
矩形中，，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，即；
（2）如图，当为钝角时，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又矩形中，，
，
是等边三角形，
，
，
综上可知，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键．
【题型3 由矩形的性质求线段长度】
【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，角平分线的性质，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得．
故选：D．
【变式3-1】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，进而得出，勾股定理得出，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过作于，连接，证明，根据，得出，则，根据等角对等边即可求解．
【详解】解：过作于，连接，
平分，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 .
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
先根据勾股定理求出,再结合矩形的性质证明得出即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形,
∴∥,
∴,
∵,
∴.
∵,
∴,
在和中,
，
∴,
，
∴
故答案为：．
【题型4 由矩形的性质求面积】
【例4】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题．
【详解】解：∵
∴F是的中点，
∵D是中点，
∴是中位线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴
∴，
∴四边形为矩形，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴矩形面积．
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答
【详解】解：连接，
，
又，，
同理
，
又，，
，
故答案为：40
【变式4-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ．
【答案】21
【分析】本题考查矩形的性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案．
【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，，
∵四边形是矩形，，，，，
∴，，，，，
，
∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：21．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（ ）
A．与面积之差 B．与面积之差
C．与面积之差 D．与面积之差
【答案】C
【分析】过作于，延长交于，由四边形是矩形，得到，，由的面积，的面积，推出的面积的面积的面积，而的面积的面积的面积的面积，于是即可得到答案．
【详解】解：过作于，延长交于，
四边形是矩形，
，，
，
的面积，的面积，
的面积的面积矩形的面积，
的面积矩形的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出的面积的面积的面积．
【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】
【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，
∴，
∵，
∴最小值为，此时点P位于处，
∵四边形是矩形，点A的坐标是，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
即当最小时，点P的坐标为，
故选：A．
【变式5-1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到，
，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可．
【详解】∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为，
∴，，
，轴，
∴，，
设，
则，，
∴，
解得，
故，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．
【答案】2/3/8
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，当时，当时，当时分类讨论，正确分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
(1)当时，，，
易得，
∴；
(2)当时，
，，
易得，从而或，
∴或；
(3)当时，，
此时腰长为：，故这种情况不合题意，舍去．
综上，满足题意的点的坐标为， ， ，
∴点的横坐标为 ，或．
【变式5-3】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点是原点，顶点，顶点；点是的中点，点是直线上的动点，若，则点的坐标是
【答案】或
【分析】根据题意“点是直线上的动点，若，”进行分类讨论：点是直线上的动点，或 在的延长线上，或点E在之间，每个情况分别作图，运用勾股定理求线段长以及外角性质进行等角对等边，即可作答．
【详解】解，当在的延长线上，过点D作直线如图所示：
∵
∵四边形是矩形，顶点，顶点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
则
∵
∴
当在的延长线上，过点D作直线如图所示：
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵四边形是矩形，顶点，顶点
∴
∵
∴
∵
故
∴
∵顶点，顶点
∴
当点E在之间，过点D作直线，如图所示：
∵四边形是矩形，顶点，顶点
∴
∵
∴
∵
∴
则
∵
∴（舍去）
综上：或
故答案为：或
【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、矩形的性质，外角性质，综合性强，难度较大，正确熟练作图并运用数形结合思想是解题的关键
【题型6 矩形中的的证明】
【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可得证；
（2）在，是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据，可得，进而根据得出，，即可得证；
（3）连接，根据矩形的性质可得，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）在，是的中点，
，则是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
（3）连接，四边形是矩形，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且．
求证：．
【答案】见详解
【分析】
可证，从而可证（），即可求证．
【详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中
，
（），
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握性质及判定方法是解题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用这些知识．由，，得到，推出，根据矩形的性质得到，，证明，即可求解．
【详解】证明： ，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
，
，
，
即．
知识点2：矩形的判定
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【题型7 添加条件使四边形是矩形】
【例7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．
【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，，
四边形是平行四边形，
A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；
B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；
【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，，
四边形是矩形，故A不符合题意；
，
，
∵，，
四边形是矩形，故B不符合题意；
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，故C不符合题意；
，
，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【答案】A
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DE＝AD，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵DB=DE，∴ DBCE为菱形，故本选项错误；
B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴ DBCE为矩形，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
【题型8 证明四边形是矩形】
【例8】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，且时，请判断四边形的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形；
（2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，，且，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是矩形，证明如下，
，
，，
，
，
，
，，
， ，
，
，
平行四边形是矩形．
【变式8-1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上， ，连接和，．请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】四边形是矩形，理由见解析
【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论．
【详解】解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【变式8-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等．
（1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得；
（2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【变式8-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析
【分析】（1）由分别是的平分线，可得，，由，可得，，则，，进而结论得证；
（2）由（1）可知，，，则，即，由勾股定理得，，然后求解作答即可；
（3）当O为的中点时，，可证四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵分别是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
即，
由勾股定理得，，
∴，
∴；
（3）解：当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形，理由如下；
证明：当O为的中点时，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定是解题的关键．
【题型9 由矩形的性质与判定求值】
【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，
，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．
【详解】解：如图，连接OP．
由已知可得：．
∴四边形ONPM是矩形．
∴，
在中，当时OP最短，即MN最小．
∵即
根据勾股定理可得：．
∵
∴
∴
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为
在中，根据勾股定理可得：
∴
∵
∴
∴
在中
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式9-2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，，
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长.
【答案】(1)5
(2)
(3)1或
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
（1）根据长方形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据翻折的性质推出，，根据勾股定理及线段的和差求出，根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：点P落在线段上，点P落在线段的延长线上，根据长方形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：点E是长方形的边延长线上一点，
，，
，，
；
（2）如图，点P落在的延长线上，
由翻折性质得，，
，，
设，则，
解得：，
，
；
（3）点P落在线段上，如图，过点F作于点M，
，
四边形为长方形，
，，，
四边形矩形，
，
在中，，，，
，
，
在中，，，
，
此时点P与M重合；
点P落在线段的延长线上时，如图，过点F作于点N，
，
，，
，
设，则，
，
四边形为矩形，
，
，
，，
，即，
综上，点P落在射线上，的长为1或．
【变式9-3】（23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．
(1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________；
(2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)15 15 12 5
(2)
【分析】（1）由点A、点C的坐标可求得、的长，由翻折的对称性知，；由勾股定理，在中可求得的长；于是可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长．
（2）自点E作，垂足为H．利用矩形的性质可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长，于是点P的坐标可知．
【详解】（1）如图．
由点可知，．
由沿翻折变成知，，
∴．
由点知，．
∴．
∴．
由得，，
设，则．
在中，
即：．
解得：．
∴的长．
（2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形．
∴．
设，则．
在中，
∴
解得：．
∴点P的坐标为
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、矩形的折叠等知识点，解题的关键是将条件集中在一个直角三角形内，利用勾股定理求解．
【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】
【例10】（23-24八年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)BD=DG．证明见解析．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DFAB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴BD=DG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式10-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
【答案】这两位同学的说法都正确，证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明．
【详解】这两位同学的说法都正确，证明如下，
证明：如图，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，点D在的延长线上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴．
【变式10-2】（23-24八年级下·重庆梁平·期末）如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为 ．
【答案】3
【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴②正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE，∴③正确；
∴正确结论的个数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．
【变式10-3】（23-24八年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明．
【答案】（1）3；（2），证明见解析
【分析】（1）求出，由矩形的性质推出，即可得出答案；
（2）过点作，垂足为点，推出，求出，得出，推出，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）线段与之间的数量关系为．
证明：如图，过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线性质，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
()专题18.3 矩形【十大题型】
【人教版】
【题型1 矩形性质的理解】 1
【题型2 由矩形的性质求角度】 2
【题型3 由矩形的性质求线段长度】 3
【题型4 由矩形的性质求面积】 4
【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 5
【题型6 矩形中的的证明】 6
【题型7 添加条件使四边形是矩形】 8
【题型8 证明四边形是矩形】 8
【题型9 由矩形的性质与判定求值】 10
【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 11
知识点1：矩形的性质
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 矩形性质的理解】
【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．平分
【变式1-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【变式1-2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．内角和为
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【变式1-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
【题型2 由矩形的性质求角度】
【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．50° D．60°
【变式2-1】（23-24八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
【变式2-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则( )
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
【题型3 由矩形的性质求线段长度】
【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式3-1】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ．
【变式3-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．10
【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 .
【题型4 由矩形的性质求面积】
【例4】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
【变式4-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（ ）
A．与面积之差 B．与面积之差
C．与面积之差 D．与面积之差
【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】
【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为
【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．
【变式5-3】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点是原点，顶点，顶点；点是的中点，点是直线上的动点，若，则点的坐标是
【题型6 矩形中的的证明】
【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
【变式6-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且．
求证：．
【变式6-2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：．
【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．
知识点2：矩形的判定
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【题型7 添加条件使四边形是矩形】
【例7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式7-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【题型8 证明四边形是矩形】
【例8】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，且时，请判断四边形的形状并证明．
【变式8-1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上， ，连接和，．请判断四边形的形状，并说明理由．
【变式8-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【变式8-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【题型9 由矩形的性质与判定求值】
【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．
【变式9-1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
【变式9-2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，，
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长.
【变式9-3】（23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．
(1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________；
(2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】
【例10】（23-24八年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
【变式10-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
【变式10-2】（23-24八年级下·重庆梁平·期末）如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为 ．
【变式10-3】（23-24八年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明．
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