2024年秋学期12月调研九年级数学试卷
分值：150分 考试时间：120分钟
一、单选题
1．已知2是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则另一个根的值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．3
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
3．下列各组中的四条线段是成比例线段的是
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
4．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+5＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A． B． C． D．
6．据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为
A．B． C． D．
8．如图，在△ABC中，，，平分，，则的值为
A． B． C． D．
第5题 第8题 第13题
二、填空题
9．已知圆O的直径为4，点M到圆心O的距离为3，则点M与⊙O的位置关系是 ．
10．圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是 ．
11．一个小组有若干人，新年他们互送贺卡，已知全组共送贺卡156张，设这个小组共有x人，则可列方程为 ．
12．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线为 ．
13．如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若AG=6，则AD= ．
第14题 第15题 第16题
14如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ACD＝25°，则∠ABC＝ °．
15．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
三、解答题
17．解方程：（1）x2+4x﹣5＝0； （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
18．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长．
19．射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了6次测试，测试成绩（单位：环）如下表：
第一次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩
甲 8 9 10 8 10 9 m
乙 7 10 10 10 9 8 n
m= ，n= ；
求甲运动员6次测试成绩的方差.
已知乙运动员6次测试成绩的方差是，那么推荐 运动员参加比赛更合适.
20．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有一个实数根是5，
（1）求m的值；
（2）求该方程的另一个根．
21．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）只用无刻度直尺，画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹）.
（2）请在（1）的基础上，连接AD、CD，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，在图中建立平面直角坐标系并完成下列问题：
①写出点D的坐标 ，⊙D的半径为 （结果保留根号）；
②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ；
22．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．
（1）求证：OD⊥AB；
（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．
23．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．
24．如图，在中，，点D在BC上，，过点D作，垂足E，经过A，B，D三点．
（1）求证：是的直径；
（2）判断与的位置关系，并加以证明；
（3）若半径为6，，求的长．
25．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．
26．【提出问题】
如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
27．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝2BD，连接CD．若线段CD上存在点P（包含端点），使得∠BPD＝∠BAP，则的取值范围是 ．
参考答案
1-5BDDDC 6-8DDD
9．在圆外 10．3π 11．x（x﹣1）＝156
12.y=5(x+2) -3 13.9 14.65 15.6 16.
17.(1)x =5, x =-1 (2)x =, x =2 18.6
19.（1） 9 ， 9
（2）
甲
20.解：（1）当x＝5时，原方程为52﹣2×5+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣14，
（2）设方程的另一个实数根为x2，
∵5+x2＝2，
∴x2＝﹣3．
∴方程的另一个根为﹣3，m的值为﹣14．
21.（1）作图 略
（2） （2，0），
（3）
22.（1）证明：如图，连接OC，
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF+∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，EF＝EC，
∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC，
又∵∠OFD＝∠EFC，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴OD⊥AB；
（2）解：设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3+x，
在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，
∴32+（2x）2＝（3+x）2，
解得：x1＝2，x2＝0（舍去），
∴OF＝OB﹣BF＝3﹣2＝1．
23.原空地的长为，宽为
24.（1）
证明：连接，
∴为圆O的直径；
(2)与圆O相切，
理由为：连接，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
，
∵为圆的半径，
∴与圆O相切；
(3)解：，
为等边三角形，
连接，
∵为圆O的直径，
∵D为中点，
∴E为中点，即为中位线，
在中，根据勾股定理得：
．
25.（1）证明：∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠BPC+∠BCP＝90°，
∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，
∴MP⊥PC，
∴∠MPC＝90°，
∴∠MPB+∠BPC＝90°，
∴∠MPB＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠MPB；
（2）解：∵∠MAP＝∠MPB，∠M＝∠M，
∴△MPA∽△MBP，
∴，
∵AB＝AP，MB＝8，MP＝12，
∴，
∴AP＝AB＝MA﹣MB＝18﹣8＝10，
∴．
26.解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
27.解：（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线中，
则，得：c＝2，
故抛物线的解析式为：y＝．
（2）∵⊙D经过B，C两点，则DB＝DC，
设D（0，y），则CD＝，
BD2＝（0﹣y）2+42＝16+y2，CD2＝（2﹣y）2，
∴16+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝﹣3．
故点D坐标为（0，﹣3）．
（3）证明：在点P运动过程中，存在能够使得∠PBC＝45°的点P，理由如下：
①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示，
构造一线三垂直，SM⊥x轴，PN⊥SM于N，
令y＝＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
故点B（4，0），又C（0，2）
设lBC：y＝kx+b，代入B（4，0），又C（0，2），可得：
，解得，
故lBC：y＝x+2，
设S（s，），
∵PS＝SB，则易证△SNP≌△BMS，
∴SM＝PN＝，BM＝NS＝4﹣s，
进而可得点P坐标为（，），
把点P（，）代入抛物线中，
发现点P不在抛物线图象上，
故点P不存在；
②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，
作∠PBC＝45°，CR⊥PB，RT⊥y轴，BQ⊥TR于点Q，
由题意得CR＝BR，
易证△CTR≌△RQB，
∴TR＝BQ，CT＝RQ，
设TR＝BQ＝a，CT＝RQ＝b，
则，解得：，
∴R点坐标为（1，﹣1）．
则由待定系数法可得直线lBR：y＝，
