2024-2025学年第一学期初三数学第14周周测
数学试卷
时间：60分钟 分值：100分
一、选择题（每题3分，合计24分）
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．19
2．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
3．如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．矩形的周长
4．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
5．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
6．如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．5
8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，且，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，合计18分）
9．如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ▲ ．
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ▲ ．
11．如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则的值为 ▲ ；与的大小关系为 ▲ ．
12．如图，过点O作直线与双曲线（k≠0）交于A，B两点，过点B作轴于点C，作轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是 ▲ ．
13．如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，于点C，于点D，且，则线段的长为 ▲ ．
14．如图，在矩形中，若，则的长为 ▲ ．
三、解答题（共6小题，合计58分）
15．（本题满分6分）
（1）若，求的值；
（2）若，且，求．
16．（本题满分8分）已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
17．（本题满分8分）
如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线．
（2）若CA=6，CE=3.6，求⊙O的半径OA的长．
18．（本题满分10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
【例题】
有一块三角形余料，它的边，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长是多少毫米
【点拨】：解四边形为正方形，
，
，
设正方形零件的边长为xmm，则，.
∵，
，即，
解得.故这个正方形零件的边长是．
【问题探究】
（1）如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？
（2）如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
19．（本题满分12分）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
20．（本题满分14分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．
（1）如图1，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为___▲___．
（2）如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，求的值．
（3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．求的长．2024-2025学年第一学期初三数学第14周周测
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，
∴，即BC2=CD AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD，
∵AD=BD，∴AD=BC，
∴AD2=CD AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。
故选C.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质；黄金分割
4．【答案】A
【知识点】黄金分割；探索图形规律
5．【答案】D
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
∴，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故答案为：D．
【分析】位似变换的性质：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似的性质可得，然后根据相似多边形的性质并结合各选项即可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】解分式方程；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或，
解得或，
∵两个矩形不全等，
∴（舍去），
∴x=3，
故答案为：A．
【分析】根据相似多边形性质构建方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】相似多边形
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；黄金分割
11．【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；黄金分割
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
13．【答案】4
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
14．【答案】1
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
15．【答案】（1）5；（2）
【知识点】比例的性质
16．【答案】（1）解：点是线段的黄金分割点，，
．
（2）解：平分，
到、的距离相等．
．
又由（1），
，
．
．
【知识点】角平分线的性质；黄金分割
【解析】【分析】（1）根据黄金分割点的定义且，得出；
（2）根据角平分线的性质得出P到、的距离相等，可得出，求出，即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：连结AE，OE，如图．
∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°．
∵D为AC的中点，∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°．
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA=90°，即∠DEO=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AEC=∠CAB=90°，∠C=∠C，
∴△AEC∽△BAC，∴
∵CA=6，CE=3.6，∴，∴BC=10．
∵∠CAB=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴AB==8，
∴OA=4，即⊙O的半径OA的长是4．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理的推论
18．【答案】（1），
（2）最大值为，此时，
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）24
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：100分
分值分布 客观题（占比） 24.0(24.0%)
主观题（占比） 76.0(76.0%)
题量分布 客观题（占比） 8(40.0%)
主观题（占比） 12(60.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(40.0%) 24.0(24.0%)
填空题 6(30.0%) 18.0(18.0%)
解答题 6(30.0%) 58.0(58.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (65.0%)
2 容易 (20.0%)
3 困难 (15.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角形的中位线定理 3.0(3.0%) 12
2 反比例函数系数k的几何意义 3.0(3.0%) 12
3 矩形的性质 17.0(17.0%) 3,20
4 二次函数的最值 10.0(10.0%) 18
5 等腰三角形的性质 6.0(6.0%) 2,10
6 解分式方程 3.0(3.0%) 6
7 角平分线的性质 8.0(8.0%) 16
8 位似图形的性质 3.0(3.0%) 5
9 圆周角定理的推论 8.0(8.0%) 17
10 平行四边形的性质 15.0(15.0%) 8,19
11 相似三角形的判定与性质 48.0(48.0%) 8,9,12,13,18,19,20
12 等边三角形的性质 3.0(3.0%) 11
13 黄金分割 23.0(23.0%) 2,3,4,10,11,16
14 比例的性质 12.0(12.0%) 1,9,15
15 线段垂直平分线的性质 3.0(3.0%) 2
16 切线的判定与性质 8.0(8.0%) 17
17 平行线的性质 3.0(3.0%) 13
18 勾股定理 14.0(14.0%) 10,14,17
19 二次根式的混合运算 3.0(3.0%) 3
20 正方形的性质 14.0(14.0%) 20
21 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 9.0(9.0%) 9,12,14
22 直角三角形斜边上的中线 8.0(8.0%) 17
23 相似三角形的判定 8.0(8.0%) 17
24 探索图形规律 3.0(3.0%) 4
25 相似多边形 9.0(9.0%) 5,6,72024-2025学年第一学期初三数学第14周周测
数 学 答 题 卡
时间：60分钟 分值：100分
一、选择题（每题3分，合计24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题（每题3分，合计18分）
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题（共6小题，合计58分）
15.（本题满分6分）
16.（本题满分8分）
17.（本题满分8分）
18.（本题满分10分）
19.（本题满分12分）
20.（本题满分14分）
