专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）使分式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息：
的值 … 0 …
的值 … 无意义 …
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列分式的值与相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23八年级上·福建厦门·期末）若是一个最简分式，则△可以是（ ）
A．x B． C．3 D．
8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知空气的单位体积质量是，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·福建厦门·期末）“中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能亳秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
考点二 分式的运算
10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知，，则的值 （ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级下·福建泉州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ．
15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知，且，则的值为 ．
16．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时．
17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若，则代数式的值为 ．
18．（23-24八年级下·福建泉州·期末）先化简，后求值：，其中．
19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）先化简，再从，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
20．（23-24八年级下·福建宁德·期末）已知．
(1)若，比较与0的大小；
(2)分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了 为什么
(3)将分式的分子、分母都加（且），比较所得的分式的值与的大小，并说明理由．
21．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列各组的两个整式具有共同特征，我们将具有这种特征的两个整式称为“孪生整式”．察下列各组孪生整式：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
根据你观察到的规律，解决下列问题：
(1)写出的孪生整式；
(2)探究整式与是否可能为一组孪生整式．
22．（23-24八年级上·福建莆田·期末）（1）定义：，，称为，的调和平均数．下列赋予实际意义的例子，其中正确的是_________．
①一辆汽车以的速度由甲地驾往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度；
②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为，乙杯含糖率为，将两杯混合后的含糖率；
③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克元，乙糖果的单价为每千克元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价．
（2）甲乙两港口相距10千米，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要小时，从乙港口逆水航行到甲港口需要小时，问：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要多少小时？
23．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)在（1）的条件下，且为整数，求整数的值．
24．（23-24八年级上·福建南平·期末）已知：，．
(1)当时，则；当时，则；当时，则；当时，计算并判断a与b的大小关系；
(2)当x取任意正数时，猜想a与b的大小关系，并证明．
25．（23-24八年级下·福建福州·期末）综合实践：按照要求测量木料之间的距离．
1．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行．
2．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离．
3．测量工具：如图②，一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）
4．测量方法及求解过程
(1)小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下：
步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C；
步骤二：连接，；
步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点D，与交于点E；
步骤四：测得，，；
求解过程如下：
过点A作交于点N，交n于点M，
则________①，，
设，则________②，
∵，
∴，
∴________________④
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离________⑤．
请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容；
(2)小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案）
26．（23-24八年级上·福建厦门·期末）有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为．
(1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示）
(2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由．
考点三 分式方程
27．（23-24八年级下·福建泉州·期末）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24八年级下·福建三明·期末）若关于x的方程 有增根，则k的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
29．（23-24八年级上·福建福州·期末）关于 的分式方程 的解是负数，则字母 的取值范围是（ ）
A．，且 B．
C． D．，且
30．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（ ）
A．3或5 B．或5 C．或3 D．或
31．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A．－7 B．－8 C． D．
32．（23-24八年级上·福建福州·期末）关于的方程无解，则的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
33．（23-24八年级下·福建泉州·期末）体育测试中，小明和小东进行1000米跑测试，小明平均速度是小东的倍，小明比小东少用了30秒，设小东的平均速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（23-24八年级上·福建莆田·期末）在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
35．（23-24八年级上·福建福州·期末）海弟清点完一批图书的，辉哥加入清点剩余图书的工作，两人合作清点完剩余图书．谁清点速度快
36．（23-24八年级上·福建福州·期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用11天时间完成5400米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“是的，我们加固1200米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？
37．（23-24八年级上·福建南平·期末）某学校七年级阅读兴趣组和组同学各承担整理本书目归档的任务．组同学完成任务比组同学完成任务多用小时，组同学平均每小时整理书目的数量是组同学平均每小时整理书目数量的倍．求组同学用多少小时完成任务？
38．（23-24八年级下·福建漳州·期末）长跑项目作为体育中考项目之一，其重要性不容小觑．如图是某校一次体育训练中两个同学的对话，请你求出小明这次训练中跑步的平均速度．
小明，今天的米测试，我刚好比你提前秒跑完你的平均速度是我的倍，我要加强训练……
39．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知：，．
(1)当时，比较A与B的大小关系；
(2)设．
①当时，求m的值；
②若m是整数，求y的负整数值．
40．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为
再如为十字分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______， ______
(2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
41．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）阅读以下材料：
例：已知多项式有一个因式是，求另一个因式．
解：设另一个因式为，则：
依题意：
比较等式两边对应项的系数，可得：，，即
另一个因式为．
根据上述材料，尝试解决问题：
若等式成立，求常数，的值．
42．（23-24八年级上·福建厦门·期末）国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表．
日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路
路程 全程63千米 全程108千米
优缺点分析 距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟 距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍．
(1)求日常情况下方案一需要的时间；
(2)国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由．
43．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某学校有甲、乙2个社团．甲有人，乙有人，学校拟从他们中选择部分学生代表参加某活动．若希望公平合理地分配代表名额，最常用的方法是等比例分配法：甲社团分得个代表名额；乙社团分得个代表名额，计算社团人数与代表名额的比例，满足，即为实现公平．
(1)若甲有人，乙有人，共有个代表名额，依据等比例分配法，是否能进行公平的分配？若能，请分别求出甲、乙的代表名额；若不能，请说明理由．
(2)现实中，常常出现名额无法正好按等比例公平分配，这时可以先引入“不公平度”来进行衡量．例如：若，则会认为对甲不公平，我们可以用“”表示对“甲的不公平度”，同理，若，则会认为对乙不公平，我们可以用“”表示“对乙的不公平度”．然后采用如下做法来进行分配：
第一步：先从全部代表名额中取部分名额进行分配，例如甲分得个名额，乙分得个名额，使与相等或大致相等皆可；
第二步：取余下代表名额中的1个，计算下面两种方案中的不公平度．
方案一：将这个名额分给乙，若有，此时对甲不公平，记“对甲的不公平度”为；
方案二：将这一个名额分给甲，若有，此时对乙不公平，记“对乙不公平度”为；
第三步：比较的大小，若，则将该名额分配给甲；若，则将该名额分配给乙；若，则将该名额分配给甲或乙皆可；
第四步：对余下每一个代表名额，重复第二、三步，直至名额分配完成．
解决问题：
若对甲、乙社团代表名额完成第一步分配后，此时有，还剩1个名额，且，请判断这个名额应该分配给哪个社团？
44．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了分式，根据分式的定义：一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意；
、是分式，该选项符合题意；
、是多项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意；
、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意；
故选：．
2．D
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得：，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，
∴，
∵当时，该分式的值为负数，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为，
∴且，
解得：，
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可．
【详解】解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，理解“对于分式，若，则．”是解题的关键．
【详解】解：A. ，与不一定相等，不符合题意；
B.与不一定相等，不符合题意；
C.与一定相等，符合题意；
D.，与不一定相等，不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A. ，是最简分式，故该选项符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
C.，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减．
根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴
∴
．
故选C．
11．C
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，根据零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了异分母分式的加法．熟练掌握异分母分式的加法是解题的关键．
根据异分母分式的加法求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：A．
13．C
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先计算出，，然后根据选项的已知条件，逐一计算判断即可．
【详解】解： ，，
，
，
A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意；
B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意；
C、若，则，故该选项正确，符合题意；
D、若，则，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
14． 1
【分析】本题考查零指数幂，负整数幂，根据及计算即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：1；
（2），
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．先把已知条件中的等式的左边通分后相减，得到，然后把舍去分式中的换成，然后进行计算化简即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：2．
16．
【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案，
【详解】解：
千米/小时，
∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时，
故答案为：．
17．/
【分析】本题考查了分式的化简、计算能力，运用分式的基本性质进行变形、整理后，再运用整体思想代入、求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
18．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
当时，原式．
19．
【分析】先把括号内的整式写成分母是的分式，然后相加减，再把除式的分母分解因式，把除法化成乘法，进行约分，最后判断取何值分式有意义，并代入化简后的式子进行计算即可．本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法．
【详解】解：原式
，
当和2时，分式无意义，
只能取1，
当时，原式．
20．(1)
(2)分式的值增大了，理由见解析
(3)当或时，；当时，
【分析】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简．
（1）根据整式的减法计算，即可判断大小；
（2）利用异分母分式加减法法则计算两个分式的差，再分析差的正负性可得答案；
（3）同（2）计算两个分式的差，再根据①当时，②当时，判断差的正负性可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）分式的值增大了．
理由：．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴分式的值增大了．
（3）．
∵，
∴．
①当时，．
∴．
∴．
②当时，
（i）若，即时，．
∴．
∴．
（ii）若，即时，．
∴．
∴．
综上所述，当或时，；当时，．
21．(1)；
(2)不可能，原因见解析．
【分析】此题考查了分式和整式的混合运算，找到规律和熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意得到规律，即可写出的孪生整式；
（2）观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换，根据规律得关于m、n的方程组，根据方程组解的情况即可作出判断．
【详解】（1）解：根据题意可得，的孪生整式为，
∴的孪生整式为；
（2）不可能，理由如下：
∵，
观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换，
，
若与是“孪生整式”，
比较系数，得： ，
不存在满足此条件的 m、n 的值.
∴这两个整式不可能为一组孪生整式．
22．（1）①③（2）小时
【分析】本题考查了新定义“调和平均数”，二元一次方程组的应用；
（1）①设甲到乙地的距离为，，化简，即可判断；②设每杯的重量为，，化简，即可判断； ③相等的费用为，，化简，即可判断；
（2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得
游轮顺水的速度为（千米／小时），游轮逆的速度为（千米／小时），列方程组可求得，即可求解；
理解新定义，顺流速度静水速度水流速速，逆流速度静水速度水流速速是解题的关键．
【详解】解：（1）①设甲到乙地的距离为，
，
故①符合题意；
②设每杯的重量为，
，
故②不符合题意；
③相等的费用为，
，
故③符合题意；
故答案：①③；
（2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得
游轮顺水的速度为（千米／小时），
游轮逆的速度为（千米／小时），
，
解得：
（小时）；
答：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要小时．
23．(1)36；
(2)5；
(3)4或2或6或0．
【分析】本题考查了整式和分式的混合运算及化简求值，掌握运算方法是解题的关键；
（1）由，推出，即可求出的值；
（2）先变形表示出，根据，得出的值；
（3）先将，再根据为整数，推出的值；
【详解】（1），
，
，
（2），
，
，
（3）
由（1）得，
为整数，
为整数
为整数，
或或3或
所求的的值为4或2或6或0．
24．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查有理数的大小比较和分式的比较：
（1）将分别代入得，然后通分再比较即可；
（2）当x取任意正数时，猜想，运用作差法进行比较即可
【详解】（1）解：当时，，
,
因为，
所以；
（2）解：当x取任意正数时，猜想．
证明：
.
当x取任意正数时，，，
所以，，
所以，当x取任意正数时， .
25．(1)①t；②；③；④；⑤
(2)见解析
【分析】（1）根据，得出，代入相关的量求出结果即可；
（2）在平行边m、n上分别取A、B两点；连接，用刻度尺测量的长度为；在上取点C，使；在点B的右侧，边n上取点D，使；连接，用刻度尺测出；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，证明即可．
【详解】（1）解：过点A作交于点N，交n于点M，
则，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离．
（2）解：测量步骤如下：
步骤一：在平行边m、n上分别取A、B两点；
步骤二：连接，用刻度尺测量的长度为；
步骤三：在上取点C，使；
步骤四：在点B的右侧，边n上取点D，使；
步骤五：连接，用刻度尺测出；
求解过程如下：
根据测量可知：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，分式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．
26．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用和整式的混合运算，设去年的单位面积产量为，根据“两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦”列出表达式，根据解一元一次的方法和整式混合运算法则即可解题．
（2）本题考查利用作差法比较两个分式的大小，设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为，根据“甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多”列不等式，得到，根据题意表示出“丰收1号”单位面积产量“丰收2号”单位面积产量，再与去年的单位面积产量进行比较，即可解题．
【详解】（1）解：设去年的单位面积产量为，
根据题意可得：，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为，
，
，
，
又，
，，
“丰收1号”单位面积产量为：，“丰收2号”单位面积产量为：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
即，
，
杂交后获得的“丰收1号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量．
又，
，
，
，
，
又，
，，
，
即，
，
杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量．
27．D
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．
先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再检验即可．
【详解】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故选：D．
28．A
【分析】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键．增根是指代入分式方程后分母的值为0的根，因此可将原方程去分母，然后将增根代入求k的值．
【详解】解：去分母，得 ，
∵方程有增根，
所以，是方程的增根，
将代入上式，得，
解得．
故选：A．
29．A
【分析】本题考查了解分式方程、解不等式等知识；首先求出分式方程的解，根据解为负数解不等式即可．注意，要考虑分式方程有意义，分母不为0的情况．
【详解】解：解方程得：；
∵方程当时无意义，
∴，
即；
∵关于的分式方程 的解是负数，
∴，
即；
综合之，满足条件的m取值范围为：，且．
故选：A．
30．A
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解．
【详解】解：
去分母得：
化简得：
当时，
方程有整数根，的值是整数，
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）；
当时，，方程的根；
当时，，方程的根（增根，舍去）．
故选：A．
31．C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
解不等式组求出的取值范围，再根据方程有非负整数解，求出的值，可得结论．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为，
，
．
，
，
．
方程有非负数解，
，，，
所有符合条件的整数的和为．
故选C．
32．B
【分析】本题考查了分式方程无解、解分式方程，先解分式方程，再根据分式方程无解得出的值，从而即可得出的值，掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的无解或者这个整式方程的解使原分式方程的分母等于，是解此题的关键 .
【详解】解：去分母得，
解得，
∵方程无解，
∴方程有增根，即，
解得：，
把代入得，
解得，
故选：B .
33．D
【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设小东的平均速度是米/秒，则小明平均速度是米/秒，根据“小明比小东少用了30秒”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设小东的平均速度是米/秒，则小明平均速度是米/秒，
由题意得：，
故选：D．
34．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，由卖得15个铜板即可判断；②甲农妇带了个鸡蛋，由乙农妇卖得个铜板即可判断；③100个鸡蛋所卖得的钱数是，即可判断；④由等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，即可判断；
找出等量关系式，理解每个量是解题的关键．
【详解】解：①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，甲农妇所卖鸡蛋的单价是，
故①正确，符合题意；
②乙农妇所卖鸡蛋的单价是，
故②正确，符合题意；
③100个鸡蛋所卖得的钱数是
，
故③错误，不符合题意；
④等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，
故④正确，符合题意；
综上所述：①②④正确；
故选：B．
35．辉哥清点速度快．
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据关键描述语是：“海弟清点完一批图书的”；等量关系为：“两人合作清点完一批图书的”，依此列出方程求解即可．
【详解】解：设辉哥单独清点这批图书需要，
海弟单独清点这批图书需要，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的根．
∴辉哥单独清点这批图书需要，
答：辉哥清点速度快．
36．该地驻军原来每天加固米
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．设该地驻军原来每天加固米，根据“用11天完成米长的大坝加固任务”，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设该地驻军原来每天加固米，根据题意，得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，符合题意．
答：该地驻军原来每天加固米．
37．小时
【分析】设组同学用小时完成任务，则组同学用小时完成任务，依题意列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设组同学用小时完成任务，则组同学用小时完成任务，
依题意得，
解得
经检验，为原方程得解，所以原方程的解为．
答：组同学用小时完成任务．
38．小明的平均速度为米秒
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
设小明的平均速度为米/秒，则小强的平均速度为米/秒，由小强的对话，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设小明的平均速度为米/秒，则小强的平均速度为米/秒，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：小明的平均速度为米秒．
39．(1)；
(2)①m的值为；②y的负整数值为或或．
【分析】本题考查了分式的运算，不等式的基本性质，分式方程的解法等知识，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
（1）首先得到，然后利用分式的运算法则即可求出答案；
（2）①根据题意列出分式方程即可求出m的值．
②首先得到，然后根据m为整数，y是负整数，进而求解即可．
【详解】（1）解：当时，．
理由：由题意，得：
，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是方程的解．
∴m的值为；
②
∵m为整数，y是负整数，
∴或或，
∴y的负整数值为或或．
40．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解此题的关键．
（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得解；
（2）先根据十字分式方程的定义得出，，再化简代入计算即可得出答案；
（3）先根据十字分式方程的定义得出，，从而可得，，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵为十字分式方程，可化为，
∴，；
（2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，
∴，，
∴
；
（3）解：∵方程是十字分式方程，可化为，
当时，，
∵关于x的十字分式方程的两个解分别为，，
∴，，
∴，，
∴．
41．，．
【分析】本题考查了解分式分式方程，分式的加减，熟练掌握等式的性质和分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据异分母分式的加减法法则把右边化简，再比较分子得出m，n的方程组求解；
（2）先去分母，然后比较等号左右两边得出m，n的方程组求解．
【详解】解法一：
依题意：，
比较等式两边分子对应项的系数，得：，
解得：，．
解法二：去分母得：，
，
，
比较等式两边对应项的系数，得：，
解得：，
42．(1)方案一需要的时间为70分钟
(2)当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
（1）设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟．根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的2倍”列出方程并解答；
（2）由（1）先计算出小李家到达目的地的时间，设小明家的平均速度为千米/分钟，利用两家同时达到建立分式方程，求出小明家到达目的地的平均速度，再根据平均速度比较即可得出结果．
【详解】（1）解：设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟，
由题意得：，
解得：，
答：方案一需要的时间为70分钟；
（2）解：由（1）知，小李家达到目的地所用的时间：（分钟），
小明家一开始的平均速度为：（千米/分钟），
20分钟后，小明家的平均速度达到每小时60千米以上，即每分钟1千米以上，
设小明家的平均速度为千米/分钟，
由题意得小明家到目的地所用的时间：，
则，
解得：，
（千米/小时），
答：当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达．
43．(1)能，分配给甲社团个名额，分配给乙社团个名额
(2)应该将这个名额分配给甲社团
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，正确的计算是解题关键．
（1）设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团个名额，依题意列方程求解即可；
（2）根据定义求出，判断其与零的大小关系即可作出判断．
【详解】（1）解：设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团个名额，
依题意得
解得：
检验：当时，．
所以原分式方程的解为： ．
答：分配给甲社团个名额，分配给乙社团个名额．
（2）解法一：
∴，
∴
依据第三步，应该将这个名额分配给甲社团．
解法二：
∵，
∴
又，
∴，
∴，
∴
即
依据第三步，应该将这个名额分配给甲社团．
44．(1)3，6
(2)真分式，，4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时， ，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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