10.4分式的加减法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．0或2
2．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．
A．小时 B．小时
C．小时 D．小时
3．办公中常用到的纸张一般是A4纸，其厚度约为0.0075m，用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×10﹣3m B．7.5×10﹣2m C．7.5×103m D．75×10﹣3m
4．计算：（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且且 D．且
8．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2+|﹣2|=0 B．20÷3=0 C．42=8 D．2÷3×=2
9．若有意义，那么的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．x≠3且x≠4 D．x≠3或x≠2
10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．对于任意实数，，，定义运算“※”，满足※=，且※※=（※）※．在下列各结论中：①2※1=5；②※3=6；③这一运算满足交换律，即※=※；④2014※2013※2012※……※4※3※2=19．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．－2021
二、填空题
13．计算： ： ．
14．已知，且，则 ．
15．在一列数，，，，…中，已知（且）．，，…，，则 ．
16．计算： .
17．如果，那么的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知：．
(1)化简P；
(2)当a满足不等式组且a为整数时，求P的值．
19．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)如图1，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个长方形，试比较这两个小正方形面积之和M与两个长方形面积之和N的大小．
(2)如图2，图3，中，于D，，长方形中，长，宽，与长方形的面积分别为M、N，试比较M、N的大小，其中，且．
(3)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算？
20．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；
(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
21．人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）．
22．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
23．设，其中全不为0，求证：．
24．观察等式：①＝；②＝；③＝；④＝，……
(1)试用含字母的等式表示出你发现的规律，并证明该等式成立；
(2)＝ ．（直接写出结果）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A D B C A C D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】将已知等式化简得到关于的整式方程，进而根据完全平方公式的化简，求得的值，代入代数式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
，
，
，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为或．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的应用，有理数的乘方，求得的值是解题的关键．
2．C
【详解】试题解析：首先求出甲、乙合作的工作效率，然后根据工作时间=工作总量÷工作效率求出答案，在没有给定工作总量的情况下，我们一般设工作总量为1.根据题意可得：甲、乙合作的工作效率为：，则工作时间=.
3．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0075m，用科学记数法表示为7.5×10﹣3m．
故选A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，解题关键是熟记科学记数法的性质．
4．A
【分析】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键；根据“”可进行求解．
【详解】解：；
故选A．
5．D
【分析】根据分式的乘除以及负整数指数幂的计算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除计算，负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
6．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
7．C
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，，，
且且，
故选：C．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分式有意义的条件，掌握，，分式的分母不等于0是解题的关键．
8．A
【详解】试题分析:A.；B. ；C.D．．
故选A．
考点：有理数计算．
9．C
【分析】根据零指数幂以及负整数指数幂的意义列式即可求出x的范围.
【详解】根据题意知：，
∴且
故选：C.
【点睛】本题考查零指数幂以及负整数指数幂的意义，解题的关键是正确理解两者的意义.
10．D
【分析】本题考查了分式的性质及运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
根据分式的性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），分式的值不变，由此即可求解．
【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、当时，，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
11．B
【分析】①②③利用题中的新定义计算得出结果即可作出判断，④利用②的计算结论可化简进行求解即可．
【详解】解：①2※1=；
②将※3=6变形得：；
③由※=，※=，两者不相等，所以这一运算不满足交换律；
④令2014※2013※2012※……※4的计算结果为x，则由②中的结论可得：
2014※2013※2012※……※4※3=6，
∴2014※2013※2012※……※4※3※2=6※2=；
∴正确的有②④两个；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，注意规定新运算的方法，利用运算规定转化计算即可．
12．B
【分析】根据零指数幂的性质求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了零指数幂，掌握是解决本题的关键．
13． 1 4
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂分别计算．
【详解】解：1，
4，
故答案为：1，4．
【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握运算法则．
14．3
【分析】进行通分得到，然后将看成一个整体代入求解即可.
【详解】解：∵
∴
∴.
故答案为：3
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，将和看成一个整体是解决本题的关键.
15．x+1.
【分析】首先分别求出n=2、3、4…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2014代入求解即可．
【详解】解：a1=x+1，
a2=1÷(1-a1)=，
a3=1÷(1-a2)= ，
a4=1÷(1-a3)=x+1，
……
周期为3；
2014÷3=671…1
所以a2014=a1=x+1．
故答案为：x+1．
【点睛】本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键．
16．8
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】解：.
【点睛】本题考查负整数指数幂的运算，要熟记运算法则：.
17．
【解析】因为，
所以，
所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
（2）先解不等式组，求得不等式组的整数解，代入（1）中结果，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∴整数解，
∴．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)乙的购货方式更合算
【分析】（1）根据题意得，，利用作差法比较与大小即可；
（2）根据题意得，，利用作差法比较与大小即可；
（3）根据平均单价总钱数两次购买的数量，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可；根据作差法比较两单价的大小即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，于，，
∴
，
在长方形中，长，宽，
∴
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）设两次购买的饲料单价分别为元/千克和元/千克（，是正数，且），
∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）；
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：
，
由于，是正数，因为时，也是正数，
即，
因此乙的购货方式更合算．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．(1)两次共采购的件数为件
(2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍
【分析】本题考查分式运算的实际应用：
（1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可；
（2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可．
【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为，
第二次采购该商品的件数为，
所以，两次共采购的件数为（件）．
（2），
第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍．
21．千克．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，设一粒芝麻有千克，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设一粒芝麻有千克，
由题意得，，
解得，
答：一粒芝麻有千克．
22．数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析
【分析】本题考查分式的实际应用：
数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解；
实验结论：根据前一问结论，比较大小即可；
推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可．
【详解】解：数据计算：
方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
故答案为：，，；
实验结论：
，
方案三的漂洗效果最好，
故答案为：三；
推广证明：
依题意可得，
选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为；
选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，
所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小，
因为，且，，
所以，
所以，
所以，
即方案二比方案一的漂洗效果好，
因为，且，
所以，
所以，
所以，
即方案三比方案二的漂洗效果好，
综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好．
23．见解析
【分析】利用先求出，再利用作商法证明即可．
【详解】∵
，
，
同理：，，
，，
所以：
．
所以．
【点睛】本题考查分式的混合运算，用表示出，并用作商法证明结论是解题的关键．
24．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题目给出的式子，归纳类推出第个式子，然后根据分式的减法法则进行证明即可得；
（2）利用（1）中的规律，将各式子拆分成两项的差，再求和即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
归纳类推得：第个等式为，其中为正整数，
即发现的规律为，证明如下：
，
．
（2）解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、分式的减法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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