12.11勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．12米 B．10米 C．8米 D．6米
2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
7．已知在平面直角坐标系中，点，作垂直于轴于点，则周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
8．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，，则滑道的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点沿纸盒表面爬到点，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将等腰直角三角板的顶点放在相互平行的三条直线，，上，且与之间的距离为1，与之间的距离为3，则的长是（ ）
A．5 B． C． D．2
12．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，P是等边外一点，把绕点B顺时针旋转60°到，已知，，则 ．（用含a，b的代数式表示）
14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有 尺高．
15．已知如图：小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则的周长为 ．
16．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为 ．
17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是 ．
三、解答题
18．如图：由个边长为的小正方形构成的网格图中，有一个正方形（图中实线表示）．
(1)请你计算正方形的面积是__________，边长是____________；
(2)估算这个正方形的边长介于_____和_____之间，它的小数部分是______．
(3)在数轴上作出这个正方形的边长表示的数的点．（保留作图痕迹）
19．如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于D点．若，，求长．
20．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长．
21．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是多少？
23．如图，在中，，的延长线于点，的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．如图，C在线段BD上，，且，
(1)判断的形状，请说明理由；
(2)求四边形的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C B A C C B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：如图所示：
根据题意，
设，则．
在中，
解得，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键在于能够熟知勾股定理．
2．C
【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积．
【详解】解：如图，
，，
，
在和中，
，
，
，
根据勾股定理得，得．
的面积的面积的面积．
故选：C．
3．B
【分析】如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．
4．D
【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，
∴斜边的长为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】解： ，，，
设，则，则
故选：C．
6．B
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长．
圆柱的底面周长是，高是，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7．A
【分析】根据勾股定理求OA的长度,从而求三角形周长.
【详解】解:如图:
∵点，作垂直于轴于点
∴OB=3,OA=4
在Rt△AOB中，OA=
∴则周长为3+5+4=12
故选A.
【点睛】运用勾股定理求出OA的长度是本题的解题关键.
8．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【详解】设，则，，
由题意得：，
在中，，
即，
解得，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．
【详解】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
,
故选：C．
10．B
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案
【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示，
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
11．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过A作于D，过C作于E，得到，根据可证明，可求出，根据勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解；过A作于D，过C作于E，由题可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴．
故选：C．
12．C
【分析】根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案
【详解】正整数a，b，c是一组勾股数，
根据题意，不妨设c最大，则：
，
，
，，也是一组勾股数
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股数的概念，注意：一组数若为勾股数，扩大或缩小相同的倍数后仍然是勾股数
13．．
【分析】连接PQ，根据旋转的性质可得△ABP≌△CBQ，△PBQ是等边三角形，由全等三角形的性质得到AP=QC，然后求出∠AQP是直角，再利用勾股定理表示出PQ，又等边三角形的三条边相等，代入整理即可得解．
【详解】连接PQ．
∵△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，∴△ABP≌△CBQ，△PBQ是等边三角形，∴AP=QC．
∵QA：QC=a：b，设QA=am，则QC=bm，∴AP=QC=bm，
∵△PBQ是等边三角形，∴∠BQP=60°，PQ=PB．
∵∠AQB=150°，∴∠AQP=150°﹣60°=90°，∴△APQ是直角三角形，
根据勾股定理，PQ，
则PB，∴PB：QA：am=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
14．
【分析】首先理解题目含义，将竹子的形状转化为直角三角形，三边都表示出即可用勾股定理解题
【详解】根据题意可设原处还有x尺的竹子，这样折断部分的长度可以求得为（10-x）；根据题意可列出方程x2+32=(10-x)2,解得x=
故本题答案为
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转换为直角三角形
15．
【分析】根据勾股定理分别求出的长，从而求出的周长．
【详解】解：∵小正方形边长为1，
∴由勾股定理得，，，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查图象识别和勾股定理，根据图象求出各边长是解题的关键．
16．
【分析】利用勾股定理即可计算．
【详解】根据题意，利用勾股定理有，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的的知识，通过网格点找到合适的直角三角形并确定其边长是解答本题的关键．
17．16
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，
因为S1+S2+S3=48，
即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，
∴3（a2+b2）=48，
∴3S2=48，
∴S2的值是16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18．(1)，
(2)，，
(3)见详解
【分析】（1）根据题意，运用勾股定理即可求解正方形的边长，从而求出正方形的面积；
（2）根据无理数的估算方法即可求解；
（3）将无理数表示在数轴上，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，由个边长为的小正方形构成，
∴，，，，
∴,
∴，，
∵，
∴，
∴，同理可证，
∴四边形是正方形，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵，即，
∴这个正方形的边长介于和之间，即整数部分为，
∴小数部分为，
故答案为：，，．
（3）解：根据题意，①将点向右平移个单位到点，再将点向上平移一个单位到点，连接，
∴根据勾股定理得，，
②以点为圆心，以长为半径画弧交数轴与点，
∴，如图所述，
∴点的位置表示的数即为．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，无理数的估算，数轴上表示无理数的方法，掌握勾股定理，无理数估算的方法，数轴上表示无理数的方法是解题的关键．
19．
【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线，
过D点作于H点，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ，
设，则，，，在中，由勾股定理：，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查作图 角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键．
20．
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
即，
解得．
21．煤栈应建在距A点16千米处．
【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案．
设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可．
【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接，
设千米，则（千米），
∵，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米，
∴煤栈应建在距A点16千米处．
22．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意设未知数列方程是解题的关键；设绳索的长是，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设绳索的长是，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
绳索的长是；
23．(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）由可证；
（2）结合（1）由勾股定理可求BE的长．
【详解】（1），
，
又，，
，
在和，
，
；
（2）由（1）知：，
，
，
．
24．(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的定义；
（1）由全等三角形的性质证明，，证明，从而可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得：，，结合勾股定理可得，再利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
