12.7直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，垂足分别为，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，是上的一点，且，过点作交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,交AC边于点E,ED⊥AB,垂足为D．若△ABC的周长为12,△ADE的周长为6,则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中，已知，把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F，若BP=4，则PF的长（ ）
A．2 B．3 C．1 D．8
6．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，∠BAC=120°，点E是斜梁AB的中点，立柱AD，EF，GH垂直于横梁BC，AB=8m，则EF等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．如图，已知的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，若，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD四边形的值（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE
10．如图，在中，，，是的中点，于点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，于点D，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．1 D．3
12．如图，是等边三角形，过边上的点D作的垂线交于点E，作交于点F，作交于点G，，相交于点M．若，，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．
二、填空题
13．在中，，，，则 ．
14．如图，△ABC中，∠C=90°，DB是∠ABC的平分线，点E是AB的中点，且DE⊥AB，若BC=5cm，则AB= cm．
15．如图，已知是的高线，且，，则 .
16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
17．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为 ．
三、解答题
18．如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系；
(3)如图2，当点在线段的延长线上运动时．
①__________度；
②当时，求的长；
(4)连接，直接写出的最小值．
19．密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点分别表示两个水质监测站，监测人员上午时在A处完成采样后，测得实验室在A点北偏东方向．随后监测人员乘坐监测船继续向东行驶，上午时到达处，同时测得实验室在点北偏西方向，其中监测船的行驶速度为．
(1)在图中画出实验室的位置；
(2)已知A、两个水质监测站的图上距离为．
请你利用刻度尺，度量监测船在处时到实验室的图上距离；
估计监测船在处时到实验室的实际距离，并说明理由．
20．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，测得仰角为15°（即），当笔直向山行进6千米时，小明看气象站测得仰角为30°（即）．求气象站离地面的高度．
21．如图，已知港口A的南偏东方向上有一座小岛B ， 一艘货轮从港口A沿南偏东方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东方向．
(1)求此时货轮到小岛B 的距离．
(2)在小岛B 周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
22．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？
23．如图，在中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段．
24．已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D A C A A A B
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】由题意知，证明，进而可得答案．
【详解】解：由题意知
在和中
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
2．B
【分析】证明，得到，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．
3．A
【分析】根据角平分线的定义可知，DE=EC,易证，可知BD=BC，再比较△ABC与△ADE的周长之差，即2倍BC的长为6，从而计算BC的长.
【详解】解：
∠C=90°,BE平分∠ABC,交AC边于点E,ED⊥AB，
DE=CE,
在与中，
BD=BC,
△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+CE+BC,
△ADE=AD+AE+DE,
且DE=CE, △ABC的周长为12,△ADE的周长为6,
BD=BC,
故选A.
【点睛】本题考查了角平分线的性质和证明三角形全等，能够根据已知条件选择的方法证明三角形全等.
4．D
【分析】根据旋转变换的性质可得与全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形的面积 小扇形的面积．
【详解】解：根据旋转变换的性质，，
∵，，，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
5．A
【分析】证△ABD≌△CAE，推出∠ABD=∠CAE，求出∠BPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．
∴∠BAC=∠C．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，
∴∠PBF=30°．
∴PF=．
故选；A．
6．C
【分析】根据等腰三角形的性质求得∠B=30°，再利用直角三角形的性质求出EF即可．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=(180°-120°)=30°，
∵AB=8m，点E是斜梁AB的中点，
∴BE=AE=AB=4(m)，
在Rt△BEF中，∠B=30°，BE=4m，
∴EF=BE=2(m)，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
7．A
【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出，则，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键．
8．A
【分析】由角平分线的性质、两直线平行同旁内角互补性质解得，继而证明四边形EFGH是矩形，设，求得，，，
，作于，最后根据平行四边形与矩形的面积解题．
【详解】解：在中，
平分平分，
同理可证
∴四边形EFGH是矩形，
，
设，则
中，
作于，
中，
S四边形EFGH÷S四边形ABCD，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形、正弦、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．A
【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEC，可得∠A=∠D，BC=CE，可得∠EBC=45°，由余角的性质可证AB⊥DE，利用排除法可求解．
【详解】如图，延长DE交AB于点H，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠A＝∠D，BC＝CE，
∴∠EBC＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠D+∠ABC＝90°，
∴AB⊥DE，
∴B，C，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt△ABC≌Rt△DEC是本题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，连接，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，，，由含角的直角三角形的性质可得，求出，，，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，是的中点，
，，，
，，，
，
，
，，
，，，故A、D正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
，故C正确，不符合题意；
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：A．
12．A
【分析】如图所示，过点M作于H，先证明，由含30度角的直角三角形的性质求出，进而求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．8
【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，再利用，得到，求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
14．10
【详解】∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
又DB是∠ABC的平分线，
∴3∠A=90°，
即∠A=30°．
∴AB=2BC=10（cm）
15．4cm
【分析】根据三角形的高线的定义得到，根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】解:∵是的高线，
∴，
∵，，
∴.
故答案为:4cm.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16．2
【分析】根据30°的直角三角形，30°所对的边是斜边的一半，可得AC=2cm，进而求出阴影三角形的面积.
【详解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为2．
【点睛】本题考查了30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
17．4
【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度．
【详解】解：等边，
，．
．
，
．
．
过点作于点，
．
，
．
在和中，
．
．
，
．
在中，，
∴，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)①；②16
(4)20
【分析】（1）根据题意得和即可证得结论；
（2）利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得线段之间的关系；
（3）①利用等边三角形的性质得到，证明，有即可求得答案；
②由，结合题意可得，利用含角的直角三角形性质即可求得答案；
（4）作点关于的对称点，连接，有，由（2）和（3）得到点从点沿射线运动过程中，点在外角的角平分线上运动，将最小转化为最小，当点与点重合时，最小即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
是等边三角形；
（2）是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在与中，
，
∴，
∵，
∴，
（3）①和是等边三角形，
∴，，
∴，
则，
∴，
即；
②由①可得．
是等边三角形，
∴，，
．
，
，
，
；
（4）作点关于的对称点，连接，如图，
则，
由（2）和（3）可知动点从点沿射线运动过程中，，，
即点在外角的角平分线上运动，
若最小，即最小．
当点与点重合时，最小，
此时最小值为，
则最小值为20．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质和求解点的运动轨迹，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和找到点的运动轨迹．
19．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据方向角的定义画出图形即可；
（2）①利用测量法解决问题即可；
②利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：①度量监测船在处时到实验室的图上距离为；
②由题意，，
，
，
处时到实验室的实际距离为：．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．3千米
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用外角的性质，得到，得到，再根据含度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴千米
在直角中，，
∴千米．
21．(1)此时货轮到小岛B 的距离为80海里
(2)货轮向正东方向航行没有触礁危险，理由见解析
【分析】本题是方向角问题在实际生活中的运用，同时考查了等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，解题的关键是构造出直角三角形．
（1）先根据题意求出，据此得，从而得出，从而可得答案；
（2）作于点D，由，可得：，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，标注字母，
由题意知：
，，
∴，
∴，
∴海里，
即此时货轮到小岛B的距离为80海里；
（2）解：如图，作于点D，
在中，
∵ ，
，
∵，
∴货轮向正东方向航行没有触礁危险．
22．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里．
【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先证明，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴ (海里)，
∴海里，
答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据线段的和差可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得平分，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证．
【详解】（1），，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
；
（2）如图，延长交于点，
由（1）已证：，
，
，
又，
，即，
在和中，，
，
，即平分，
，（等腰三角形的三线合一），
即过点、的直线垂直平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）2cm2
【分析】（1）连接、，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论；
（2）由证得，由（1）得出，可得等量关系，即可求解．
【详解】（1）证明：连接、，
如图所示：
的垂直平分线过点，
，
点是的角平分线上的点，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
由（1）知，
由图可知：（cm2），
（cm2）．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构建全等三角形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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