5.3用待定系数法确定二次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x的值增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
2．二次函数，自变量与函数的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 4 0 0 4 …
下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大
C．二次函数的最小值是 D．抛物线的对称轴是
3．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
4．二次函数，（a，c是常数，），下列选项正确的是（ ）
A．若图象经过，，则． B．若图象经过，，则．
C．若图象经过，，则． D．若图象经过，，则．
5．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
从上表可知，时，的值为（ ）
A． B． C． D．0
6．已知抛物线经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=2；当x=5时，y=6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
8．如图，在平面直角坐标系中，有五个点，．将二次函数的图象记为G，下列结论中正确的有（ ）
①点A一定在G上；
②点可以同时在G上；
③点可以同时在G上；
④点不可能同时在G上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如果抛物线经过点，和，则的值为( )
A．-4 B．-2 C．0 D．1
10．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
12．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（ ）
A．1 B．9 C．16 D．24
二、填空题
13．对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．
… 0 1 2 3 …
… 1 3 3 1 …
14．已知二次函数．
（1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ；
（2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ．
15．已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表：
0 1 2 3
8 3 0 0
则满足方程的解是
16．顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 ．
17．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y= ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 3 1 1 3 …
三、解答题
18．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m．
(1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______；
(2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标；
(3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数．
19．已知二次函数y＝+2x+k+1部分自变量x与函数值y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣3 …
(1)请将表格填写完整，并直接写出k的值为 ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当﹣4≤x≤1时，y的最大值与最小值的和是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________；
(3)当是菱形时，求的值．
(4)当为何值时，的面积有最大值？
21．已知某二次函数图象上两点坐标分别为；，与x轴的一个交点为，D为顶点坐标.
(1)求出该二次函数表达式
(2)求出的面积
22．已知抛物线的对称轴为，且经过点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)抛物线上是否存在点，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
23．已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．
（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；
（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；
（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．
24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.
（1）若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式；
（2）求证：am＋b＝0；
（3）若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C D C C C C B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】由题知，解得
∴二次函数的解析式为．
∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，故A选项不符合题意．
∵，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意．
令y＝0得，，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意．
∵二次函数解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故D选项符合题意．
2．D
【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质逐一判定即可．
【详解】解：将点代入到抛物线中，
得：，
解得：，
故抛物线解析式为：，
，开口向上，故选项A不正确，对称轴，故选项D正确，当时，随的增大而增大，故选项B不正确，当时，二次函数有最小值，故选项C不正确；
故选择：D
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
3．A
【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．
【详解】解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键．
4．C
【分析】依次对四个选项建立方程组，解方程组求出a的值即可得到答案．
【详解】解：A. 若图象经过，，则，解得，不符合题意；
B. 若图象经过，，则，得，不符合题意；
C.若图象经过，，则，得，符合题意；
D. 若图象经过，，则，解得，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的待定系数法和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
5．D
【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案．
【详解】解：把，、，和，代入，
可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴当时，的值为．
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式．
6．C
【分析】将点代入中，待定系数法，即可求解，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：将点代入中，
得：，
，
故选：C．
7．C
【分析】当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式整理得a（9-2h）=1，将h的值分别代入即可得出结果．
【详解】解：当x=1时，y=2；当x=5时，y=6；代入函数式得：，
∴a（5-h）2-a（1-h）2=4，
整理得：a（6-2h）=1，
若h=2，则a=，故A错误；
若h=4，则a=，故B错误；
若h=6，则a=，故C正确；
若h=8，则a=，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．C
【分析】由二次函数可知，对称轴为直线，，即可判断①；
把代入，得函数解析式，再将代入解析式，即可判断②；
把代入，可得出，即可判断③；
把代入，可得出，再将代入解析式，即可判断④．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，
①∵点，
∴点A在对称轴上，
∵，
∴点A一定不在上；故①错误；
②∵把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴在的图像上，
∴点可以同时在上；故②正确；
③把代入，
，
解得：，
∴，
∴点可以同时在G上,故③正确；
④把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴不在的图像上，
∴点不可能同时在G上，故④正确；
故正确结论的序号是：②③④，有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求解二次函数的解析式，求出图象上点的坐标的解析式是解题的关键．
9．C
【分析】将点（-1，12），（0，5）和（2，-3）代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得a、b、c的值，即可求得a+b+c的值.
【详解】解：由题意得，
解得，
所以a+b+c=1-6+5=0
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是关键.
10．B
【分析】本题考查了抛物线的图像与性质和待定系数法求抛物线解析式，解题关键是理解相关性质并准确计算．
由抛物线的对称性并根据图像经过点和得出对称轴为直线即可判断③；由抛物线对称轴为直线和经过得抛物线与轴另一个交点为，即可判断①；利用待定系数法求出抛物线解析式即可判断②和④．
【详解】解：由抛物线的对称性并根据图像经过点和得出对称轴为直线，故③正确；
由对称轴为直线和经过得抛物线与轴另一个交点为，故①正确；
将，，代入解析式得：
∴
∴抛物线解析式为
，
∴函数最大值为，故②错误；
因为，所以在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故④错误；
故选：B ．
11．B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键．
由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的，
得到的最小值为，无最大值．
【详解】二次函数的图象经过点，，，
对称轴为直线，
，，
，
把，代入得，
解得：．
当时，该函数有最大值和最小值，
时，取最大值，
时，取最小值，
，
又，
的最小值为，无最大值．
故选B．
12．A
【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可．
【详解】如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
13．（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据表格，用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：把，；，；，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
（1）将、代入二次函数，然后再配方即可解答；
（2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得时，；当时，，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可．
【详解】解：（1）当、时，
，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）∵，
∴顶点坐标为，
∵正中，，
∴抛物线开口向下，
∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，
∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：，
∴当时，；当时，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：，．
15．/
【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，通过表格数据求出然后代入方程即可求解．
【详解】解：由表格可知抛物线经过，
抛物线解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
移项可得：
因式分解可得：
解得：．
16．/
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2，然后根据二次项系数的意义得到a＝﹣3，从而确定所求抛物线的解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点是，
∴设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵抛物线y＝a（x﹣2）2与抛物线y＝﹣3x2的形状相同，开口方向相同，
∴a＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2．
故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2．
【点睛】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．
17．13
【详解】试题分析：把（﹣3，7），（﹣2，3），（﹣1，1）代入二次函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数解析式，然后把x=3代入即可求得y的值．
解：根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是y=x2+x+1，
当x=3时，y=9+3+1=13．
故答案是：13．
考点：二次函数的性质．
18．(1)3，0，0，3，
(2)点P的横坐标为：1或2或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键．
（1）分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
（2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标．
（3）先根据平行于x轴的纵坐标相等建立方程，然后求得点Q的横坐标，然后用点P与点Q横坐标之差的绝对值表示出线段PQ，再结合m的取值范围分段写出d关于m的函数．
【详解】（1）解：在直线中，令，得；令，得,即，
故，将两点的坐标代入中得：
解得：
∴抛物线的解析式为
故答案为：3，0，0，3，．
（2）设点P的横坐标为m，则，即：，
∴或
解方程得，或；
解方程得，
因点P位于x轴的上方，故，解得：，
因，故不合题意舍去．
故点P的横坐标为：1或2或．
（3）解：如图，
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴点P的纵坐标为，
∵直线轴，
∴点Q的纵坐标也为，
设点Q的横坐标为a，因点Q在直线上，
∴，解得：，
即点Q的横坐标为，
∴，
∵点P与点C不重合，则，又，
∴当时，，
当时，，
故d关于m的函数为：．
19．(1)表格见解析，k的值为-4
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）通过待定系数法求出k的值，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性求解．
（2）根据（1）中表格描点连线即可．
（3）由将x=-4代入函数解析式求出y的最大值，再根据顶点坐标求解．
【详解】（1）解：将（0，-3）代入y=+2x+k+1得-3=k+1，
解得k=-4，
∴y=+2x-3，
∴抛物线对称轴为直线x=-=-1，
∴（-3，0），（0，-3）关于直线x=-1的对称点坐标为（1，0），（-2，-3），
将x=-1代入y=+2x-3得y=1-2-3=-4，
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
故答案为：-4．
（2）如图，
（3）将x=-4代入y=+2x-3得y=16-8-3=5，
由图象可得当-4≤x≤1时，y最大值为5，最小值为-4，
∴5+（-4）=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，解题关键是掌握二次函数的性质．
20．(1)
(2)
(3)
(4)当时，平行四边形的面积有最大值
【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得；
（2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得；
（3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得；
（4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴抛物线的解析式为，
即，
（2）解：∵抛物线的解析式为，令，则，
∴，
∵有两个顶点在轴上时，
∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，
，
∵是菱形，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
，
即，，
∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），
∴，
∴；
（4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵
，
∴当时，平行四边形的面积有最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质．
21．(1)
(2)面积为3
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，
（1）设二次函数表达式为，利用待定系数法进行计算即可得，
（2）先求出顶点坐标，再计算即可得；
掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为，
∵二次函数过点，，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
（2）解：∵，
∴顶点D的坐标，
如图所示，
∴
．
22．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)不存在，理由见详解
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，及二次函数的性质．
（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）把点代入二次函数的解析，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，且经过点，
，
，
故抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：不存在，理由如下：
把代入，得
，
，
，
原方程无解，即抛物线上不存在点．
23．（1）证明见解析；（2）;(3)见解析.
【分析】（1）只需要把M的坐标带入到即可
（2）把,代入到等式化简取y最大值时，即可解答
（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题
【详解】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，
∴点M（0，4）在y1的图象上，
即y1的图象经过点M（0，4）；
（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣ ）（x﹣4）（a≠0）．
∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣ ）（x﹣4）﹣（ax+4），
即y＝ ，
∵a＞0，对称轴为x＝ ＞2，
∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，
∵y＝y2﹣y1的最大值为4，
∴17a﹣4＝4，
解得，a＝ ；
（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝，
当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，
当x＝2时，y＝y2﹣y1＝4a﹣11a+2a﹣4＝﹣5﹣4＜0，
又当y＝0时，＝0，即2ax2﹣11ax+4a﹣8＝0，
x＝ ，
∵△＝121a2﹣32a2+64a＝89a2+64a＞0，
∴ ，
根据二次函数的增减性可得，
当x时，y2﹣y1＜0，即y2＜y1；
当x＝时，y2﹣y1＝0，即y2＝y1；
当x＜时，y2﹣y1＞0，即y2＞y1．
【点睛】此题主要考查函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解
24．（1）y＝－x2＋x＋1；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（2）把m＝1，a＝－1代入（m＋1，a），（m，b）得(2，－1)，(1，b)，把(2，－1)，(1，b)代入函数解析式，进行解方程组即可；
（2）把（m＋1，a），（m，b）代入函数解析式，得到方程组，将方程组进行整理即可；
（3）由（2）得的方程组可得：c＝b＝-am．即可得出抛物线解析式为：y＝ax2-amx-am．当x＝1时，得到不等式：a-am-am≥3a，解得 m≥－1． 利用最值得到方程，整理得：．将c＝b＝-am代入，解得：＝＝．进行解答即可．
【详解】解：（1）若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过 (2，-1)，(1，b) 两点，
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1．
（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点，
∴
①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．
整理，得 am＋b＝0；
（3）由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．
∴y＝ax2-amx-am．
∵当x＝1时，y≥3a，
∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，
∵a＜0，∴m≥-1．
∵该二次函数的最大值为，
∴，即．③
将c＝b＝-am代入③，得，
∴＝＝．
∵m≥-1，
∴≥-3，
∵a＜0
∴a≤．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的综合运用，准确读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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