2024-2025学年山东省某中学九年级（上）期末模拟
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的几何体的主视图正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，则与轴正方向所夹锐角的正弦值是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列说法错误的是( )
A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
6.如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为( )
A. B.
C. D.
7.一次函数与反比例函数为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，是的外接圆，且，，在上取点不与点，重合，连接，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间下列结论：
；
；
；
若，为方程的两个根，则；
其中正确的有个．
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为 ．
12.一个不透明的布袋里只有个红球和个白球仅有颜色不同若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ______．
13.已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是______．
14.如图，平行于轴的直尺部分与反比例函数的图象交于，两点与轴交于，两点，连接，点，对应直尺上的刻度分别为，，直尺的宽度，，则点的坐标是______．
15.若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______．
16.如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点．
求的值和反比例函数解析式；
当时，求的取值范围．
19.本小题分
为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道如图，点在点的正东方向米处，点在点的正北方向，点、都在点的正北方向，长为米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．
求步道的长度；
点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近结果精确到个位
参考数据：，，，
20.本小题分
如图，与相切于点，半径，与相交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出个球，取出白球的概率为．
布袋里红球有多少个？
先从布袋中摸出个球后不再放回，再摸出个球，求两次摸到的球都是白球的概率．
22.本小题分
如图所示，建筑物一侧有一斜坡，在斜坡坡脚处测得建筑物顶部的仰角为，当太阳光线与水平线夹角成时，建筑物的影子的一部分在水平地面上处，另一部分影子落在斜坡上处，已知点的距水平地面的高度米，斜坡的坡度为即，且，，，在同一条直线上．测倾器的高度忽略不计，结果保留根号
求此时建筑物落在斜坡上的影子的长；
求建筑物的高度．
23.本小题分
某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
每天销售数量件
直接写出与之间的函数关系式；
若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
设销售这种文具每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24.本小题分
如图，已知是的直径，点在上，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为．
求，的值；
平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，抛物线与轴交于点和点．
如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
如图，在的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
18.解：一次函数与反比例函数相交于点和点，
，，
解得，，
反比例函数的解析式为；
解方程组，得或，
，
观察图象可得，当时，的取值范围为或．
19.解：过作，垂足为，
由题意得：四边形是矩形，
米，
在中，，
米，
步道的长度约为米；
小红从出发，经过点到达点路程较近，
理由：在中，，米，
米，
在中，，米，
米，
米，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
米，
某人从出发，经过点到达点路程米，
某人从出发，经过点到达点路程米，
米米，
小红从出发，经过点到达点路程较近．
20.证明：连接交于点，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
21.解：设布袋里红球有个．
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的解．
布袋里红球有个．
记两个白球分别为白，白
画树状图如下：
由图可得，两次摸球共有种等可能结果，
其中，两次摸到的球都是白球的情况有种，
两次摸到的球都是白球．
22.解：如图，作于则四边形是矩形．
，，
，米，
此时建筑物落在斜坡上的影子的长为米．
，，
，
，设米，则米，米，
在中，，
，
解得米，
米．
23.解：设与之间的函数关系式为，由所给数据可知：
，
解得：，
故与的函数关系式为；
根据题意得：
，
解得：，
又，
，
答：销售单价应为元．
，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
24.证明：连接，如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
直线是的切线；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
平分，，
，
，，
，
，
，．
25.解：，
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
点在直线上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
；
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
直线与轴交于点，
，
，
当时，，舍去，
此时，点的坐标为，
当时，，舍去，
此时，点的坐标为，
综上所述：以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或
26.解：抛物线过点，，
得，
解得，
抛物线表达式为，
当时，，
解得舍去，，
；
设直线的表达式为，
直线过点，，
得，
解得，
直线的表达式为，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
如图，
将代入，
解得，舍去，
点坐标为；
将代入得，
，
顶点坐标为，
当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，
解得，
当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
解得
综上所述，的取值范围为或．
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