2024年11月八年级数学试卷
考试范围：七年级-八年级上册
考试时间：100分钟 试卷满分：120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题三分，共30分）
1．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：(s,t是正整数,且),如果在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称是n的最优分解,并规定：.例如24可以分解成,,,这四种,这时就有.给出下列关于的说法：①；②；③；③若n是一个完全平方数,.其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．如图，直线与直线相交，，点P在内（不在、上）.小明用下面的方法作P的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，……如此继续，得到一系列、、……与P重合，则n的值可能是( )
A. B. C. D.
3．如图，已知长方形纸片中，点E、F、G分别在边、、上.将三角形沿翻折，点A落在点处，将三角形沿翻折，点D落在点处.有以下四个结论：
①若，则；
②若，则、、E三点不一定在同一直线上；
③若，则；
④若，则.
其中正确的结论个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是( )
A. B. C. D.
5．如图, 实数a,b,c 在数轴上对应的点分别为A,B,C, 列结论错误的是( )
①若, 则点B 为 AC的中点;
②;
③若P 为数轴上任意一点, 则有最小值, 最小值为;
④若B 为AC 的中点, 且 ，a为奇数, , 则.
A. ②③ B. ①④ C. ④ D. ②
6．如图,电路上有,,,四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为( )
A. B. C. D.
7．如图，，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，…，，分别是和的平分线，则的度数是( )
A. B. C. D.
8．如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，.若，则的度数为( ).
A. B. C. D.
9．如图，P是边长为1的正三角形内的一点，P到三边的距离分别是a，b，c，若以a，b，c为边可以组成三角形，则c应该满足的条件是( )
A. B. C. D.
10．如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；
②若，则；
③在②的条件下，则；
④在②的条件下，当时，，则的面积是1.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，，a的形式，又可分别表示为4，，b的形式，则的值为________.
12．若一个四位正整数的十位数字比个位数字大5，千位数字比百位数字大5，则称这样的四位正整数为“尚善数”.一个四位正整数m是尚善数，记为m的百位数字和个位数字依次组成两位数与m的千位数字和十位数字依次组成两位数的和，记为m的千位数字和百位数字依次组成两位数与m的十位数字和个位数字依次组成的两位数的差若为一个正整数，则满足条件中m的最大值是_________.
13．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129，，4129是“递减数”；又如：四位数5324，，5324不是“递减数”.若一个“递减数”为，则这个数为______；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是______.
14．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：
①；
②随着的变化而变化；
③当时，则或；
④当时，一定垂直于.
其中正确的是____________.
15．俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福和好运的象征；规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，对于“逢双数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则____________________；若“逢双数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“逢双数”中的最大数与最小数的差为____________________.
三、解答题（7题，共计55分）
16．（8分）阅读材料：
求的值.
解：令.①
将等式两边同时乘5，得.②
②-①，得，所以.
解决问题：
（1）求的值：
（2）求的值
17．（10分）已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，.
（1）如图1，若，.
求证：①；
②
（2）如图2，，，，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为t（s），是否存在x，使得与全等 若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.
18．（10分）定义：关于x的多项式A和B，当时，A的值记为a，当时，B的值记为b，若存在整数k，对于任意的实数m，都有，称多项式B是多项式A的衍生多项式，称k为衍生系数.
例如：是x的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式.
（1）直接写出a的值：；
（2）是否存在整数k，使得，若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.
19.（11分）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形.
(1)由图2可以直接写出之间的一个等量关系是；
(2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值；
(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y.若，求图中阴影部分面积和.
20．（12分）阅读下列材料:
材料一: 对于一个四位正整数, 如果百位数字大于千位数字, 且个位数字大于十位数字, 则称这个数是 “双 增数”; 如果百位数字小于千位数字, 且个位数字小于十位数字, 则称这个数是 “双减数”. 例如: 3628 , 4747是“双增数”,5231,9042 是“双减数”.
材料二:将一个四位正整数m 的百位数字和十位数字交换位置后, 得到一个新的四位数, 规定:. 例如:.
(1)最大的 “双增数” 是 ______,最小的“双减数” 是______.
(2)已知 “双增数” (,,x,y是整数), “双减数” (且 ,,a,b是整数), 且t 的各个数位上的数字之和能被 12 整除. 若, 求 k的最大值.
21．（12分）将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法.分组分解法有两种分法：一是“”分组.二是“”分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组.
例如：；
.
［应用知识］
（1）因式分.
（2）因式分.
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足：.试判断这个三角形的形状，并说明理由.
22．（12分）（1）如图①，等角六边形中，三组正对边与，与，与分别有什么位置关系？证明你的结论；
（2）如图②，等角六边形中，如果有，则其余两组正对边与，与相等吗？证明你的结论；
（3）如图③，等角六边形中，试判断与的大小，并证明你的结论.
参考答案
1．D. 2．A. 3．C. 4．B. 5． D. 6．D. 7．C. 8．C. 9．B. 10．D.
11．0或-8 12． 13．4312；8165 14．① 15．1764；4905
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）令.①
将等式两边同时乘2，得.②
②-①，得.
（2）.
令.①
将等式两边同时乘3，得.②
②-①，得，所以.
17．答案：（1）见解析
（2），或，
解析：（1）①，
，
，
又，，
，
②，
，，
；
（2）存在，当时，
，，
，此时；
当时，
，，
，，
综上：，或，.
18．答案：（1）2
（2）不存在整数k，使得，理由见解析
解析：（1）根据题意得：，
即，
；
故答案为：2
（2）不存在整数k，使得，理由如下：
由（1）得：，
即，
，
不存在整数k，使得.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）得：，
，，
，
；
（3），为正方形，边长分别为x，y.，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
.
20．答案： (1)8989, 1010
(2)-90
解析: (1) 最大的 “双增数”, 应使各数位上的数字尽可 能大. 又 百位数字大于千位数字, 个位数字大于十位 数字, 最大的“双增数” 是 8989 .
反之, 最小的 “双减数”应使各数位上的数字尽可能小.
又 百位数字小于千位数字, 个位数字小于十位数字,
最小的“双减数” 是 1010 .
(2)由题意得,.
设t 的百位数字是e,十位数字是f, 则 ,
.
“双减数” (且 ,,a,b是整数),
或 1,,4,6 或8,,
若 k最大,则.
t的各个数位上的数字之和能被 12 整除,
是 12 的倍数,
,或,.
,
k随f 的增大而减小,
当 时, k 取最大值, 最大值为
21．答案：（1）
（2）
（3）这个三角形为等边三角形.理由见解析
解析：（1）
；
（2）
；
（3）这个三角形为等边三角形.
理由：，
，
，
，
.
，
，
，
这个三角形是等边三角形.
22．答案：（1），，，证明见解析；
（2），，证明见解析；
（3），证明见解析.
解析：
（1），，，理由如下：
连接，如图①，
六边形是等角六边形，
，
，
，
，
，
故，
同理，；
（2），，理由如下：
连接、，如图②，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，；
（3），理由如下：
如图③，延长、相交于点P，延长、相交于点Q，延长、相交于点S，
六边形是等角六边形，
，
，
是等边三角形.
，，
同理：，，，，
，
是等边三角形，
，
，
.
