第一节 尺规作图
基础巩固
1. (2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( )
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
第1题图
2. 如图，直线AB分别交直线a与直线b于点A，B，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线AB与直线a于点M，N，以点B为圆心，AM长为半径画弧，分别交直线AB与直线b于点P，Q，再以点P为圆心，MN长为半径画弧，交于点C，作直线B C.若∠1＝110°，AB⊥BQ，则∠2的度数为( )
第2题图
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3. (2024武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠MAN；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，CD，B D.若∠A＝44°，则∠CBD的大小是( )
第3题图
A. 64° B. 66° C. 68° D. 70°
4. (2024天津)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
第4题图
5. (2024眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( )
第5题图
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
6. (2024贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接A D.若AB＝5，则AD的长为 .
第6题图
7. (2022抚顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是 .
第7题图
8. 如图，在△ABC中，D为边AC的中点，以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，再以点C为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点G，再以点G为圆心，EF长为半径作弧，与前弧交于点H，连接CH并延长至点M，连接MD并延长交AB于点N.若BN＝3，CM＝11，则AB的长为 .
第8题图
9. (2024中山模拟)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：
(1)在BC上取点M，使四边形ABME为平行四边形；
(2)在CD的延长线上取一点F，使四边形BDFA为平行四边形.
第9题图
10. (2024佛山模拟)如图，在△ABC中，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图：在射线BD上作点F，使得CF∥AE(不写作法，只保留作图痕迹)；
(2)在(1)的基础上，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形.
第10题图
能力提升
11. (2024珠海香洲区三模)如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知☉O的半径OA为4，且O，A，B均在同一水平线的格点上，AB＝2，连接O B.
(1)尺规作图，在OB上方作☉O的切线BD交该圆于点D；(请保留作图痕迹，不要求写出步骤)
(2)求BD的长.
第11题图
1. B
2. A 【解析】由尺规作图可知，∠PBC＝∠MAN，∴AN∥BC，∴∠1＝∠ABC＝110°.∵AB⊥BQ，∴∠ABQ＝90°，∴∠2＝∠ABC－∠ABQ＝20°.
3. C 【解析】由作图步骤可知，AB＝AD＝BC＝CD，则四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD，∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝180°－∠A＝136°，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝68°.
4. B 【解析】∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，由作图知，AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°.又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠ADC＝40°＋25°＝65°.
5. C 【解析】由作图知，EF垂直平分AB，∴AD＝BD，∴△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC.∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴△BCD的周长＝6＋4＝10.
6. 5
7. 18° 【解析】由作图可得，CF⊥AB于点F，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＝90°－∠B＝36°.又∵AB＝AC，∠B＝54°，∴∠ACB＝∠B＝54°，∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝54°－36°＝18°.
8. 14 【解析】由作图可知，∠A＝∠Acm，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，在△ADN和△CDM中，∴△ADN≌△CDM(ASA)，∴AN＝cm＝11.又∵BN＝3，∴AB＝AN＋BN＝11＋3＝14.
9. 解：(1)如解图，点M即为所求；
(2)如解图，点F即为所求.
第9题解图
10. (1)解：如解图，CF即为所求.
第10题解图
(2)证明：由作图知，AE∥CF，
∴∠DAE＝∠DCF.
∵点D为AC的中点，
∴DA＝DC，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
11. 解：(1)如解图，BD即为所求.
第11题解图
(2)如解图，连接OD.
∵BD为☉O的切线，
∴∠ODB＝90°.
又∵OA＝4，AB＝2，
∴OB＝4＋2＝6，OD＝OA＝4.
∴BD＝＝＝2.
