第一节 圆的基本性质
基础巩固
1. (人教九上习题改编)如图，☉O是△ABC的外接圆，连接OA，O B.若∠AOB＝40°，则∠C的度数是( )
A. 70° B. 40° C. 35° D. 20°
第1题图
2. (2024珠海香洲区三模)如图，☉O是△ABC的外接圆，BC是☉O的直径，点D在☉O上，若∠ACB＝56°，则∠ADC的度数为( )
第2题图
A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°
3. (2024广元)如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于( )
第3题图
A. 64° B. 60° C. 54° D. 52°
4. (北师九下习题改编)已知点A，B，且AB＜6，经过A，B两点且半径为3的圆可画( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
5. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，O均在格点上，若☉O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值是( )
A. B. C. D. 2
第5题图
6. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点B在半圆上.点A，C的读数分别为40°，110°，则∠ABC的度数为( )
第6题图
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2024泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( )
第7题图
A. 65° B. 55°
C. 50° D. 75°
8. 新考法[真实问题情境](2023陕西)陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，是☉O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，O B.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则☉O的半径OA为( )
A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm
第8题图
9. 如图，△ABC内接于☉O，AB＝AC，CD是☉O的直径，若∠BCD＝20°，则∠ABC的度数为( )
第9题图
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
10. (2024北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径)，若∠D＝35°，则∠C＝ °.
第10题图
11. (2024连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ °.
第11题图
12. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠C＝3∠A，连接BD，若☉O的半径为4，则BD的长为 .
第12题图
能力提升
13. 如图，AB是☉O的弦，连接OA，AC是∠OAB内部的射线交☉O于点C，连接BC，则∠B与∠OAC的差的度数是 .
第13题图
14. (2024安徽)如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长.
第14题图
1. D 【解析】∵∠AOB＝40°，∴∠C＝∠AOB＝×40°＝20°.
2. B 【解析】∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝90°.∵∠ACB＝56°，∴∠ABC＝90°－∠ACB＝90°－56°＝34°，∴∠ADC＝∠ABC＝34°.
3. A 【解析】∵∠ABC是圆周角，与圆心角∠AOC所对的弧相同，且∠AOC＝128°，∴∠ABC＝∠AOC＝×128°＝64°.又∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.又∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∴∠CDE＝∠ABC＝64°.
4. C 【解析】作线段AB的垂直平分线，以点A为圆心，3为半径作弧，与AB的垂直平分线交于两点，以这两点为圆心，可以画出经过A，B两点且半径为3的圆，∴经过A，B两点且半径为3的圆有2个.
5. B 【解析】如解图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝.
第5题解图
6. C 【解析】如解图，连接AO，CO，∵∠AOC和∠ABC所对的弧为，点A，C的读数分别为40°，110°，∴∠AOC＝110°－40°＝70°，∴∠ABC＝∠AOC＝35°.
第6题解图
7. A 【解析】∵∠AOD＝50°，∴∠ABD＝∠AOD＝25°.∵BA平分∠CBD，∴∠CBA＝∠ABD＝25°.∵AB是☉O的直径，∴∠C＝90°，∴∠A＝90°－25°＝65°.
8. A 【解析】∵D是的中点，OD是☉O的半径，∴OD垂直平分AB，∴AC＝AB＝12，设OA＝r，则OC＝r－8，在Rt△AOC中，由勾股定理得r2＝122＋(r－8)2，解得r＝13，即半径OA的长为13 cm.
9. C 【解析】如解图，连接BD，∵CD是☉O的直径，∴∠DBC＝90°.∵∠BCD＝20°，∴∠BDC＝70°.∵四边形ABDC是☉O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BDC＝110°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠A)＝×(180°－110°)＝35°.
第9题解图
10. 55 【解析】∵AB平分弦CD，∴AB⊥CD.∵∠D＝35°，∴∠B＝90°－35°＝55°，∴∠C＝∠B＝55°.
11. 90 【解析】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°.∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝×180°＝90°.
12. 4 【解析】如解图，连接OB，OD，∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°.∵∠C＝3∠A，∴4∠A＝180°，解得∠A＝45°，∴∠BOD＝2∠A＝90°.∵OB＝OD＝4，∴BD＝＝4.
第12题解图
13. 90° 【解析】如解图，连接OB，∵OA＝OB，∠OAB＝∠OAC＋∠BAC，∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＋∠BAC.∵∠O＝2∠C，∠O＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴2∠C＋2(∠OAC＋∠BAC)＝180°，∴∠C＋∠OAC＋∠BAC＝90°，即∠C＋∠BAC＝90°－∠OAC.又∵∠ABC＋∠C＋∠BAC＝180°，∴180°－∠ABC＝90°－∠OAC，∴∠ABC－∠OAC＝90°.
第13题解图
14. (1)证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF.
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE.
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°.
∴∠CDE＝180°－∠CEB－∠DCE＝180°－90°＝90°，即CD⊥AB.
(2)解：由(1)知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC.
∵OM＝OE＝1，AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝MO＋OE＝2，
∴AE＝4.
∴OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BC＝BE＝OB－OE＝2.
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝4，即AC的长为4.
