第一节 平行四边形与多边形
基础巩固
1. (人教八上习题改编)如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数为( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
第1题图
2. (2024贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
第2题图
A. AB＝BC B. AD＝BC C. OA＝OB D. AC⊥BD
3. (2024遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
4. (2024河南)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F，若AB＝4，则EF的长为( )
A. B. 1 C. D. 2
第4题图
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点O，A的坐标分别是(0，0)，(－1，1)，若AD∥x轴，AD＝5，则点B的坐标是( )
第5题图
A. (－ 4，－1) B. (－1，－4) C. (－2，－1) D. (－4，－2)
6. (2024辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
第6题图
7. (2024佛山南海区一模)如图，在平行四边形ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为 .
第7题图
8. 新考法[结论开放] 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，要使四边形AECF是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 .
第8题图
9. (北师八下复习题改编)如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC所在直线折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为 .
第9题图
10. (2024东莞模拟)如图，在四边形ABCD中，∠CAD＝90°，∠AEC＝∠D，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，sin B＝，求AD的长.
第10题图
能力提升
11. (2024河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α＋β＝( )
A. 115° B. 120° C. 135° D. 144°
第11题图
12. (2024浙江)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2.过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
第12题图
A. x＋y B. x－y C. xy D. x2＋y2
1. B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＝×160°＝80°，∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－80°＝100°.
2. B 【解析】平行四边形的对边AD与BC一定相等，故B选项正确；而邻边不一定相等，故A选项错误；平行四边形的对角线长度不一定相等，故C选项错误；平行四边形的对角线不一定垂直，故D选项错误.
3. C 【解析】设这个正多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝1 080°，∴n＝8，∴这个正多边形的每个外角为360°÷8＝45°.
4. B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝2OC.∵E为OC的中点，∴OC＝2CE，∴AC＝4CE.∵EF∥AB，∴＝，∴AB＝4EF，∴EF＝1.
5. A 【解析】∵AD∥x轴，AD＝5，点A的坐标是(－1，1)，∴点D的坐标是(4，1).∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴点B，D关于原点O对称，∴点B的坐标是(－4，－1).
6. C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AC＝3，BD＝5，∴OD＝，OC＝.∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∴四边形OCED的周长为2(OD＋OC)＝8.
7. 10 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠OFD＝∠OEB.∵O为BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴CD－DF＝AB－BE，∴CF＝AE＝10.
8. E，F分别为AD，BC的中点(答案不唯一) 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E，F分别为AD，BC的中点，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形.
9. 12 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∠D＝∠B＝60°，由折叠的性质可得，AD＝AE，DC＝CE＝2，∴DE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为4×3＝12.
10. (1)证明：∵AE∥DC，
∴∠EAC＝∠DCA，
在△EAC和△DCA中，
∴△EAC≌△DCA(AAS)，
∴AE＝CD.
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD∥EC，
∴∠ACE＝∠CAD＝90°.
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°.
∵sin B＝＝，BE＝5，
∴EF＝3.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由(1)得四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3.
11. B 【解析】∵正六边形的每个内角度数为＝120°.∴∠A＝∠F＝120°，∵四边形AMNF的内角和为360°，∴∠AMN＋∠MNF＋∠F＋∠A＝360°.∵∠AMN＝α，∠MNF＝β，∴α＋β＝360°－∠A－∠F＝120°.
12. C 【解析】如解图，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCG.∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DGC，∴△ABE≌△DCG，∴CG＝BE＝x，AE＝DG，∴BG＝x＋y，在Rt△ACE中，由勾股定理得AE2＝AC2－CE2＝22－(y－x)2，在Rt△BDG中，由勾股定理得DG2＝BD2－BG2＝(2)2－(x＋y)2，∴4－(y－x)2＝12－(y＋x)2，解得xy＝2，∴xy是定值.
第12题解图
