第三节 等腰三角形与直角三角形
基础巩固
1. (2024云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A. B. 2 C. 3 D.
2. (2024兰州)如图，在 △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则 ∠ADB＝( )
A. 100° B. 115° C. 130° D. 145°
第2题图
3. (人教八上例题改编)已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. (2024陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有( )
第4题图
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. (北师九上复习题改编)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，且点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，则点C的坐标为( )
第5题图
A. (1，2) B. (2，2) C. (2，1) D. (1，)
6. (2024珠海模拟)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OAB C.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为( )
A. B. C. D.
图① 图②
第6题图
7. (2024南充)如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE＝mAB，则m的值为( )
第7题图
A. B. C. －1 D. －2
8. 在如图所示的8×11网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的顶点均在格点上，点D为BC的中点，则线段AD的长为( )
A. B. 7 C. D. 3
第8题图
9. (2024德阳)如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中点，则DF＝( )
第9题图
A. B. C. 2 D. 1
10. (2022桂林)如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是( )
第10题图
A. B. 1＋ C. 2 D. 2＋
11. (2024湖南省卷)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
12. (2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为 cm.
第12题图
13. (2024梅州大埔县一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连接DE.已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长.
第13题图
能力提升
14. (2024安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( )
A. － B. － C. 2－2 D. 2－
第14题图
15. (2024陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 .
第15题图
1. C 【解析】∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴点F到直线AB，AC的距离相等.∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3.
2. B 【解析】∵∠BAC＝130°，AB＝AC，∴∠C＝(180°－130°)×＝50°×＝25°.∵DA⊥AC，∴∠ADB＝90°＋25°＝115°.
3. B 【解析】若等腰三角形的腰长是2，则等腰三角形的底边长是8－2×2＝4.∵2＋2＝4，不满足三角形三边关系，∴等腰三角形的腰长不能是2；若等腰三角形的底边长是2，则等腰三角形的腰长是×(8－2)＝3.∵3＋2＞3，满足三角形三边关系，∴等腰三角形的腰长是3，综上所述，等腰三角形的腰长是3.
4. C 【解析】∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形.∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD，△ADE，△ADC是直角三角形，∴共有4个直角三角形.
5. A 【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，由坐标可得AB＝3－(－1)＝4，∴AE＝2，CE＝AE·tan 60°＝2，∴点C的坐标为(1，2).
第5题解图
6. A 【解析】在Rt△AOB中，AB＝1，∠AOB＝30°，∴OB＝2，在Rt△BOC中，OC＝＝＝.
7. A 【解析】设AB的长度为1.∵BC＝AB，∴CD＝BC＝.∵BC⊥AB，∴AC＝＝，∴AE＝AD＝－＝，∴m＝＝.
8. C 【解析】根据勾股定理得AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝.∵AB2＋AC2＝BC2＝90，∴△ABC是直角三角形，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝×＝.
9. A 【解析】∵∠CAD＝90°，∴△CAD为直角三角形.∴CD＝＝＝5.∵BD＝DE＝EC，∴点E为Rt△CAD的斜边CD的中点，∴AE＝CD＝.∵点F是AB边的中点，∴BF＝AF，∵BD＝DE，∴DF是△ABE的中位线，∴DF＝AE＝.
10. D 【解析】如解图，过点A作AD⊥AC于点A，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴S△ABC＝·BC·AE＝×(2＋2)×＝2＋.
第10题解图
11. 100 【解析】∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，∴这个等腰三角形的顶角的度数为180°－2×40°＝100°.
12. 2 【解析】如解图，由题意可知BC＝3－1＝2(cm)，∠A＝60°，BC∥DE，∴∠ACB＝∠α＝60°.又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2 cm.
第12题解图
13. 解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC.
∵BC＝10，
∴BD＝5.
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2.
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝13.
∵点E为AB的中点，
∴在Rt△ADB中，DE＝AB＝.
14. B 【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E.∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝2，CE＝BE＝AE＝AC＝.∵CD＝AB＝2，∠CED＝90°，∴在Rt△CED中，DE＝＝＝，∴BD＝DE－BE＝－.
第14题解图
15. 60 【解析】∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠CBF＝∠ABC，∴BC平分∠ABF.如解图，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥BF于点H，∴CG＝CH.∵BF＝AE，∴S△AEC＝S△BFC，∴＝S△ABC.过点A作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC，∴BM＝BC＝5，∴AM＝＝12，∴S△ABC＝BC·AM＝×10×12＝60，即＝60.
第15题解图
