【题型归纳】相似三角形的应用重难点题型专训
【经典例题一 相似三角形的应用之测高问题】
1．雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离．如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离．
2．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度．
【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m；
【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示）
【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度．
3．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度．
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度．
【经典例题二 相似三角形的应用之影长问题】
5． 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），，已知点O到距离为，桌面的高度EF为，铅笔，在桌面上沿着方向平移铅笔，试求影子的长度．
6．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为．
(1)点D到地面的距离为 米
(2)求电线杆的高（结果保留根号）
(3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）．
7．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
(1)求明德楼的高；
(2)求塑像的影长．
【经典例题三 相似三角形的应用之河宽问题】9．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？
10．如图，为了估算河的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线与河垂直，接着在过点C且与垂直的直线a上选择适当的点D，确定与过点B且垂直的直线b的交点E．已测得，，，请根据这些数据，估算河宽．
11．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆，已知河岸高出水面0.6m，即．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若，，均垂直于河面，则河宽是多少米？
12．（2024·浙江金华·二模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D．
(1)用皮尺测得，，，求河宽．
(2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度．
【经典例题四 相似三角形的应用之树高问题】
13．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）．
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下示意图的测量方案：把镜子放在离树米的点E处，然后沿着直线后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得米，观察者目高米，请你计算树的高度．
15．如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高m，m ，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点m，
m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高．
16．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．
【经典例题五 相似三角形的应用之物理问题】
17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离．
18．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系 为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像 能不能求出具体放大（或缩小）了几倍 ……于是乎他作了多次研究推理．
(1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式．
19．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离．
②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离；
③计算树的高度；
解：设．
∵，
∴．
…．
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
20．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：
他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．
根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．
【经典例题六 相似三角形的应用之表格问题】
21．8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
(1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度．
(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
22．某“综合与实践”小组开展测量某塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下：
课题 测量塔的高度
成员 组长：×××；组员：×××，×××，×××
测量工具 盒尺，平面镜
测量示意图 说明：观测者站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端点，眼睛记作点，平面镜所在处记为点，塔底部的中心点记作点，点、、在同一水平直线上，且，均垂直于水平地面．
测量数据 观测者的脚到平面镜的距离 平面镜与塔的水平距离 眼睛到地面的距离
测高 利用光的反射原理
方法
请根据以上测量结果及该小组的思路，求塔的高度．
23．某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案：
活动目的 测量操场上旗杆的高度
活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射
示意图
实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度．
测量数据 ，， ，，
请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度．
24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动 标杆、卷尺
工具
测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛）180标杆高度400小明到标杆距离400旗杆到标杆距离1200
解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【经典例题七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题】
25．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度．
(1)求证：．
(2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度．
26．以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．
(1)如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上．
①若，，，请求出矩形生态农业观光园PN边的长；
②设，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由．
(2)如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知．经数学探究小组测量得，，，．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、F在BC边上且面积最大的矩形生态农业观光园PEFN，试求该矩形PEFN的面积．
27．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
28．（23-24九年级上·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【经典例题八 相似三角形的应用之杠杆问题】
29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱的高度为米．
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当______时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．
30．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．
(1)求立柱OC的高度；
(2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．
31．（23-24九年级下·全国·课后作业）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目（如图），跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
32．（23-24九年级上·浙江温州·期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？
【经典例题九 相似三角形的应用之生活实际问题】
33．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，
但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案．
甲同学的设计方案
图例
方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长．
已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？
34．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
35．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力．
（2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少 （、、在一条直线上，、、在一条直线上）
36．（23-24九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【经典例题十 相似三角形的应用之古代问题】
37．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
38．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），，，问竹竿长为几丈几尺？
39．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
40．（23-24八年级下·全国·单元测试）大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明
的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．
【经典例题十一 相似三角形的应用之最值问题】
41．如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
42．如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米.
（1）求证：；
（2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而
，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值.
43． 如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t<49时，求S与t的函数关系式．
44．（23-24八年级下·浙江·期末）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条．
（1）分别求出3张长方形纸条的长度；
（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积最大不能超过多少（用含a的代数式表示）．
【经典例题十二 相似三角形的应用综合】
45．（23-24九年级·全国·专题练习）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：．
拓展应用：
(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排 0 1 2 3 …
隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ …
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
46．（23-24·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
47．（23-24·辽宁鞍山·一模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
48．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC、CD、AE上．
（1）若BE=9，小正方形EFGH的边长固定不变，当小正方形 EFGH沿EA平移到使得点G落在AD上时停止运动，求平移的距离．
（2）若BE=x，是否存在x的值使得小正方形EFGH的顶点F恰好是CD 的中点？
1．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
2．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少
了（ ）
A． B． C． D．
3．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A． B． C． D．
4．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”，如图所示．图是其工作示意图，已知，拉杆，．若米，则两梯杆跨度，之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ．
7．如图，在小孔成像问题中，小孔到物体的距离是，小孔到像的距离是，若物体的长为，则像的长是 ．
8．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ．
9．普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把
一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m．
10．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，．若“矩”的边，边，，，的延长线交于H，、均与垂直，则树高为 m．
11．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(2)在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(3)在图中画出，点在上，连结，使．
12．项目化学习
项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度．
项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习．
问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？
研究步骤：
（1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米；
（2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度．
13．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
14．综合与实践
神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同
学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度；
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
15．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．【题型归纳】相似三角形的应用重难点题型专训
【经典例题一 相似三角形的应用之测高问题】
1．雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离．如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离．
【答案】探照灯离地面的距离为米
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．设米，米，则米，证明，，利用相似三角形的性质得到线段的比例关系，构建方程组求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，，
设米，米，则米．
，
，
，
①，
，，
，
，
②，
由①②解得：，
经检验，是方程组的解．
探照灯离地面的距离为米．
2．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度．
【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m；
【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示）
【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度．
【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解；
【详解】解：【问题初探】由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当小明从D点沿方向行走4m到达H点，，
同理可得：，
∴，即，
解得：；
故答案为：，；
【联系模型】由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
设步，步，
∵步，步，步，丈尺步，
∴，
则，
解得：，
∴山峰的高度为步；
【拓展应用】设，
由题意得：，
∴，
∵，
∴可得，
同理可得：可得，
则，
解得：，
∴路灯的高为m
3．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度．
【答案】则城楼的高度为米．
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造直角三角形，过点A作于点M，交于点
N，可得出，继而利用相似三角形的判定与性质解答．
【详解】解：过点A作于点M，交于点N，
由题意得，，，，
则；
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴（米）；
答：城楼的高度为米．
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度．
【答案】大雁塔的高度为64米
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，可证，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：由题意知，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：大雁塔的高度为64米．
【经典例题二 相似三角形的应用之影长问题】
5． 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），，已知点O到距离为，桌面的高度EF为，铅笔，在桌面上沿着方向平移铅笔，试求影子的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，运用相似三角形的判定与性质证明当 ,，再运用相似三角形的性质可得出结论．
【详解】解：设平移到，在地面上形成的影子为．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴
∴，
∴．
6．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为．
(1)点D到地面的距离为 米
(2)求电线杆的高（结果保留根号）
(3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时
它落在坡面上的影长 （结果保留根号）．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答；
（2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度；
（3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N，
∵，
∴．
故答案为：2．
（2）解：由勾股定理得，
∵得高的标杆在地面的影长为，
∴，
∴的影长，
∴电线杆的高为．
（3）解：由题意得∶，，
∴，
∴，即，解得：，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
7．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
【答案】24尺
【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
由，得，知，故，即第二时刻的影长为24尺．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意得：，，
∴；
故第二时刻的影长为24尺．
8．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
(1)求明德楼的高；
(2)求塑像的影长．
【答案】(1)12米
(2)4米
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，
(1)根据，米，得到米，根据，得，列比例式，计算即可．
(2)根据，得，列比例式，计算即可．
【详解】（1）∵，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，塑像高米，
∴，
解得(米)
答：明德楼的高为12米．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：塑像的影长为4米．
【经典例题三 相似三角形的应用之河宽问题】
9．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接
写出需要测量的线段有哪些？
【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键：
（1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故河流的宽度为；
（2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）；
（3）如图：根据题意可得，
则，
∴，
∴要求出的长，需要知道的长，
∴需要测量的线段为．
10．如图，为了估算河的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使
点A、B、C共线且直线与河垂直，接着在过点C且与垂直的直线a上选择适当的点D，确定与过点B且垂直的直线b的交点E．已测得，，，请根据这些数据，估算河宽．
【答案】
【分析】证明，然后根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
【详解】解∶由题意得，，
∴，
∴，
即．
∵，，，
∴，
∴，
解得．
答∶河宽大约为．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
11．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆，已知河岸高出水面0.6m，即．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若，，均垂直于河面，则河宽是多少米？
【答案】10.4米
【分析】根据题意可得：，米，，从而可得，然后可证，从而利用相似三角形的性质可求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
，米，，
，
∴，
，
，
解得：米，
，
∴，
，
，
解得：米，
（米），
河宽是10.4米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2024·浙江金华·二模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D．
(1)用皮尺测得，，，求河宽．
(2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度．
【答案】(1)河宽为95m
(2)，示意图见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用——测量河宽和旗杆高．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．
（1）证明，得到，得到，即得．
（2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C、D、A三点共线，测出，．根据，，得到，得到，得到，即得旗杆高．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：河宽为95m．
（2）（方法不唯一）如图．
①将标杆竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上，
②测出，．
③计算旗杆的高度：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴旗杆的高．
【经典例题四 相似三角形的应用之树高问题】
13．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）．
【答案】米
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，
∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
∴这棵树的高度为米．
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下示意图的测量方案：把镜子放在离树米的点E处，然后沿着直线后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得米，观察者目高米，请你计算树的高度．
【答案】米
【分析】根据图形得到，，即．由光的反射原理可知，这样可以得到，然后利用对应边成比例就可以求出．
【详解】解：由题意知：，，
，
，
，
米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
15．如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高m，m ，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点m，m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高．
【答案】米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形求得线段的长度即可求得树高，解题的关键是根据实际问题整理出相似三角形的模型．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
解得：，
∴小树的高为米．
16．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，
，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．
【答案】樱花树的高约为．
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造相似三角形求出与的等式关系是解题关键．
如图，过点D作于点P，先根据相似三角形的判定定理得出，从而可得，再根据相似三角形的判定定理得出，最后根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】如图，过点D作于点P
由题意可得，
∵，，
∴
∴
∴
∴
，
∴
∴，即
∴
∴樱花树的高约为．
【经典例题五 相似三角形的应用之物理问题】
17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过O作于点C，CO交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过O作于点C，CD交于点，
∴，cm，
∴，
即，
∴，
即小孔O到的距离为．
18．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系 为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像 能不能求出具体放大（或缩小）了几倍 ……于是乎他作了多次研究推理．
(1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式．
【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2倍
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是：
（1）①根据图像直接回答；②根据图像得到，，可得，，得到，，等量代换可得，整理得：，继而得到，可得结果；
（2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得
，则，代入数据得到，变形整理可得结果．
【详解】（1）解：①当时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像；
②由图可知：，，
∴，，
∴，，
即，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即物体成像时放大了2倍；
（2）由光路图可得：，，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
19．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离．
②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离；
③计算树的高度；
解：设．
∵，
∴．
…．
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
【答案】见解析，树的高度为
【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可．
【详解】解：设．
∵，
∴，
，
∵，
∴，
解得．
把代入 中，得
解得，
∴树的高度为．
20．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：
他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．
根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．
【答案】米
【分析】根据题意可得，可证得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
答：旗杆的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【经典例题六 相似三角形的应用之表格问题】
21．8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对
中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
(1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度．
(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
【答案】(1)飞虹塔的高度是42米
(2)飞虹塔的大致高度为
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，然后可根据相似三角形的性质进行求解；
（2）设，则有，，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
答：飞虹塔的高度是42米；
（2）解：设，则有，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴；
答：飞虹塔的大致高度为．
22．某“综合与实践”小组开展测量某塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下：
课题 测量塔的高度
成员 组长：×××；组员：×××，×××，×××
测量工具 盒尺，平面镜
测量示意图 说明：观测者站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端点，眼睛记作点，平面镜所在处记为点，塔底部的中心点记作点，点、、在同一水平直线上，且，均垂直于水平地面．
测量 观测者的脚到平 平面镜与塔的 眼睛到地面的距离
数据 面镜的距离 水平距离
测高方法 利用光的反射原理
请根据以上测量结果及该小组的思路，求塔的高度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
由光的反射定理证明，得到，即可求出．
【详解】解：由光的反射定理得，．
，
，
，
，即，
，
故塔的高度为．
23．某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案：
活动目的 测量操场上旗杆的高度
活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射
示意图
实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离；
③在同一时刻，测量旗杆的影长． ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度．
测量数据 ，， ，，
请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度．
【答案】操场上旗杆的高度约为
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
方案一：由题意知，，即，计算求解即可；方案二：证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：方案一：
由题意知，，即，
解得，，
∴的高度为；
方案二：
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的高度为．
24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动 标杆、卷尺
工具
测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛）180标杆高度400小明到标杆距离400旗杆到标杆距离1200
解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】旗杆的高度为
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，作于，交于，证明四边形、、是矩形，，再利用相似三角形的性质可得答案；
【详解】解：如图，作于，交于，
由题意得：，，，
，四边形、、是矩形，
，，，
∴，，
∵，
，
，
，
，
．
∴旗杆的高度为；
【经典例题七 相似三角形的应用之三角形内接矩形问题】
25．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度．
(1)求证：．
(2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用：
（1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
同理可证明，
∴ ，即，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形深坑的深度为．
26．以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活
动．
(1)如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上．
①若，，，请求出矩形生态农业观光园PN边的长；
②设，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由．
(2)如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知．经数学探究小组测量得，，，．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、F在BC边上且面积最大的矩形生态农业观光园PEFN，试求该矩形PEFN的面积．
【答案】(1)①；②矩形观光园的面积存在最大值，最大值为．
(2)该矩形的面积为．
【分析】（1）①由，可知，利用相似三角形的性质即可求解；
②由，可知，利用相似三角形的性质得，即，进而可得则，利用二次函数的性质即可求解；
（2）延长、交于点O，过点O作于点H，由，可知，则，可得，，由②可知矩形的边时，矩形的最大面积，进而可知点为线段的中点，点为线段的中点，再判断的中点在线段上，的中点在线段上，由②知，矩形的最大面积为：，即可求解．
【详解】（1）解：①在矩形观光园中，，
∴，
，
，，，
，
②矩形观光园的面积存在最大值，理由如下：
设，则点到道路的距离为，
，
，
，即，
，
则，
当时，最大值为；
（2）延长、交于点O，过点O作于点H，
，
，
，
，，
，
，
，
由②可知矩形的边时，矩形的最大面积，
∵，，
∴，
∴，
∴，则点为线段的中点，同理点为线段的中点，
在中，，
，
，
，
的中点在线段上，
，
，
的中点在线段上，
的中位线的两端点在线段、上，
由②知，矩形的最大面积为：，
答：该矩形的面积为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键．
27．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20
【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；
（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10 x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．
【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴(8﹣y)：8＝y：10，
解得：y＝；
（2）设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
28．（23-24九年级上·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【经典例题八 相似三角形的应用之杠杆问题】
29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱的高度为米．
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当______时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．
【答案】(1)狮子能将公鸡送到吊环上，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，根据题意正确画出图形成为解题的关键．
（1）当狮子将跷跷板P端按到底时可得到，而为的中位线，（米），，据此即可解答；
（2）由于，所以，再根据相似三角形的性质求出的值即可．
【详解】（1）解：狮子能将公鸡送到吊环上，理由如下：
如图：当狮子将跷跷板P端按到底时可得到，
∵支点A为跷跷板的中点，，
∴为的中位线，
∵（米），
∴，
∴狮子能将公鸡送到吊环上．
（2）解：如图：支点A移到跷跷板处，狮子刚好能将公鸡送到吊环上，
∵，
∴，
∴，即
∴当时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．
故答案为：．
30．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．
(1)求立柱OC的高度；
(2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．
【答案】(1)米
(2)设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即
【分析】（1）标注点，根据题意证明出，得到，再根据分别为的中点，即可得到；
（2）利用三角形相似来设计，同样线先证明，得，根据，找到之间的关系即可．
【详解】（1）解：标注点如下图：
根据题意在和，
，
，
，
分别为的中点，
，
，
（米）；
（2）解：设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即，过程如下：
根据题意作如下图形，
根据题意在和，
，
，
，
，
，
（米）；
小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点的距离变为,即即可．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质来构建相似三角形．
31．（23-24九年级下·全国·课后作业）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目（如图），跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
【答案】（1）狮子能将公鸡送到吊环上，理由见解析；（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上
【分析】（1）如图，过点Q作QH⊥PC于点H，则由题意可得：AB∥QH，从而可得PB：BH=PA：AQ=1，说明AB是△PQH的中位线，则QH=2AB=2.4>2，故狮子能将公鸡送上吊环；
（2）由已知条件易得：△ PAB∽△ PQH，由此可得，说明当点A移到使AP=PQ处时，狮子刚好可将公鸡送到吊环上．
【详解】解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上，理由如下：
如图，过点Q作QH⊥PC于点H，
∵AB⊥PC于点B，
∴AB∥QH，
∴PB：BH=PA：AQ=1，
∴AB是△PQH的中位线，
∴QH=2AB=2.4>2，
∴狮子能将公鸡送到吊环上；
（2）由题意可知：QH=3.6，由（1）可知，AB∥QH，
∴△ PAB∽△ PQH，
∴，
∴PA=PQ，即当点A在PQ上移动到使PA=PQ时，狮子刚好将公鸡送到吊环上．
【点睛】本题主要考查的是应用相似三角形的性质来解决实际问题，解题的关键是过点Q作QH⊥PC于点H，从而构造出相似三角形△PQH和△PAB，这样利用相似三角形的性质就可使问题得到解决．
32．（23-24九年级上·浙江温州·期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？
【答案】此时BF为米
【分析】通过证明，可得，可求解．
【详解】解：如图，由题意可得：AC＝，BC＝15，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴＝5，
∴（米）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【经典例题九 相似三角形的应用之生活实际问题】
33．（2024·陕西商洛·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案．
甲同学的设计方案
图例
方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长．
已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可．
【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
∴镜长至少为
34．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长
一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【答案】(1)旗杆的高度约为10米
(2)不可以．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用：
（1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可；
（2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度．
【详解】（1）解：由题意，可知．
∴．
又∵，
∴．
∴，即．
∴（米）．
答：旗杆MN的高度约为10米．
（2）解：不可以．
理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可）
35．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力．
（2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少 （、、在一条直线上，、、在一条直线上）
【答案】问题1：证明见解析；问题2：
【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得；
问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解．
【详解】问题1：由题可得
∴
∴
∴
∴
∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同
问题2：由（1）可得
∵
∴
∴
答：②号“”的高度应为
36．（23-24九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平
行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】(1)古树的高度为13.5米
(2)小丽向前移动了7米
【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用：
（1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高；
（2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：古树的高度DE为13.5米；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7米．
【经典例题十 相似三角形的应用之古代问题】
37．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【答案】(1)旗杆的高度约为10米
(2)不可以．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用：
（1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可；
（2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度．
【详解】（1）解：由题意，可知．
∴．
又∵，
∴．
∴，即．
∴（米）．
答：旗杆MN的高度约为10米．
（2）解：不可以．
理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可）
38．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），，，问竹竿长为几丈几尺？
【答案】四丈五尺
【分析】根据题意，利用相似性质，在同一时刻同一平面内，太阳光下均相等，列式求解即可得到答案．
【详解】解：1丈＝10尺，1尺＝10寸，
一丈五尺15尺，一尺五寸尺，尺，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，解得（尺），
答：竹竿长为四丈五尺．
【点睛】本题考查利用相似测高，读懂题意，熟练掌握在同一时刻同一平面内，太阳光下均相等，利用相似三角形的性质是解决问题的关键．
39．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【答案】步
【分析】本题只需要证出，利用相似三角形的性质可以得到：，然后可以求出CK的值，得出答案．
【详解】解：由题意可知：，AH＝15
∵H为GD的中点，K为DE的中点
DH＝100，DK＝100
∵AH∥DK
∴∠CDK＝∠A
而∠CKD＝∠AHD
∴
∴
即，
∴
答：出南门步恰好看到位于A处的树木．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知
识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度．
40．（23-24八年级下·全国·单元测试）大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出，且小华刚好在距离自己的一小滩水（记为M）中看到了塔顶E（点B，D，M，F在同一条直线上）．小华身高，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离．请根据提供的相关信息，求大雁塔的高（结果精确到）．
【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，，，，设，则，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
则，，，，
设，则，
由题意得：，，
由反射角等于入射角得：，
，
，
，，
，
解得，
，
∵，
，
，即，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：大雁塔的高约为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【经典例题十一 相似三角形的应用之最值问题】
41．如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，最小值是
【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；
（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，，
∴，
∵矩形和矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴
（2）∵，
∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：
此时，，
①∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∴， 即，
∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，
由旋转可得：，
∴，
∴，
∴,
过P作于S，则 ，，
∴，则 ，
∴，
∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，， ，，
过点L作垂直的延长线于点Q，
，
∴，，
则，
在中，根据勾股定理得，
∴的最小值为.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.
42．如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米.
（1）求证：；
（2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值.
【答案】（1）详见解析；（2）当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米；（3）a=10，b=15或a=15，b=10.
【分析】（1）易证△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）根据（2）中求得的长与宽的数值，利用根与系数的关系即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．
【详解】（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，
∴，
∴，即，
∴，；
（2）解：设矩形PQMN的面积为S，则
，，
∴当时，有最大值2400，
此时，故当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米；
（3）解：由根与系数的关系，得，解得，
∵，10，12，13，众数为10，
∴或，
当时，有，解得 ，
当时，同理可得.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查二次函数最值的求法，以及众数，平均数的定义，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
43． 如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点
C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t<49时，求S与t的函数关系式．
【答案】（1）见解析；（2）20（3）
【详解】试题分析：（1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；
（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；
（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；
二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；
三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；
所以本题要分三种情况讨论：
①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；
②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式．
试题解析：证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴=；
（2）解：由（1）得=，∴AH=x ∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣x
∴=EF EQ=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣5）2+20
∵﹣＜0，
∴当x=5时，有最大值，最大值为20；
（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S= =20﹣t2=
考点：三角形相似，矩形的面积，二次函数
44．（23-24八年级下·浙江·期末）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条．
（1）分别求出3张长方形纸条的长度；
（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积最大不能超
过多少（用含a的代数式表示）．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）利用相似三角形的性质求出每个纸条的长；
（2）将（1）中相关数据相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长，从而计算面积即可．
【详解】解：（1）如图1，是等腰直角三角形，，是斜边上的高，
，是斜边上的中线，
，
∵将斜边上的高CD四等分，
于是纸条的宽度为：，
，
．
同理，，，
张长方形纸条的长度分别为：，，；
（2）由（1）知，3张长方形纸条的总长度为．
如图2，图画的正方形的边长为：，
面积为
答：正方形美术作品的面积最大不能超过．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，寻找隐含条件．
【经典例题十二 相似三角形的应用综合】
45．（23-24九年级·全国·专题练习）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：．
拓展应用：
(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排 0 1 2 3 …
隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ …
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
【答案】(1)正方形的边长为
(2)①，，80；yn+160；②最多可以摆放38瓶葡萄酒
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解；
（2）①由等腰三角形的性质可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解．
②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解．
【详解】（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，
由阅读理解的结论可得：，
设正方形的边长为x，
∴，
∴x，
∴正方形的边长为；
（2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝80cm，
∴AD60（cm），
分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，
由阅读理解的结论可得：
解得：y1，y2，y3＝80，
故答案为：，，80；
∴，
∴yn+160；
②当n＝1时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数10≈13（个），
当n＝2时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数10≈10（个），
当n＝3时，隔板长80cm，
∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个），
当n＝4时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数10≈5（个），
当n＝5时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数10≈2（个），
当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个，
∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒，
∴13+10+8+5+2＝38（瓶），
综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键．
46．（23-24·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
【答案】（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝．
【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数；
（3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长．
【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB
∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，
∴△BDP是等边三角形，
∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴=1
如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案为：1，60；
（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.
∴＝，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.
(3)延长CA，BD相交于点K，如图.
∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵点E，F为AB，AC的中点，
∴PFBC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.
∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，
∴∠K＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝AP，
∴AP＝.
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.
∴x＝1.
∴BD＝．
【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．
47．（23-24·辽宁鞍山·一模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
48．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC、CD、AE上．
（1）若BE=9，小正方形EFGH的边长固定不变，当小正方形 EFGH沿EA平移到使得点G落在AD上时停止运动，求平移的距离．
（2）若BE=x，是否存在x的值使得小正方形EFGH的顶点F恰好是CD 的中点？
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）先根据勾股定理可以求出AE的长度，证明△ABE∽△ECF，可以求出EF的长度，设正方形平EFGH移后得正方形，由△ABE∽△可以求出的长度，故用AE减去EF再减去即可求出平移的距离；
（2）根据△ABE∽△ECF，可以得到，代如数据求解，发现无解，故不存在x，即可解决．
【详解】解：(1) AE=
∵∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90°
∴∠AEB=∠EFC
∵∠B=∠C=90°
∴△ABE∽△ECF
∴ 即
∴EF=
正方形平EFGH移后得正方形，如图所示：
∵AD//BC
∴∠=∠AEB
∵∠B=∠
∴△ABE∽△
∴ , 即
∴
∴
∴平移距离为
(2)不存在，理由：
由（1）得△ABE∽△ECF，, 即
化简得，△=＜0，
∴不存在．
【点睛】本题主要考查了相似，熟悉图像运动后成的图形以及熟练的由相似列出比例式求解出线段长度是解决本题的关键．
21．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键．
先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解．
【详解】解：如图
，，，
，
，
即，
．
斜边上的高分成5等份，
．
，
，，
，
，
即，
，
即从上往下数，第一个矩形的长为，
同理可得从上往下数，第二个矩形的长为，
从上往下数，第三个矩形的长为，
从上往下数，第四个矩形的长为，
而所有矩形的宽都为，
所以4张纸条的面积和为．
故选：B．
22．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时
），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：D．
23．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
，
．
，
，
，
．
，
故选：D
24．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，，
，
，
，
，
．
故选：．
25．人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”，如图所示．图是其工作示意图，已知，拉杆，．若米，则两梯杆跨度，之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴（米），
故选：C．
46．如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴逸夫楼的高度约为，
故答案为：．
47．如图，在小孔成像问题中，小孔到物体的距离是，小孔到像的距离是，若物体的长为，则像的长是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，如图，作于E，的延长线交于
F，由，推出，由此即可解决问题，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解决此题的关键．
【详解】如图，作于E，的延长线交于F，
∵，
∴，，
∴，（相似三角形的对应高的比等于相似比），
由题意得，，，
∴，
∴，
故答案为：6．
48．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案．
【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
49．普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m．
【答案】36
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，，
由题意可知，，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：36．
50．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，．若“矩”的边，边，，，的延长线交于H，、均与垂直，则树高为 m．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，根据相似三角形的判定与性质得出比例式，求出的长即可求解．
【详解】解：由题意知，四边形是矩形，，
，，
∴，
，
，
，
，
故答案为：6．
71．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(2)在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(3)在图中画出，点在上，连结，使．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)画图见解析．
【分析】（）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解；
（）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解；
（）取格点，，连接交于点，连接，即可求解；
本题考查了格点图中画相似三角形，熟练掌握知识相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：如图，
∴即为所求；
（3）解：如图，,
则，又因为
所以.
∴即为所求．
72．项目化学习
项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度．
项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文
旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习．
问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？
研究步骤：
（1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米；
（2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度．
【答案】44米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明，得到对应边成比例，列方程解决即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴， ，
∴，解得，
∵，
∴，解得，
∴“无边寺白塔”的大致高度为44米．
73．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：汽车盲区的长度为．
74．综合与实践
神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度；
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【答案】(1)条幅的长度为；
(2)经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键．
（1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，
，
，即，
解得，
条幅的长度为；
（2）解：设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，
当时，，即，
解得；
当时，，即，
解得，
∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
75．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．
【答案】二，三；灯柱的高度为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可．
【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
，
，
，
，
设，
则，
同理可得，
，
，
解得：，
，
答：灯柱的高度为．
