河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（二）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列给出的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，2 cm，4cm
C．2cm，3cm，4cm D．3cm，3cm，9cm
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若正边形的每个内角为120°，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，和的边、交于点、，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，关于轴对称，则的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．3
7．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D．或
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．对于分式，当 时，分式有意义．
12．分解因式：4x2y﹣4xy+y＝ ．
13．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ．
14．如图，在中，，是的高，，，，，两点分别是线段，上动点，则的最小值是 ．
第14题图 第15题图
15．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：①；②当时，的周长为；③；④，共中正确的有 （填序号）．
三、解答题
16．（1）计算：；（2）解方程：.
17．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，连接，平分，求的度数．
18．下面是小明同学进行化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：第______步开始出现错误；
任务二：请写出本题的正确化简过程，并从不等式组的解集中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
19．如图，在中，，请根据要求完成以下任务：
(1)利用直尺与圆规，在的下方作；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)利用直尺与圆规，作的垂直平分线，垂足为，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(3)若，求的长．
20．我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时．
21．如图，在等腰中，，，平分，折叠使得点与点重合，折痕交、、于点、、，连接交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
22．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
(1)从边长为的正方形纸片中减去一个边长为的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是______．
(2)先剪出一个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片，再剪出两张边长分别为和的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形，这一过程你能发现的代数公式是______．
(3)先剪出三个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片，再剪出四张边长分别为和的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，非写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
23．已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系．
(1)观察猜想：
如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系；
(2)类比探究：
如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接）
(3)解决问题：
当点在边的延长线上，若，，请直接线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D D A D C B A
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．C
【分析】利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐个判断即可．
【详解】解：，不能组成三角形，故选项A不合题意；
，不能组成三角形，故选项B不合题意；
，能组成三角形，故选项C符合题意；
，不能组成三角形，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟练运用法则进行准确计算．根据幂的运算和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，正确，符合题意；
B． ，原选项错误，不符合题意；
C． ，原选项错误，不符合题意；
D． ，不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
4．D
【分析】由于是正多边形，所以每个外角也相等，根据内角度数先算出外角度数，然后再根据外角和计算出边数即可．
【详解】解：正边形n的每个内角都是，
每一个外角都是，
多边形外角和为，
正多边形的边数为，
故选D．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角、外角与边数之间关系的问题，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
5．D
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
当添加，则，
又∵，，
∴，故选项A不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴，故选项B不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴，故选项C不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴由不能证明和全等，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
6．A
【分析】根据关于y轴对称点的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点，关于轴对称，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出x，y的值是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
8．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质．由作图方法可知垂直平分，平分，则由角平分线的定义可得，即可判断A；利用三角形内角和定理得到，即可判断B；利用三角形内角和定理得到，即可判断C；利用三角形内角和定理和对顶角线段得到，即可判断D．
【详解】解：由作图方法可知垂直平分，平分，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∵，，
∴，故B结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．A
【分析】先证明，，由时间相同，速度相等，证明，可得，利用全等三角形的性质得出，根据，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，它们的速度都是，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在、运动的过程中，不变，，
∵，
∴不可能是直角，
∴只能是是直角，
当是直角，即，
∵，
∴，
∴，
∴当运动时间为5秒时，是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明．
11．
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】由分式的分母不能为0得：，
解得，
即当时，分式有意义，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
12．y（2x﹣1）2
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝y（4x2﹣4x+1）＝y（2x﹣1）2．
故答案为：y（2x﹣1）2．
【点睛】此题考查因式分解的方法：提公因式法和公式法．
13．
【分析】本题主要考查了整式的乘除以及整式的加减，直接利用整式的乘法运算计算出，进而利用整式的加减得出答案．
【详解】解：，B是多项式，小明把看成，计算结果是，
，
故．
故答案为：．
14．
【分析】连接，可证是的垂直平分线，从而可得，再根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵，是的高，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
根据垂线段最短可得出：的最小值为，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了垂直平分线及垂线段最短等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
15．①②④
【分析】根据轴对称的性质可得，由此可得，再根据等腰三角形的性质可得，当时，则，根据等边三角形的判定与性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长，根据三角形三边关系可得，最后根据四边形的内角和可得，进而可得，再根据等边对等角可得，由此可得．
【详解】解：∵点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，
∴分别垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，则，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵分别垂直平分，，点M、N分别在上，
∴，
∴的周长，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③错误；
如图，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中， ，
∵，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行化简即可；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
检验：把代入，
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查整式的乘法和解分式方程，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式．
17．(1)，将详解
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定、角平分线、三角形内角和定理等知识，证明是解题关键．
（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义以及结合（1），可知，然后结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．任务一：二；任务二：；或3或1
【分析】一、根据分式化简的步骤进行分析即可；
二、对分式进行化简，再按要求取合适的值代入运算即可；
【详解】任务一：第二步开始出现错误，原因是去括号时，括号前面是“-”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；
任务二：解：原式
解不等式组
得
∵为整数且
∴，1或3
取，原式
或取，原式
或取，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）以B点为圆心，以任意长为半径作弧，分别和、相交，再以与的交点为原点，以与、相交的两个交点的距离为半径作弧，与第一次的弧相交于一点，连接B与交点即可，即为所求；
（2）分别以点和为圆心，以大于线段二分之一长度为半圆画弧，得到线段上下侧的两个交点，连接这两个交点即可，直线即为所求；
（3）利用等腰三角形和垂直平分线的性质找到等量关系，证明，从而得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求的；
（2）解：如图，线段的垂直平分线，即为所求；
（3）解：，
的垂直平分线过点，
垂直平分线段，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题查了尺规作图的基本方法和利用等腰三角形和垂直平分线的性质找到等量关系证明三角形全等的知识，正规作图及解决本题的关键．
20．小李现在每天需要工作8小时
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，根据在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，
根据题意得：
解得．
经检验，是原方程的解．
答：小李现在每天需要工作8小时．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由折叠知，，，垂直平分，根据已知条件可证明，即可得；
（2）连接，可证，从而可求得的长．
【详解】（1）由折叠知，，，垂直平分．
∴
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
在和中．
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵垂直平分．
∴，∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)可以；见解析；
【分析】（1）用a、b分别表示图1和图2的面积，可得等式；
（2）拼图前的面积为，拼图后的面积为，可得等式；
（3）拼图前的面积为，因此可以拼成长，宽为的长方形．
【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为，
∴根据图1和图2的面积相等可得到：，
故答案为：；（写也对）
（2）拼图前的面积为，拼图后的面积为，
因此可得，
故答案为：（写也对）
（3）拼图如图所示：
等式：（写）也对）
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是解题的关键．
23．(1);
(2)当点在边上，上述关系不成立，他们之间的关系是，证明见解析
(3)1
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到条件证明，则，得到，即可得到结论；
（2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，则，即可得到；
（3）当点在边的延长线上，延长至点P，使得，先证明，则，即可得到，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）如图，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴,
∴当点在边上，上述关系不成立，此时；
（3）如图所示，当点在边的延长线上，延长至点P，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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