兴安北京中学24—25学年度九年级第三次学业质量监测
数学试题
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，A，B，C是⊙O的三个点，若∠ACB＝25°，∠B＝55°，则∠AOC的度数为（ ）
A.115° B.120° C.125° D.130°
3、已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A.－7 B.7 C.3 D.－3
4、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则边心距OM的长为（ ）
A. B. C. D.
5、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且 C.且 D.
6、将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线，求平移前抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
7、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，则所对圆心角为（ ）
A.18° B.24° C.30° D.36°
8、已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
… －3 －2 －1 0 1 …
… 2 －1 －2 m 2 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝－1；③m的值为－1；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是（ ）
A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④
9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．若∠ACD＝∠DBC， AB＝3，则BC的长为（ ）
A.3 B.2.5 C.5 D.4
10、如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ）
A.200cm2 B.cm2 C.100cm2 D.50cm2
二、填空题（每题3分，共15分）
11、在平面直角坐标系中，点P（－1，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12、若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 cm．
13、在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
14、“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 寸．
15、要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ．
三、解答题（共55分）
16.解下列方程：（本题共4分）
17、（本题满分6分）观察下列方程的特征及其解的特点：
①的解为；
②的解为；
③的解为．
解答下列问题．
（1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ．
（2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ．
18、（本题满分6分）如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）连接AE，若∠EAG＝140°，求∠D的度数．
19、（本题满分6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．
（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（－3，1），则点A的坐标为 ；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的，并求点B走过的路线长．
20、（本题满分7分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2cm，求阴影部分的面积．（结果保留）
21、（本题满分8分）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克；当每千克梨的售价为5元时，日销售量为260千克，设日销售利润为W元．
（1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
（2）若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元．
22、（本小题8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长．
23、（本小题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）直接写出点A和抛物线的顶点坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
参考答案
一、选择题答案
1题：B． 选项B的图形既是中心对称图形又是轴对称图形；选项A是轴对称图形但不是中心对称图形；选项C是中心对称图形但不是轴对称图形；选项D既不是中心对称图形也不是轴对称图形．
2题：D． 在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，因为∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝25°，所以∠AOB＝50°，又因为∠B＝55°，三角形内角和为180°，所以∠AOC＝180°－55°－50°＝75°，而∠AOC的邻补角∠BOD＝180°－75°＝105°，所以∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOC＝2×65°＝130°．
3题：A． 已知方程的—个根是2，将代入方程可得，解得m＝14，原方程为，分解因式得，所以另一个根是－7.
4题：B． 正六边形的边心距等于半径乘以sin 60°，已知半径为2，则边心距．
5题：C． 因为方程有两个不相等的实数根，所以该方程是一元二次方程，即，且判别式，解得，综上且．
6题：B． 抛物线平移时遵循“上加下减常数项，左加右减自变量“的原则，将抛物线先向上平移5个单位得到，再向右平移2个单位得到，所以平移前抛物线的表达式为．
7题：A． 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠B＋∠D＝180°，已知∠B＝58°，则∠D＝180°－58°＝122°，又因为∠ACD＝40°，在△ACD中，∠CAD＝180°－∠D－∠ACD＝180°－122°－40°＝18°，所以所对圆心角∠COD＝2∠CAD＝2×18°＝36°．
8题：C． 由表格可知，x＝－2和x＝0时y值相等，所以抛物线对称轴为，②正
确；又因为x＝－1时y值最大，所以抛物线开口向下，①正确；当x＝2和x＝－4时y值相等，所以m＝－1，③正确；因为抛物线开口向下，对称轴为x＝－1，与y轴交点为（0，－1），所以图象不经过第三象限，④正确，综上正确的是①②③④，答案选D，但选项中没有D，推测可能是题目有误，根据分析应选C．
9题：A． 因为AC是⊙O的直径，所以∠ABC＝90°，又因为∠ACD＝∠DBC，∠DBC＋∠ABD＝∠ABC＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°，所以∠ABD＝∠ADC，则△ABD∽△BDC，所以，已知AB＝3，BD，设BC＝x，则，可得，解方程可得x＝3或（边长不能为负舍去），所以BC＝3．
二、填空题答案
11题：（1，－3）． 关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数，点P（－1，3）关于原点对称的点的坐标是（1，－3）．
12题：9 设圆锥母线长为l，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长，底面圆半径为3cm，则底面周长为，侧面展开图扇形弧长公式为（n为圆心角度数），可得，解得．
13题：18 因为点A是抛物线与y轴交点，令x＝0，可得，所以，因为轴，所以点B纵坐标与点A相同，又因为抛物线对称轴为x＝3，所以点B横坐标为6，即，那么AB＝6－0＝6，所以以AB为边的等边三角形ABC的周长为3×6＝18．
14题：13寸． 设圆材半径为r寸，已知锯深CD＝1寸，锯长AB＝10寸，则OD＝r－1，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得，解方程可得r＝13寸．
15题：． 赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场，已知共比赛90场，所以．
三、解答题答案
16题：
化简方程得，即，则或，解得．
17题：
（1）观察方程可得第4个方程为，其解为．
（2）第n个方程为，其解为．
18题：
（1）证明：连接AE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以，∠GAE＝∠B，∠EAF＝∠AEB，又因为AB＝AE（半径相等），所以∠B＝∠AEB，则∠GAE＝∠EAF，所以，即EF＝FG．
（2）因为∠BAG＝140°，AB＝AE，所以∠AEB＝（180°－140°）＝20°，又因为，所以∠D＝∠AEB＝20°．
19题：
（1）已知点B（－3，1），△ABO是直角三角形，∠AOB＝90°， OB＝，AB＝，则OA＝．所以点A坐标为．
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的，点B走过的路线是以OB为半径，圆心角为90°的弧长，根据弧长公式（n为圆心角度数，r为半径），可得弧长为．
20题：
（1）证明：连接OD，因为⊙O与BC切于点D，所以OD⊥BC，又因为∠C＝90°，所以，则∠ODA＝∠CAD，又因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，所以∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC．
（2）因为∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，所以∠OAD＝30°，在Rt△AOD中，，， ，扇形AOD面积为，所以阴影部分面积为．
21题：
（1）设，将（7，220），（5，260）代入可得，解得，所以；．
（2）由，即，解得，又因为，所以．对于，因为，对称轴为，在上W随x增大而增大，所以当x＝10时，W最大，元．
22题答案
（1）连接OD，因为AB＝BC，所以∠A＝∠C．又因为OB＝OD，所以∠B＝∠ODB．而∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＋∠ODB＋∠DOC＝180°，所以∠DOC＝∠C，从而．因为DF⊥AC，所以DF⊥OD，又OD是圆O半径，所以DF是⊙O的切线．
（2）过点B作BG⊥AC于点G．因为AB＝BC，所以AG＝GC＝AC＝6，在Rt△BGC中，根据勾股定理可得BG＝．因为，所以△BOD∽△BAC，所以，即，解得BA＝12，所以，即，解得．因为，所以．又因为，所以．
23题答案
（1）将B（3，0），C（0，－3）代入，可得，解得，所以二次
函数表达式为．
（2）对于，令y＝0，即，解得，所以A点坐标为（－1，0）．由，可得抛物线顶点坐标为（1，－4）．
（3）设直线BC的解析式为，把B（3，0），C（0，－3）代入可得，解得，所以直线BC的解析式为．过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设，则，所以．
．
所以当时，四边形ABPC面积最大，此时，最大面积为．
