2024年秋季学期学科素养调研 (12月份)
九年级 数学试卷
(调研时间: 120分钟 满分: 120分)
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.
2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3. 不能使用计算器. 考试结束时，收回答题卡.
第 Ⅰ 卷 (选择题)
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. )
1.下列函数属于二次函数的是
A. y=3x-1
2.如图是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的是
3.⊙O的半径为2，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点 P 在圆外 D. 无法确定
4.时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，经过10min，分针转的角度是
A.10° B.20° C.30° D.60°
5. 已知x=2是关于x的方程 的一个根，则m的值为
A. - 6 B. - 3 C. 3 D. 6
6. 已知点A (3, y ) , B (4. r )是抛物线y= (x-2) +3上的的两点，则y ，y 的大小关系是
A. y
7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得方程为
A. x+(1+x) =36 B. 2(1+x)=36 D. 1+x+x(1+x) =36
8. 如图，在5×5的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点(旋转中心) 逆时针旋转角α后得到线段A'B'，点A'与A对应，则旋转中心是
A. 点B B. 点G C. 点E D. 点F
9，用半径为60，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
10. 筒车是古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶. 如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米
11.如图，将抛物线C ：y=x 向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线 则下列关于抛物线C 的解析式中，正确的是
12. 定义: [a, b, c]为二次函数 的特征数，下面给出特征数为
[m, 1-m, 2-m]的二次函数的一些结论: ①当m=1时, 函数图象的对称轴是y轴:
②当m=2时, 函数图象过原点: ③当m>0时, 函数有最小值: ④如果m<0, 当 时，y随x的增大而减小. 其中所有正确结论的序号是
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
第 Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题2分，共12分. )
13. 在平面直角坐标系中，与点 (-1，2) 关于原点中心对称的点的坐标是 ▲ .
14. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时B'点恰在边AC上, 若AB=2, AC=5, 则B'C的长为 ▲ .
15.已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
16. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 则铅球推出的距离OA= ▲ m.
17. 如图, 正五边形ABCDE的边AB, AE与⊙O分别相切于点M, N、 点P在MN上, 连接PM, PN,则∠MPN的度数为 ▲ °.
18, 如图, 在 ABCD中, E为BC边中点. 以C为圆心, CD为半径画弧, 恰好经过点A. 以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F. 若BC=4，则阴影部分的面积为 ▲ (结果保留π)
三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19. (本题满分6分)解方程
20. (本题满分6分)如图, 直线AB经过⊙O上的点C, 并且OA=OB, CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
21. (本题满分10分) 已知二次函数
(1) 求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标.
(2) 在所给的平面直角坐标系中，画出这个三次函数的图象：
22.(本题满分10分) 如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米） ，围成一个矩形花园ABCD. 与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙) .用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求AB的长.
23. (本题满分10分) 如图, 在△ABC中, AB=AC. 若点E是BC边上任意一点, 将 绕点A逆时针旋转得至△ADB, 点E的对应点为点D, 连接DE.
(1) 求证: ∠ABC=∠ABD;
(2) 若BD∥AC, 求∠AED的度数.
24.(本题满分10分) 学校要举办运动会，九(1) 班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切. 小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点 (如图1) .请你按要求完成：
(1) 尺规作图：在图1中找出圆心点O (要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法) ：
(2) 若纸片三边长分别是: BC=8, AC=6, AB=10,⊙O 与边AB, BC, CA分别相切于点D, E, F (如2) .求小聪截得的圆形道具的面积.
25. (本题满分10分) 素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件、如图(1) 是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形. 在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米.
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米. 四边形DEFG为矩形，OD=BE. 现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图(2) 所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线.
(1) 求此抛物线的解析式.
(2) 这艘货船能否安全过桥
(3) 受天气影响，水位上升0.5米，若货船 露出水面的高度不变，此时该货船能否安全 过桥
26. (本题满分10分)
(1) 【学习心得】
小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.
如图1. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC=AD, 求∠BDC的度数, 若以点A为圆心, AB为半径作辅助圆⊙A, 则点C、D必在⊙A上, ∠BAC是⊙A的圆心角, 而∠BDC是圆周角, 从而可容易得到∠BDC= ▲ °.
(2) 【问题解决】
如图2, 在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD=90°, ∠BAC=26°, 求∠BDC的度数. 小宸同学认为用添加辅助圆的方法可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD 的外接圆就是以BD的中点为圆心， 长为半径的圆：△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心. BD长为半径的圆. 这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BDC的度数，请运用小底的思路解决这个问题.
(3) 【问题拓展】
①如图3, △ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H, 求证: ∠EFC=∠DFC.
②如图4, 在△ABC中, ∠BAC=45°, AD是BC边上的高, 且 直接写出AD的长.
