3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（同步检测）
一、选择题
1.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
5.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为( )
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
6.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)关于直线y＝－x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2
C. D.2
8.(多选)已知一组直线x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有( )
A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
9.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
二、填空题
10.以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______________
11.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为___________
12.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
13.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.
三、解答题
14.求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
15.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等．
16.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A 解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8.
2.C 解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
3.B 解析：∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x.
4.C 解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
5.C 解析：设点P(x0，y0)，则有－x＝1，所以y－4x＝4.易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以|PA|·|PB|＝·＝＝.
6.B 解析：设双曲线的左焦点关于bx＋ay＝0的对称点为Q(x，y)，由题意可得解得x＝，y＝，即Q，而点Q在双曲线上，则－＝1，整理可得(c2－2a2)2－4a4－a2c2＝0，即c4＝5a2c2，所以c2＝5a2，即离心率e＝＝，故选B．
7.D 解析：∵e＝＝＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
8.ABD 解析：x2－4y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A项符合题意；4y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B项符合题意；x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，故C项不符合题意；－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故D项符合题意，故选ABD．
9.AD 解析：由双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
二、填空题
10.答案：－＝1
解析：以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1．
11.答案：y＝±x
解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
12.答案：－1，2
解析：椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况．
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图．
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由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为，所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1.双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以双曲线N的离心率为2.
13.答案：32
解析：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，
所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，
所以|PQ|＝12.双曲线图象如图．
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|PF|－|AP|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，所以周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
三、解答题
14.解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
15.解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
16.解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用（同步检测）
一、选择题
1.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A.(－2,2) B.[－2,2)
C.(－2,2] D.[－2,2]
2.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )
A. B.
C. D.7
4.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
6.双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝的距离为( )
A. B.
C. D.
7.直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
8.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是( )
A.C的焦距为4 B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
9.(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列结论正确的是 ( )
A.＝2 B.e1e2＝
C.e12＋e22＝ D.e22－e12＝1
二、填空题
10.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________
11.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________
12.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________
13.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家．他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为____________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________
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三、解答题
14.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
15.已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A 解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2
3.B 解析：双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)，代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝.
4.D 解析：设F1(－c,0)，A(－c，y0)，则－＝1，∴＝－1＝＝＝，
∴y＝，∴|AB|＝2|y0|＝.又＝2，∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2，∴＝，
∴＝＝.∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5.C 解析：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，将x＝c代入双曲线－＝1，
得y＝±，不妨取C，B，又A1(－a,0)，A2(a,0)，故＝＝－，＝＝.因为A1B⊥A2C，故－×＝－1，即＝1，即＝1，
所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x.
6.C 解析：由题意，双曲线－＝1，可得a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2，c＝＝，可得双曲线的离心率为e＝＝，设右焦点为F2，因为双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，即|PF2|＝3，可得点P到直线x＝的距离为d＝＝.
7.C 解析：点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条．
8.AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确．
9.BD 解析：因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e12＋e22＝2，e22－e12＝1.故选BD.
二、填空题
10.答案：4
解析：由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故|AB|＝4.
11.答案：2
解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，
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∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
12.答案：
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B．所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
13.答案：－x2＝1，3π
解析：∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2，
∵双曲线的方程为－＝1过点(，2)，即－＝1，a2＝3，b2＝1，
∴双曲线方程为－x2＝1，则渐近线方程为y＝±x，取直线x＝m(0≤m≤1)，
代入－x2＝1，得y＝，代入y＝x，得y＝m，∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π.又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
三、解答题
14.解：双曲线方程可化为x2－＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝＝·＝6.
15.解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点．
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
代入双曲线C的方程，得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.
当k2＝2，即k＝或－时，方程有一个解．
当k2≠2时，Δ＝48－32k，
令Δ＝0，可得k＝；令Δ>0，可得k<且k≠±；令Δ<0，可得k>.
综上所述，当直线l的斜率k∈或直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C有一个公共点；
当直线l的斜率k∈∪∪时，直线l与双曲线C有两个公共点；
当直线l的斜率k∈时，直线l与双曲线C没有公共点．
