2024-2025 学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { 1,0}， = {0,1}，则 ∩ =( )
A. {0} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,0,1}
3
2.已知 < 1，则√ ( 1)2 + √ 3 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 1 D. 1 2
3.已知函数 ( + 1) = 2，则 ( 1) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4.命题：“ ≥ 0， 2 ≥ 0”的否定是( )
A. < 0， 2 < 0 B. ≥ 0， 2 < 0
C. < 0， 2 < 0 D. ≥ 0， 2 < 0
5.已知 ， ∈ ，则“ = 0”是“ 2 + 2 = 0”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
6.已知 < < 0，则( )
A. 2 < 2 B. 2 < C. 3 < 3 D. 1 < 1
2
7.已知 = log94， = log1510， = ，则( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.定义： { , }表示 ， 中的较小者.若函数 = {1 | 2|, ( 1)2 1}在区间[ , ]上的取值范围
为[ 1,0]，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为 ， ， ， 的单选题，他们的对话如下：
甲：我选的 ；
乙：我选的 ；
丙：我选的 ；
丁：我选的不是 ．
已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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10.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ，下列结论正确的是( )
注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值
A. 若 ( )， ( )均为增函数，则 = ( ) + ( )也为增函数
B. 若 ( )， ( )均为减函数，则 = ( ) ( )也为减函数
C. 若 ( )， ( )均存在零点，则 = ( ) ( )也存在零点
D. 若 ( )， ( )均存在零点，则 = ( ) + ( )也存在零点
+2 + 2
11.设 ， 为正数，且 = ( > 0且 ≠ 1)，则( ) 3 4
2 81
A. + 的最小值是2 B. 的最大值是
2 16
9 81
C. + 2 的最大值是 D. 2 + 4 2的最大值是
2 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
√ 1
12.函数 = 的定义域为______. (用区间形式表示)
13.已知2 = 3， = log25，则log158 = ______. (用 ， 表示)
14.已知 > 0，关于 的不等式 2 + 6 0的解集中有且仅有3个整数 1， ， + 1，则 = ______，
的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 7 + 10 < 0}， = { | 1 < < + 1}．
(1)当 = 3时，求 ∪ ( )；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
1
已知 ∈ ，命题 ： > 1，2 + ，命题 ： 0， 2 2 + 1 = 0．
1
(1)若 为真命题，求 的最小值；
(2)若 和 恰好一真一假，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知 ， 为东西方向的海岸线上相距12 的两地( 在 的东侧)， 是 ， 之间距 地3 处的一地，在 地
正南方向3 处有一海岛 ，由海岛 开往海岸的小船以10 / 的速度按直线方向航行．
(1)某人在海岛 上乘小船在距 地正东方向4 处的 地登岸，登岸后以5 / 的速度向东步行到 地，求
此人从海岛 到达 地的时间；
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(2)一快递员以 / 的速度从 地向 地骑行，同时某人乘小船从海岛 向海岸出发，两人恰好相遇于 ，
之间的 地，且距 地 (0 < < 9)，求快递员的速度 的最大值．
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = √ ， ( ) = 2．
(1)是否存在 ∈ ，使得 ( ( )) = 0？请说明理由；
1 1
(2)设函数 ( ) = ( ) ( ) 2，判断并证明 ( )在区间( , +∞)上的单调性；
4
1
( ), < < 1, 1
(3)设函数 ( ) = { 4 证明： 1， 2 ∈ ( , 2)，且 1 ≠ 2，| ( 1) ( 2)| < | 1 2|.注：
( ) + 2,1 < 2. 4
1
函数 = + 在[1, +∞)上单调递增．
19.(本小题17分)
我们知道，任何一个正实数 都可以表示成 = × 10 (1 < 10, ∈ ).当 0时，记 的整数部分的位
数为 ( × 10 )，例如 (1.02 × 10) = 2；当 < 0时，记 的非有效数字的个数为 ( × 10 )，例如 (1.02 ×
10 2) = 2．
(1)求 (1.02 × 102)， (1.02 × 10 1)，并写出 ( × 10 )的表达式(不必写出过程)；
(2)若 = 2100，且取 2 = 0.301，求 ， 以及 ( × 10 )；
(3)已知 ∈ ，猜想： (2 )与 (2 )的大小关系，并证明你的结论．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[1, +∞)
3
13.【答案】
+
14.【答案】3 { |2√ 7 ≤ < 2√ 10}
15.【答案】解：(1)由题意， = { |2 < < 5}，当 = 3时， = { |2 < < 4}，
则 = { | ≤ 2或 ≥ 4}， ∪ ( ) = ；
(2) ∩ = ，则 ，
1 ≥ 2
显然 ≠ ，则{ ，解得3 ≤ ≤ 4，实数 的取值范围是{ |3 ≤ ≤ 4}．
+ 1 ≤ 5
1
16.【答案】解：已知 ∈ ，命题 ： > 1，2 + ，命题 ： 0， 2 2 + 1 = 0，
1
1
(1) 为真命题，即2 ≤ + 对任意 > 1恒成立，
1
1
所以1 ≤ 1 + 对任意 > 1恒成立，
1
1 1 1
因为 1 + ≥ 2√ ( 1) = 2，当且仅当 1 = ，即 = 2时等号成立，
1 1 1
所以1 ≤ 2，解得 ≥ 1，即 的最小值为 1．
(2)若 为真命题，即当 ≥ 0时， 2 2 + 1 = 0有解，
因为 = 2 2 + 1开口向上，对称轴为 = 1，
所以只需 = 4 4( 1) ≥ 0，即 ≤ 2，
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< 1
所以当 假 真时，则{ ，解得 < 1；
≤ 2
≥ 1
当 真 假时，则{ ，解得 > 2，
> 2
综上， 的取值范围( ∞, 1) ∪ (2, +∞)．
17.【答案】解：(1)如图所示，可得 = = 3 ， = 4 ， = 9 4 = 5 ， ⊥ ，
根据勾股定理，可得 = √ 2 + 2 = √ 32 + 42 = 5 ，
5 5
因此，此人从海岛 到达 地的时间为 = + = + = 1.5 ．
10 5 10 5
(2)如图所示，可得 = = 3 ， = ， ⊥ ，
根据勾股定理，可得 = √ 2 + 2 = √ 9 + 2( )，
√ 2
由题意得 = ，即 +3 +9
10 =
，
10
2
+3 √ ( +3) 6 6 6可得 = = = √ 1 + = 1 + ≤ 1 + = √ 2( / )10 √ 2 √ 9+9 2+9 2+9 + √ √ 9
，
2
9
由 ≤ √ 2，解得 ≤ 10√ 2 / ，当且仅当 = (0 < < 9)时，即当 = 3时，取等号． 10
综上所述，当 = 3时，快递员的速度 的最大值为10√ 2 / ．
1
18.【答案】(1)解：函数 ( ) = √ ， ( ) = 2，
1 1 1
由 ( ( )) = 0，得√ 2 = 0，即 2 = 0，得 = ，
2
1
∴存在 ∈ ，使得 ( ( )) = 0， = ；
2
1
(2)解：函数 ( ) = ( ) ( ) 2 = √ 的定义域为(0, +∞)，
1
( )在区间( , +∞)上单调递减，证明如下：
4
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1
1, 2 ∈ ( , +∞), 1 < 2， 4
则 ( 1) ( 2) = √ 1 1 (√ 2 2) = √ 1 √ 2 ( 1 2)
= √ 1 √ 2 (√ 1 + √ 2)(√ 1 √ 2) = (√ 1 √ 2)(1 √ 1 √ 2)，
1 1
由 1, 2 ∈ ( , +∞), 1 < 2，得 < √ 1 < √ 2， 4 2
则√ 1 √ 2 < 0,1 √ 1 √ 2 < 0，即(√ 1 √ 2)(1 √ 1 √ 2) > 0，
∴ ( 1) > ( 2)，
1
则 ( )在区间( , +∞)上的单调递减；
4
1 1
( ), < < 1 √ , < < 1
(3)证明： ( ) = { 4 = { 4 ，
1
( ),1 ≤ < 2 , 1 ≤ < 2
1 | |
1， 2 ∈ ( , 1)， 1 ≠ 2，| ( 1) ( 2)| = |√ 1 √ 2| =
1 2 ，
4 √ 1+√ 2
1 1 1
由 1， 2 ∈ ( , 1) 1 ≠ 2，得√ 1 > , √ 2 > ，则√ 1 + √ 2 > 1， 4 2 2
| 1 于是| ( ) ( )| = 2
|
1 2 < | + 1 2|； √ 1 √ 2
1 1 | |
1， 2 ∈ [1,2)， 1 ≠ 2，| ( ) ( )| = | | =
1 2
1 2 ， 1 2 1 2
| |
由 1， 2 ∈ [1,2)， 1 ≠
1 2
2，得 1 2 > 1，于是| ( 1) ( 2)| = < | 1 |； 1 22
1 1 1 1
1 ∈ ( , 1), 2 ∈ [1,2)，得√ 1 ∈ ( , 1), ∈ ( , 1], 4 2 2 2
1 1
√ 1 + 1 1
2, √ 1 ≥
则| ( 1) ( 2)| | 1 2| = |√ | + = {
2 2
1 1 2 ， 2 1 1 √ 1 + 1 2, √ 1 <2 2
1 1 1
当√ 1 ≥ 时，√ 1 + = + ( + )， 2 1 2
√ 1 1 22 2
1 1
此时√ 1 + 1 < 2， + 2 ≥ 2，有√ 1 + 1 2 < 0，得| ( 1) ( 2)| < | 1 2|； 2 2
1 1 1 1 1
当√
2
1 < 时，有 √ 1 + 1 2 = (√ 1 ) + ( 2 4 2)， 2 2 2
1 1 1
由 1 ∈ ( , 1)，可得( )
2 < 0，
4 √ 1 2 4
1 1 1
而函数 = 2在[1,2)上单调递减，则 2 ≤ 1 = 0， 2 2 1
1
则
√ 1 + 1 2 < 0，有| ( 1) ( 2)| < | 1 2|. 2
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1
即 1 ∈ ( , 1), 2 ∈ [1,2), | ( 4 1
) ( 2)| < | 1 2|.
1
综上所述， 1, 2 ∈ ( , 2)，且 1 ≠ 2，| ( 1) ( 2)| < | 1 2|. 4
19.【答案】解：(1)因为当 0时，记 的整数部分的位数为 ( × 10 )；当 < 0时，记 的非有效数字的
个数为 ( × 10 )，
所以 (1.02 × 102) = 3， (1.02 × 10 1) = 1，
因为当 ≥ 0时， × 10 整数部分的位数为 + 1，
当 < 0时， × 10 的非有效数字的位数为 ，
+ 1, ≥ 0所以 ( × 10 ) = { ；
, < 0
(2)由 = 2100，则 = 100 2 = 30 + 0.1，
所以 = 1030+0.1 = 100.1 × 1030，
故 = 100.1， = 30， ( × 1030) = 31；
(3)猜想： (2 ) = (2 )，证明如下：
当 ∈ 时，2 为正整数且不可能是10的倍数，
所以存在 ∈ ，使得10 < 2 < 10 +1，此时 (2 ) = + 1，
而10 ( +1) < 2 < 10 ，所以 (2 ) = + 1，
所以 (2 ) = (2 ).
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