鹤山一中 2024—2025 学年度第一学期第二阶段考试
高二数学答案和解析 2024.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B A C D A D B BCD ABC AC
3【解析】由题意①中,根据对立事件与互斥事件的关系,可得是正确;②中,当 A 与 B 是
互斥事件时,才有 P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件 A,B满足 P(A∪B)=P(A)+P(B)
-P(AB),所以是不正确的;③也不正确.P(A)+P(B)+P(C)不一定等于 1,还可能小于 1;
④也不正确.例如:袋中有大小相同的红、黄、黑、绿 4个球,从袋中任摸一个球,设事件
A={摸到红球或黄球},事件 B={摸到黄球或黑球},显然事件 A与 B不互斥,但 P(A)+P(B)
= + =1.
5. 【解析】设 x1, x2 , , xn 的平均值为 x,方差为 s2,因为样本 a x1,a x2 , ,a xn 的平均
值是 5,方差是 3,所以 a x 5, s2 3,因为样本1 2x1,1 2x2 , ,1 2xn的平均值是 9,标
准差是 b,所以9 1 2x, 4s2 b2,所以 x 4,b 2 3,a 1.故选 D.
6.【详解】点M 2,5,4 关于平面Oxz对称的点为 a,b,c 2, 5,4 ,
关于 x轴对称的点为 d ,e, f 2, 5, 4 ,
所以b 5, f 4,故b f 9.
7【解析】不超过 20 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,
则在不超过 20 的素数中随机选取 2 个不同的数的样本空间:
2,3 , 2,5 , 2,7 , 2,11 , 2,13 , 2,17 , 2,19 , 3,5 , 3,7 , 3,11 , 3,13 ,
3,17 , 3,19 , 5,7 , 5,11 , 5,13 , 5,17 , 5,19 , 7,11 , 7,13 , 7,17 , 7,19 , 11,13 , 11,17 ,
11,19 , 13,17 , 13,19 , 17,19 ,共有 28 个样本点,记事件A表示“选取的 2 个数能够构成
孪生素数”,则事件A包含的样本点有 3,5 , 5,7 , 11,13 , 17,19 ,共 4 个,
4 1
故抽取的 2 个数能够构成李生素数的概率是 P A .故选 D.
28 7
8【详解】分别以DA,DC,DD1为 x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A 6,0,0 , B 6,6,0 ,M 0,6,3 ,设 P x, y,6 , x 0,6 , y 0,6 ,
高二数学 第 1 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
则 AM 6,6,3 , BP x 6, y 6,6 ,由 BP AM 得
6 x 6 6 y 6 3 6 0,即 y x 3,由于 x 0,6 , y 0,6 ,所以 x 3,6 ,
y 0,3 ,所以点 P的轨迹为面 A1B1C1D1上的直线: y x 3, x 3,6 ,即图中的线
段 EF ,由图知: EF 32 32 3 2 ,
9. 对 A,四点恰好围成一封闭图形,根据向量的多边形法则可知,正确;对 B,根据向量
的三角不等式等号成立条件可知, , 同向时,应有 + = + ,即必要性不成立,
错误;对 C,根据共线向量的定义可知, , 所在直线可能重合,错误;对 D,根据空间向
量基本定理的推论可知,需满足 x+y+z=1,才有 P、A、B、C四点共面,错误.
10【详解】A选项:n 2时,若两次实验中结果为一次正面,一次反面,则事件M 与 N
同时发生,
由互斥事件定义,M 与 N 不互斥,A正确;
B选项: n 2时,两次实验的结果有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反) 4种,
P M 2 1 3 2 1 ,P N , P(MN) = = , P MN P M P N ,4 2 4 4 2
所以M 与 N 不相互独立,B正确;
C选项: n 3时,三次实验的结果有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),
(正,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)8种情
6 3 4 1 3
况, P M ,P N , P MN , P MN P M P N ,
8 4 8 2 8
所以M 与 N 相互独立,C正确;
D选项: n 3时,若三次实验结果为(正,正,反),则事件M 与N 同时发生,
由互斥事件定义,M 与 N 不互斥,D错误.
11.【详解】如图,
由平面图形,可知 PB PE, PC PE,又 PB PC P , PB,PC 平面 PBC
∴ PE 平面 PBC,又 BC 平面 PBC可得 PE BC∴A对,B错;
高二数学 第 2 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
取 BC的中点F ,连接 PF , EF ,则 PF BC, EF BC ,
∴ PFE为二面角 P BC E 的平面角,PE 1,PF 3, EF 2,
∴ PFE 30 ,C对;
由 C选项知BC 平面 PFE,∴平面 PFE 平面 BCE, EF 为交线,
在平面 PFE中作 PO EF,交 EF 于O,则 PO 平面 BCE,
1 1 3
由 EF PO PE PF ,求得 PO ,
2 2 2
∴点 P 3到平面BCE的距离为 ,D错.
2
三、填空题
12. 答案 2 【解答过程】因为 = 1,1, 2 ,所以 = 1 + 1 + 2 = 2,
2
因为 = 2,所以 = 2 2 + 2 = 4, 即 4 2 + 4 = 4,解得 = 2.
13.答案 1 【详解】因为 P 8,9,5 ,点Q 1,2,2 ,所以PQ 7, 7, 3 ,
又 的一个法向量为 n 4,3, 12 ,
PQ n 7 4 7 3 3 12
13所以Q到平面 的距离为 1.
n 42 32 12 2 13
14. 3- 5 【解析】如下图所示:
2
因为 PF2 F1F2 , AP PF1,所以 PF1F2 APF2,
PF2 AF 2可得 ,即 PF 22 F1F2 AF2 2c
1
c c2 ,可得 PF2 c;F1F2 PF2 2
高二数学 第 3 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
又在 Rt PF1F 22中, PF1 c 2c
2 5c,
由椭圆定义可得 PF1 PF2 2a,即 5c c 2a ,
2
c 2 5 1 5 1 3 5
所以 e ,可得 e2
a 5 1 2
.
2
2
四、解答题
15【小问 1 详解】
由 | c
| 3,得 x2 22 22 3,解得 x 1, ..........2 分
ar
( 2, 1,2) b ( 1,1, 2) ka
向量 , ,则 b ( 2k 1,1 k , 2k 2),..........3 分
由向量 ka b与 c垂直,得 (ka b ) c 0,
则 x( 2k 1) 2(1 k) 2(2k 2) 0, ..........4 分
当 x 1时,有 5 0,矛盾; ..........5 分
7
当 x 1时,有4k 7 0,解得 k ,
4
7
所以实数 x和 k的值分别为 1和 . ..........7 分
4
【小问 2 详解】
由向量 c与向量 a, b共面,设 c a
b ( , R), ..........8 分
x 2
则 (x, 2, 2) ( 2, 1,2) ( 1,1, 2) ,即 2 ,..........10 分
2 2 2
x 1
2
解得
1
,..........12 分
2
3
2
高二数学 第 4 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
所以实数 x
1
的值为 ...........13 分
2
16(1)因为 A 1,1 ,B 2, 2 1 2 ,所以 kAB 3,..........2 分1 2
1 3 1
所以弦 AB的垂直平分线的斜率为 ,又弦 AB的中点坐标为 , ,..........3 分3 2 2
1 1 3
所以弦 AB的垂直平分线的方程为 y 2 3
x ,即 x 3y 3 0,..........4 分
2
与直线 l : x y 1 0联立解得: x 3, y 2,..........6 分
所以圆心C坐标为 3, 2 所以圆的半径 r AC 5,..........7 分
则圆C的方程为: (x 3)2 (y 2)2 25;..........9 分
(2)由(1)知,圆心C 3, 2 到直线2x y 0的距离
6 2 8
为 d 5, ..........12 分
5 5
2 305圆的半径 r 5, MN 2 r 2 d 2 . ..........15 分
5
17.【小问 1 详解】
记“甲队总得分为 1 分”为事件 B:甲队得 1 分,即三人中只有 1 人答对,其余两人都答
错, ..........1 分
其概率 P B 2 2 2 2 2 1
1
1 1
2
1 2 1 2 2 2 .
3 3 3 3 3 3 3 3 3 9
2
∴甲队总得分为 1分的概率为 . ..........5 分
9
【小问 2 详解】
记“甲队总得分为 2分”为事件 C,记“乙队总得分为 1分”为事件 D.. ..........6 分
事件 C即甲队三人中有 2人答对,剩余 1人答错,
∴ P C 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 . ..........9 分3 3 3 3 3 3 3 3 3 9
事件 D即乙队 3人中只有 1人答对,其余 2人答错,
高二数学 第 5 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
P D 1 1 2 1 3 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1∴ ........2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
...13 分
由题意,事件 C与事件 D相互独立,
∴ 甲 队 总 得 分 为 2 分 且 乙 队 总 得 分 为 1 分 的 概 率
P CD P C P D 4 1 1 ...........15 分
9 4 9
18. 【 详 解 】( 1 ) 由 题 意 得 , 椭 圆 C 焦 点 在 x 轴 上 , 设 方 程 为
x2 y2
2 1 a b 0 ............1 分a b2
6 c 6
因为短轴长为 2 2 ,离心率为 ,所以 2b 2 2, . 所以b 2 .........2 分
3 a 3
又因为 a2 b2 c2故a2 6,b2 2,c2 4 .........5 分
x2 y2
所以曲线C的方程为 1 .........6 分
6 2
(2)由(1)可知M 3,0 ,则该点在椭圆外,所以过该点的直线PQ的斜率必然存在.
可设直线 PQ的方程为 y k x 3 ,.......7 分
x2 y2
1
联立 6 2 .......8 分
y k x 3
得 1 3k 2 x2 18k 2x 27k 2 6 0 . ......10 分
Δ 2 18k 2 4 1 3k 2 27k 2 6 4 9k 2 6 0 ......11 分
设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,由根与系数的关系可知:
x x 18k
2
, x x 27k
2 6
1 2 1 2 ,......13 分1 3k 2 1 3k 2
2
y1y2 k
2
x1x2 3 x1 x2 9
3k
.......14 分1 3k 2
2 2 2
由OP OQ 27k 6 3k 30k 6得 x1x2 y1y2 0,即 2 2 2 0,.......15 分1 3k 1 3k 1 3k
高二数学 第 6 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
5
解得: k ,符合Δ 0,......16 分
5
5
所以直线 PQ的方程为 y x 3 .......17 分
5
19【小问 1 详解】
因为 ABCD为正方形,所以 AD∕∕BC ,
因为MB//AN,且 AD AN A,BC BM B, AD, AN 平面 AND,BC,BM 平
面 BMC,所以平面 AND ∕ ∕ 平面 BMC,
又DN 平面 AND,所以DN //平面 BCM .......3 分
【小问 2 详解】
因为平面 ABCD 平面 ABMN,且平面 ABCD 平面 ABMN AB,BC AB,
所以 BC 平面 ABMN,又 BN 平面 ABMN,
所以 BC BN ,在 Rt△BCN 中, BN CN 2 BC2 2 2 ,
所以在 Rt△ABN中, AB2 AN 2 BN 2 ,
所以 AB AN ,又MB//AN,所以 AB BM ,......4 分
所以 BA,BM ,BC两两垂直,以 B为原点,BA,BM ,BC为 x,y,z轴正方向建系,如图所示:
所以 B(0,0,0), A(2,0,0),C(0,0, 2),D(2,0, 2),N (2, 2,0),M (0, 4,0),
则 AC ( 2,0, 2),CD (2,0,0),CM (0, 4, 2),......5 分
设平面 CDM的法向量 n (x1, y1, z1),
n
C
则
D 2x1 0 ,令 y1 1,可得 z1 2,......6 分
n CM 4y1 2z1 0
高二数学 第 7 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}
所以一条法向量 n (0,1,2),设直线 AC与平面CDM 所成角为 ,......7 分
n AC 10
则 sin cos n, AC ,所以直线 AC与平面CDM 所成角的正弦值为
n AC 5
10
......9 分
5
【小问 3 详解】
假设存在点 E,设点 E(x, y, z),CE CM ( [0,1]),所以
(x, y, z 2) (0, 4, 2),.....10 分
所以点 E(0, 4 , 2 2 ),则 BN (2, 2,0),BE (0, 4 , 2 2 ),BC (0,0, 2),
设平面 BEN 的法向量m (x2 , y2 , z2 ),
m BN 2x 2y 0
则 m
2 2 ,
BE 4 y2 (2 2 )z2 0
令 x1 1
2
,可得 y2 1, z2 , 1,.....12 分1
所以一条法向量m 1, 1,
2
,因为 BC 平面 ABMN,
1
所以 BC (0,0, 2)即为平面 BMN 的法向量,
4
所以 cos
m BC 3
m,BC 1
m BC 2 3 ,.....14 分
2 2 1 1
1
即 2 3 6 2 4 1 2 ,解得 或-1(舍),.....15 分
3
1
所以CE CM CE 1,则 ,
3 EM 2
3
所以存在一点 E,使得平面 BEN 与平面 BMN 的夹角的余弦值为 ,此时
3
CE 1
.....17 分
EM 2
高二数学 第 8 页 共 8 页
{#{QQABJQgAogggAABAARhCQwFwCkAQkgAAAYgGQFAMIAAAyBFABAA=}#}鹤山一中2024—2025学年度第一学期第二阶段考试
高二数学试卷 2024.12
一、单选题(每小题5分,共8小题40分)
1.为了弘扬体育精神,学校组织秋季运动会,在一项比赛中,学生甲进行了8组投篮,得分分别为10,8,a,8,7,9,6,8,如果学生甲的平均得分为8分,那么这组数据的75百分位数为( )
A.8 B.9 C.8.5 D.9.5
2.若直线是圆的一条对称轴,则m的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
3.下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知椭圆+=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m=( )
A.5 B.6 C.9 D.10
5.若样本的平均值是5,方差是3,样本的平均值是9,标准差是b,则( )
A. B. C. D.
6.若点关于平面和轴对称的点分别为,,则( )
A. B. C. 1 D. 9
7.孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一,具体为:存在无穷多个素数,使得是素数,素数对称为孪生素数,在不超过20的素数中随机选取2个不同的数,其中能够构成孪生素数的概率是( )
A. B. C. D.
8如图,正方体的棱长为6,点为的中点,点为底面上的动点,满足的点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
多选题(每小题6分,共3小题18分)
9下列命题不正确的是( )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=
B.“”是“共线”的充要条件
C.若共线,则与所在直线平行
D.对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若 (其中x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验,其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次,记录这次实验的结果,设事件表示“次实验结果中,既出现正面又出现反面”,事件表示“次实验结果中,最多只出现一次反面”,则下列结论正确的是( ).
A. 若,则与不互斥 B. 若,则与不相互独立
C. 若,则与相互独立 D. 若,则与互斥
11.如图,正方形边长为2,为边的中点,把和分别沿,折起.使得,两点重合为一点.下列四个命题正确的是( )
A. 平面 B. 直线与直线所成角为
C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为
填空题(每小题5分,共3小题15分)
12.已知,,,则 .
13.已知平面内一点,点在平面外,若的一个法向量为,则到平面的距离为______________.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,且,过作的垂线交轴于点,若,记椭圆的离心率为,则______.
四、解答题(第15题13分,第16题15分,第17题15分,第18题17分,第19题17分,共5小题77分)
15已知向量,,.
(1)当时,若向量与垂直,求实数和的值;
(2)若向量与向量,共面,求实数的值.
16已知圆心为的圆经过和,且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程:
(2)若直线与圆的交点为两点,求.
17.溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲 乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲队总得分为1分的概率;
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
18.椭圆的中心是原点,焦点为,短轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果过点的直线与椭圆相交于点两点,且,求直线的方程.
19. 如图所示,正方形所在平面与梯形所在平面垂直,,,,
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得平面与平面的夹角的余弦值为,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.