培优课 立体几何中的截、展、翻、补问题
课标要求 1.利用立体几何的相关知识，会解决简单的立体几何中的截、展、翻、补等问题. 2.会结合图形分析问题，形成空间想象能力. 3.体会转化与化归的思想，培养空间想象能力，逻辑思维能力.
【引入】 在解答一些高中数学立体几何中的截、展、翻、补问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率.解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融入到熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果.
一、几何体的截面(交线)
例1 如图，在棱长为12的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别为棱AB，CC1的中点，若过点D1，E，F的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长.
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思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：①作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
训练1 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________.
二、几何体的平面展开
例2 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
思维升华 1.展开问题：将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究.
2.最短路径问题解题思路
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面；
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”构造三角形，借助解三角形的方法求解.
训练2 如图，有一底面边长为6 m，高为6 m的正六棱柱形粮仓，侧面CDD1C1的中心点为P，此时一只蚂蚁正在A处，它要沿棱柱侧面到达P所经过的最短路程是________.
三、平面图形的翻折
例3 在如图1所示的等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝2，EF＝2＋2，将它沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥E－ABCD(E，F重合)，点M，N分别为线段AB，DE的中点. 证明：MN∥平面BEC.
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思维升华 平面图形翻折为空间图形问题
(1)解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.
(2)解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”.
①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.
训练3 如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH，如图2所示.
(1)证明：AD⊥BH.
(2)若BH＝2，且＝2，求三棱锥A－BHM的体积.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
四、几何体的补形问题
例4 在四面体ABCD中， AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝5，E，F分别是AD，BC的中点.则下述结论：
①四面体ABCD的体积为20；
②异面直线AC，BD所成角的正弦值为；
③四面体ABCD外接球的表面积为50π.
其中正确的有________.(填写所有正确结论的编号)
思维升华 构造法在立体几何体中的应用
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体.
训练4 如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝2，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )
A.1 B.
C. D.2
【课堂达标】
1.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是( )
A.新 B.冠
C.病 D.毒
2.(多选)长方体ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1＝4，AB＝3，AD＝5，则从A点沿长方体表面到达C1点的距离可以为( )
A.4 B.3
C. D.8
3.下列结论正确的个数是________.
①棱台侧棱所在的直线必交于一点；
②矩形旋转一周一定形成一个圆柱；
③用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形.
4.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个三棱锥C－A′D′D，则三棱锥C－A′D′D的体积与剩余部分的体积之比为________.
培优课 立体几何中的截、展、翻、补问题
例1 解 如图，延长DC，与D1F的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接D1M，交AA1于点N.
INCLUDEPICTURE"D317.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D317.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D317.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D317.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D317.tif" \* MERGEFORMATINET
连接NE，FH，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为12，
所以D1F＝eq \r(D1C＋C1F2)＝6.
因为D1C1∥CG，
所以△D1C1F∽△GCF，
所以＝＝1，
所以CG＝12，同理可得△BEH∽△CGH，
所以＝＝，
所以CH＝BC＝8，BH＝BC＝4，
所以FH＝＝10，
EH＝＝2.
易知△BEH≌△AEM，所以AM＝BH＝4，
又＝，解得AN＝3，
所以NE＝＝3，
D1N＝eq \r(A1D＋A1N2)＝15，
则该多边形的周长为D1F＋FH＋HE＋EN＋ND1＝25＋9＋2.
训练1 [如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝eq \r(R－D1E2)＝＝.
可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
又D1P＝，∴B1P＝eq \r(D1P2－D1B)＝1，同理C1Q＝1，
∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，
∴∠PEQ＝，
知的长为·＝.]
例2 B [如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开
INCLUDEPICTURE"D320.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D320.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D320.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D320.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D320.tif" \* MERGEFORMATINET
由侧面展开图可知，
当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短.
所以最短路线长为BC1＝＝2.
故选B.]
训练2 3 [如图，将此棱柱沿AA1剪开，其展开图为一个长为36 m，宽为6 m的矩形，侧面CDD1C1的中心P在AF上的投影为M，所以若要最短，应沿着侧面ABB1A1，BCC1B1走直线到P处，由图可知，
|AM|＝15，|PM|＝3，所以|AP|＝＝3.]
INCLUDEPICTURE"+21.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\+21.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\+21.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\+21.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\+21.tif" \* MERGEFORMATINET
例3 证明 取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点M，N分别为线段AB，DE的中点.
所以NG∥DC，NG＝DC，
又AB∥DC，MB＝AB，
所以NG∥BM，NG＝BM，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以MN∥BG，
又MN 平面BCE，BG 平面BCE，
所以MN∥平面BEC.
训练3 (1)证明 如图，连接BF，交AD于O，则O为BF的中点.
INCLUDEPICTURE"D331.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D331.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D331.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D331.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D331.tif" \* MERGEFORMATINET
∵AF＝AB＝4，∴AO⊥BF，
即AD⊥OB，AD⊥OH.
∵OB∩OH＝O，OB，OH 平面BOH，
∴AD⊥平面BOH.
∵BH 平面BOH，
∴AD⊥BH.
(2)解 由正六边形性质，
可知∠FAD＝∠BAD＝，
∴OF＝OB＝2.
∵OH2＋OB2＝BH2，∴OH⊥OB.
∵OB∩AD＝O，OB，AD 平面ABCD，
∴OH⊥平面ABCD.
∵BC∥HG，且BC＝HG，
∴四边形BCGH是平行四边形，∴CG∥BH.
∵BH 平面ABH，CG 平面ABH，
∴CG∥平面ABH，
∴VA－BHM＝VM－ABH＝VC－ABH＝VH－ABC
＝S△ABC·OH＝8.
例4 ①③ [根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为a，b，c，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
补成长，宽，高分别为3，4，5的长方体.
INCLUDEPICTURE"D332.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D332.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D332.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D332.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D332.tif" \* MERGEFORMATINET
①四面体ABCD的体积为V＝3×4×5－4××3×4×5＝20，故正确；
②异面直线AC，BD所成角的正弦值等价于边长为5，3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错误；
③四面体ABCD外接球就是长方体的外接球，半径R＝＝，其表面积为50π，故正确.]
训练4 A [补形成正方体，如图所示.
∵EF⊥α，
∴截面为平行四边形MNKL，
可得NK＋KL＝2，
又KN∥AD，KL∥BC, 且AD⊥BC，
∴KN⊥KL 可得S四边形MNKL＝NK·KL≤＝1，当且仅当NK＝KL时，取等号，选A.]
课堂达标
1.C [将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，故选C.]
2.ABC [则从A点沿长方体表面到达C1有三种展开方式，
若以A1B1为轴展开，
则AC1＝
＝＝3，
INCLUDEPICTURE"D337.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D337.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D337.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D337.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D337.tif" \* MERGEFORMATINET
若以BC为轴展开，
则AC1＝＝＝，
INCLUDEPICTURE"D338.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D338.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D338.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D338.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D338.tif" \* MERGEFORMATINET
若以B1B为轴展开，
则AC1＝＝＝4.
INCLUDEPICTURE"D339.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D339.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D339.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D339.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D339.tif" \* MERGEFORMATINET
故选ABC.]
3.1 [①棱台是棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，故棱台侧棱所在的直线必交于一点正确，故①正确；
②矩形若沿着不平行于四条边的线旋转一周则不能形成一个圆柱，故②错误；
③用平面截圆锥，若截面与底面平行，则截面图形为圆，故③错误.]
4.1∶5 [设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
所以长方体体积VABCD－A′B′C′D′＝abc，
三棱锥C－A′D′D的体积VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，
∴V剩＝abc－abc＝abc，
∴三棱锥C－A′D′D的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.](共66张PPT)
培优课 立体几何中的截、展、翻、补问题
第十一章 11.4 11.4.2 平面与平面垂直
1.利用立体几何的相关知识，会解决简单的立体几何中的截、展、翻、补等问题.
2.会结合图形分析问题，形成空间想象能力.
3.体会转化与化归的思想，培养空间想象能力，逻辑思维能力.
课标要求
在解答一些高中数学立体几何中的截、展、翻、补问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率.解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融入到熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果.
引入
课时精练
一、几何体的截面(交线)
二、几何体的平面展开
三、平面图形的翻折
课堂达标
内容索引
四、几何体的补形问题
几何体的截面(交线)
一
如图，在棱长为12的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别为棱AB，CC1的中点，若过点D1，E，F的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长.
例1
如图，延长DC，与D1F的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接D1M，交AA1于点N.
因为D1C1∥CG，所以△D1C1F∽△GCF，
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：①作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
思维升华
训练1
如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，
由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，
∴D1B1＝DB＝2，
几何体的平面展开
二
√
例2
如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，
当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短.
思维升华
1.展开问题：将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究.
2.最短路径问题解题思路
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面；
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”构造三角形，借助解三角形的方法求解.
如图，有一底面边长为6 m，高为6 m的正六棱柱形粮仓，侧面CDD1C1的中心点为P，此时一只蚂蚁正在A处，它要沿棱柱侧面到达P所经过的最短路程是________.
训练2
如图，将此棱柱沿AA1剪开，其展开图为一个长为36 m，宽为6 m的矩形，侧面CDD1C1的中心P在AF上的投影为M，所以若要最短，应沿着侧面ABB1A1，BCC1B1走直线到P处，由图可知，
平面图形的翻折
三
例3
取EC的中点G，连接NG，BG，
所以NG∥BM，NG＝BM，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以MN∥BG，
又MN 平面BCE，BG 平面BCE，
所以MN∥平面BEC.
思维升华
平面图形翻折为空间图形问题
(1)解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.
(2)解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”.
①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.
如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH，如图2所示.
训练3
如图，连接BF，交AD于O，则O为BF的中点.
(1)证明：AD⊥BH.
∵AF＝AB＝4，∴AO⊥BF，
即AD⊥OB，AD⊥OH.
∵OB∩OH＝O，OB，OH 平面BOH，
∴AD⊥平面BOH.
∵BH 平面BOH，
∴AD⊥BH.
∵OH2＋OB2＝BH2，∴OH⊥OB.
∵OB∩AD＝O，OB，AD 平面ABCD，
∴OH⊥平面ABCD.
∵BC∥HG，且BC＝HG，
∴四边形BCGH是平行四边形，∴CG∥BH.
∵BH 平面ABH，CG 平面ABH，
∴CG∥平面ABH，
几何体的补形问题
四
例4
①③
根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为a，b，c，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
补成长，宽，高分别为3，4，5的长方体.
思维升华
构造法在立体几何体中的应用
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体.
如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝2，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为
训练4
√
补形成正方体，如图所示.
∵EF⊥α，
∴截面为平行四边形MNKL，
可得NK＋KL＝2，
又KN∥AD，KL∥BC, 且AD⊥BC，
【课堂达标】
1.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是
A.新 B.冠 C.病 D.毒
√
将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，故选C.
√
√
√
则从A点沿长方体表面到达C1有三种展开方式，
3.下列结论正确的个数是________.
①棱台侧棱所在的直线必交于一点；②矩形旋转一周一定形成一个圆柱；
③用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形.
1
①棱台是棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，故棱台侧棱所在的直线必交于一点正确，故①正确；
②矩形若沿着不平行于四条边的线旋转一周则不能形成一个圆柱，故②错误；
③用平面截圆锥，若截面与底面平行，则截面图形为圆，故③错误.
4.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个三棱锥C－A′D′D，则三棱锥C－A′D′D的体积与剩余部分的体积之比为________.
1∶5
设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
所以长方体体积VABCD－A′B′C′D′＝abc，
【课时精练】
√
1.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为
A.2π B.π C.2 D.1
因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×2×1＝2，故选C.
√
将长方体展开，如图所示，
√
√
4.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1，A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得的截面图形的面积为
如图，延长AN，与CC1的延长线交于点P，
则P∈平面BB1C1C，
连接PM，与B1C1交于点E，
连接NE，得到的四边形AMEN就是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得的截面图形.
√
5.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成角的大小等于45°
D.AB与SC所成角的大小等于30°
√
如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，
对于A，SD⊥平面ABCD，
所以AC⊥SD，
又AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，
故AC⊥平面SBD，
所以AC⊥SB，故A正确；
对于B，因为AB∥CD，且AB 平面SCD，CD 平面SCD，
故AB∥平面SCD，故B正确；
对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，
则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，
所以∠ASO＝30°，故C不正确；
对于D，因为AB∥CD，
所以∠SCD是AB与SC所成的角，
因为SD＝CD＝1，
所以∠SCD＝45°，故D不正确.
如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，
7.已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为______.
把圆锥的侧面展开形成一个扇形，
则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，
如图所示，由SB＝SB′＝3，BB′＝3，
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，E为棱BC的中点，F为棱A1D1的四等分点(靠近点D1)，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面的周长是____________________________.
取C1D1的中点H，取CC1上靠近点C1的三等分点G，连接AE，EG，GH，HF，FA(图略)，易证AE∥HF，AF∥EG，则五边形AEGHF为所求截面.
(1)证明：DP⊥CE；
如图，取CE的中点F，连接PF，DF，
由题易知△PCE，△DCE都是等边三角形，
∴DF⊥CE，PF⊥CE，
∴DF∩PF＝F，DF，PF 平面DPF，
∴CE⊥平面DPF.
∵DP 平面DPF，∴DP⊥CE.
(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值.
由题易知四边形AECD是平行四边形，所以AD∥CE，
所以点E与点F到平面PAD的距离相等.
由(1)知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF.
又AD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF.
过F作FH⊥PD交PD于H，则FH⊥平面PAD.
10.在圆台O1O2中，轴截面为ABCD，AB＝AD＝BC＝1，且CD＝2AB.
(1)求圆台的体积；
过点A作AE⊥CD于E，
(2)求沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离.
设AD的中点为F，将圆台沿CB展开，连接CF，如图所示，
√
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的一个动点，则过A，Q，B1三点的截面图形可能是
A.等边三角形 B.矩形 C.等腰梯形 D.五边形
√
√
对于A，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，所以A正确；
对于B，当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，所以B正确；
对于C，当点Q不与点D，D1重合时，如图，延长AQ交A1D1延长线于M，连接MB1交C1D1于N，连接NQ，
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ABB1A1∩平面AB1M＝AB1，平面DCC1D1∩ AB1M＝NQ，
所以AB1∥NQ，所以过A，Q，B1三点的截面为梯形AB1NQ，当Q为DD1的中点时，可得AD＝D1M，
所以A1D1＝D1M，所以N为C1D1的中点，
所以AQ＝B1N，所以此时梯形AB1NQ为等腰梯形，所以C正确；
对于D，由选项ABC，可知截面图形不可能为五边形，D错误.
由正三棱柱A1B1C1－ABC可得，AA1⊥底面ABC，
在△ADF中，∠DAF＝60°＋90°＝150°，由余弦定理可得
13.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，AA1＝2AB＝2，M为AA1的中点.
(1)请在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，画出经过M，D，B1三点的截面α，并写出作法(无需证明)；
取CC1的中点F，连接B1F，B1M，DM，DF，
则四边形DFB1M即为过点M、D和B1的平面截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面α.
取BB1的中点E，连接CE，ME，
因为M为AA1的中点，ME∥CD且ME＝CD，
所以DCEM为平行四边形，所以DM∥CE，
又CF∥B1E且CF＝B1E，
所以CFB1E为平行四边形，所以CE∥B1F，
所以DM∥B1F，即M，D，B1，F四点共面.
(2)求截面α的面积.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，M，F分别为AA1，CC1的中点，
把平面A1C1B沿着BC1展开与△CBC1在同一平面上，课时精练28 立体几何中的截、展、翻、补问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为( )
2π π
2 1
2.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝AA1＝2，E为棱AA1上的动点，平面BED1交棱CC1于F，则四边形BED1F的周长的最小值为( )
4 2
2(＋) 2＋4
3.已知圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则过圆锥顶点的截面面积的最大值等于( )
3 2
4.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1，A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得的截面图形的面积为( )
5.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是( )
AC⊥SB
AB∥平面SCD
SA与平面SBD所成角的大小等于45°
AB与SC所成角的大小等于30°
6.已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.
7.已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为________.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，E为棱BC的中点，F为棱A1D1的四等分点(靠近点D1)，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面的周长是________.
9.(13分)如图1，在平面四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB＝AB＝4，E是AB的中点.将△BCE沿CE翻折至△PCE，使得DP＝2，如图2所示.
(1)证明：DP⊥CE；
(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值.
10.(15分)在圆台O1O2中，轴截面为ABCD，AB＝AD＝BC＝1，且CD＝2AB.
(1)求圆台的体积；
(2)求沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离.
二、综合运用
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的一个动点，则过A，Q，B1三点的截面图形可能是( )
等边三角形 矩形
等腰梯形 五边形
12.在正三棱柱A1B1C1－ABC中，AB＝2，AA1＝2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为________.
13.(15分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，AA1＝2AB＝2，M为AA1的中点.
(1)请在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，画出经过M，D，B1三点的截面α，并写出作法(无需证明)；
(2)求截面α的面积.
三、创新拓展
14.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________.
立体几何中的截、展、翻、补问题
1.C [因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×2×1＝2，故选C.]
2.B [将长方体展开，如图所示，
INCLUDEPICTURE"D342.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D342.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D342.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D342.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D342.tif" \* MERGEFORMATINET
当点E为BD1与AA1的交点，F为BD1与CC1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，
最小值为2BD1＝2＝2.
故选B.]
3.D [由圆锥的母线长为2，侧面积为2π，
假设底面圆周长为l，因此×2×l＝2π，
故底面圆周长为2 π，底面圆的半径为.
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆的直径为2的等腰三角形，
因此轴截面的顶角是.
故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时S＝×2×2×sin ＝2.故选D.]
4.A [如图，延长AN，与CC1的延长线交于点P，
则P∈平面BB1C1C，
连接PM，与B1C1交于点E，
连接NE，得到的四边形AMEN就是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得的截面图形.
由题意并解三角形可得
NE＝ME＝，AM＝AN＝，
在Rt△MB1N中，解得MN＝.
所以在△AMN中，边MN上的高
h1＝＝，
在△EMN中，边MN上的高
h2＝＝.
所以平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得的截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝××
＝，故选A.]
5.AB [
如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，
对于A，SD⊥平面ABCD，
所以AC⊥SD，
又AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，
故AC⊥平面SBD，
所以AC⊥SB，故A正确；
对于B，因为AB∥CD，且AB 平面SCD，CD 平面SCD，
故AB∥平面SCD，故B正确；
对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，
因为SA＝，OA＝，
所以∠ASO＝30°，故C不正确；
对于D，因为AB∥CD，
所以∠SCD是AB与SC所成的角，
因为SD＝CD＝1，
所以∠SCD＝45°，故D不正确.]
6.π [如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，
则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，
因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.]
7. [把圆锥的侧面展开形成一个扇形，
则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，
INCLUDEPICTURE"D347.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D347.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D347.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D347.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D347.tif" \* MERGEFORMATINET
如图所示，由SB＝SB′＝3，BB′＝3，
得∠BSB′＝，
所以＝·3＝π.
设底面圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝，
即底面圆的半径为.]
8. [取C1D1的中点H，取CC1上靠近点C1的三等分点G，连接AE，EG，GH，HF，FA(图略)，易证AE∥HF，AF∥EG，则五边形AEGHF为所求截面.
因为AB＝4，所以BE＝CE＝C1H＝D1H＝2，A1F＝3，D1F＝1，CG＝，C1G＝，
则AE＝2，EG＝，GH＝，HF＝，AF＝5，
故该截面的周长是AE＋EG＋GH＋HF＋AF＝. ]
9.(1)证明 如图，取CE的中点F，连接PF，DF，
由题易知△PCE，△DCE都是等边三角形，
∴DF⊥CE，PF⊥CE，
∴DF∩PF＝F，DF，PF 平面DPF，
∴CE⊥平面DPF.
∵DP 平面DPF，∴DP⊥CE.
(2)解 由题易知四边形AECD是平行四边形，
所以AD∥CE，
所以点E与点F到平面PAD的距离相等.
由(1)知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF.
又AD 平面PAD，
所以平面PAD⊥平面DPF.
过F作FH⊥PD交PD于H，
则FH⊥平面PAD.DF＝PF＝2，DP＝2，
故点F到平面PAD的距离
FH＝＝.
设直线DE与平面PAD所成的角为θ，
则sin θ＝＝，所以直线DE与平面PAD所成角的正弦值为.
10.解 (1)过点A作AE⊥CD于E，
INCLUDEPICTURE"D353.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D353.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D353.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D353.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D353.tif" \* MERGEFORMATINET
因为AB＝AD＝BC＝1，且CD＝2AB，
则ED＝，
所以AE＝O1O2＝，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为
V＝·π·×＝.
(2)设AD的中点为F，将圆台沿CB展开，连接CF，如图所示，
则OC＝1，OF＝，∠COD＝90°，
所以CF＝＝＝，
所以沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为.
11.ABC [对于A，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，所以A正确；
对于B，当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，所以B正确；
INCLUDEPICTURE"D356.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D356.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D356.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D356.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D356.tif" \* MERGEFORMATINET
对于C，当点Q不与点D，D1重合时，如图，延长AQ交A1D1延长线于M，连接MB1交C1D1于N，连接NQ，
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ABB1A1∩平面AB1M＝AB1，平面DCC1D1∩ AB1M＝NQ，
所以AB1∥NQ，所以过A，Q，B1三点的截面为梯形AB1NQ，当Q为DD1的中点时，可得AD＝D1M，
所以A1D1＝D1M，所以N为C1D1的中点，
所以AQ＝B1N，所以此时梯形AB1NQ为等腰梯形，所以C正确；
对于D，由选项ABC，可知截面图形不可能为五边形，D错误.]
12.＋2 [由正三棱柱A1B1C1－ABC可得，AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.
在Rt△ADF中，DF＝＝2.
把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE＋EF取得最小值.
在△ADF中，∠DAF＝60°＋90°＝150°，由余弦定理可得
DF＝＝.
∴△DEF周长的最小值为＋2.]
13.解 (1)取CC1的中点F，连接B1F，B1M，DM，DF，
INCLUDEPICTURE"D359.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D359.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D359.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D359.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D359.tif" \* MERGEFORMATINET
则四边形DFB1M即为过点M、D和B1的平面截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面α.
取BB1的中点E，
连接CE，ME，
因为M为AA1的中点，
ME∥CD且ME＝CD，
所以DCEM为平行四边形，所以DM∥CE，
又CF∥B1E且CF＝B1E，所以CFB1E为平行四边形，所以CE∥B1F，
所以DM∥B1F，即M，D，B1，F四点共面.
(2)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，M，F分别为AA1，CC1的中点，
所以DF＝FB1＝MB1＝MD＝，
所以四边形DFB1M为菱形，连接MF，DB1，则DB1⊥MF，
又DB1＝＝，
MF＝＝，
所以SDFB1M＝××＝.
14.5 [把平面A1C1B沿着BC1展开与△CBC1在同一平面上，
连接A1C，则CP＋PA1的最小值是A1C，
因为∠ACB＝90°，三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
AC＝6，BC＝C1C＝，
A1B＝eq \r(A1B＋B1B2)
＝eq \r(A1C＋B1C＋B1B2)
＝＝2，
BC1＝eq \r(B1B2＋B1C)＝＝2，
因为A1C＋BC＝A1B2，
所以A1C1⊥BC1，
所以∠CC1A1＝45°＋90°＝135°，
由余弦定理得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1cos 135°＝50，
所以A1C＝5，故CP＋PA1的最小值是5.]
