11.1.3 多面体与棱柱
课标要求 1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类. 2.认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面积.
【引入】 日常生活中常见到一些多面体，如棱柱，棱锥，棱台.它们可以是我们日常用到的物品，也可以是建筑物的形状.它们有哪些特征吗？这正是这一节我们要研究的问题.
一、多面体
【知识梳理】
多面体的有关概念
(1)定义：一般地，由若干个____________所围成的封闭几何体称为多面体.
(2)各部分名称
①面：围成多面体的各个多边形；
②棱：相邻两个面的________；
③顶点：棱与棱的公共点；
④面对角线：一个多面体中连接______________两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；
⑤体对角线：连接________________的两个顶点的线段称为多面体的体对角线；
⑥截面：一个几何体和一平面相交所得的____________(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面.
二、棱柱的结构特征
探究1 观察下列空间几何体：
(1)以上几何体有什么共同特征？
(2)①③有哪些共同特征？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】
1.棱柱的定义及表示
名称 棱柱
特征性质或定义 条件：①有两个面________；②顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形
图形表示及相关名称 棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′(或棱柱AC′)
2.棱柱的侧面积：所有侧面的面积之和.
3.棱柱的分类
(1)按底面多边形的边数
棱柱
(2)按侧棱与底面是否垂直
棱柱
(3)特殊的四棱柱
例1 (多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
思维升华 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形.
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
训练1 (1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
(2)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三、棱柱的计算问题
例2 (1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________.
(2)已知一棱柱的底面是菱形，其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，体对角线的长分别为9和15，则这个棱柱的侧面积为________.
思维升华 对于直棱柱，常考查：
(1)构造以棱为直角边的三角形求体对角线；
(2)直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和，S表＝S侧＋2S底；
(3)计算截面面积，要先确定截面的顶点和形状，再按平面多边形的计算公式求其面积.
训练2 (1)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为________.
(2)已知长方体的高为2，底面积为12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________.
四、棱柱展开图及其应用
例3 如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维升华 求几何体表面上两点间的最小距离
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
(3)结合已知条件求得结果.
训练3 已知P是棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是________.
【课堂达标】
1.(多选)经过棱柱不相邻的侧棱的截面叫做棱柱的对角面，关于棱柱的对角面，下列说法错误的是( )
A.棱柱都有对角面
B.平行六面体的对角面全等
C.直棱柱的对角面是矩形
D.正棱柱的对角面是正方形
2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
3.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
4.如图所示，关于该几何体的正确说法有__________(填序号).
①这是一个六面体；
②这是一个四棱柱；
③此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
11.1.3 多面体与棱柱
知识梳理
(1)平面多边形 (2)①公共边 ④同一面上 ⑤不在同一面上 ⑥平面图形
探究1 提示 (1)这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，这些物体统称为多面体.
(2)①与③对应空间几何体，底面互相平行，各个侧面都是平行四边形.
知识梳理
1.互相平行
例1 ABD [对于A，B，D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.]
训练1 (1)CD [A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确的是C，D.]
(2)解 ①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
例2 (1)30 (2)160 [(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30.
(2)如图，底面是菱形的直棱柱ABCD－A′B′C′D′中，两条体对角线A′C＝15，BD′＝9，侧棱长AA′＝DD′＝5，可求得AC2＝A′C2－A′A2＝152－52＝200，BD2＝D′B2－D′D2＝92－52＝56，所以AB＝BC＝CD＝AD＝＝8，
所以该棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.]
训练2 (1) (2)28 [(1)设长方体共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，
则可得其体对角线的长为
＝
＝＝.
(2)设长方体底面矩形的长与宽分别为a，b，则ab＝12.又由题意知·2＝10，解得a＝4，b＝3，故长方体的侧面积为
2×(4＋3)×2＝28.]
例3 解 将三棱柱沿AA′展开，如图所示.
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则线段AD′的长即为最小距离，最小距离为
AD′＝＝＝.
训练3 2 [由题意，若以BC为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是2.
若以BB1为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是2.故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是2.]
课堂达标
1.ABD [三棱柱没有对角面，故A错误；平行六面体的底面是平行四边形，非矩形的平行四边形的对角线不相等，故B错误；C正确；D中正棱柱的侧棱长与底面正多边形的对角线不一定相等，故对角面不一定是正方形.故D错误.]
2.D [根据题意，画出图形，如图所示，底面为正方形ABCD和正方形A′B′C′D′，底面对角线为BD＝，所以底面边长为AB＝1，又体对角线为BD′＝，
INCLUDEPICTURE"X23.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\X23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\X23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\X23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\X23.TIF" \* MERGEFORMATINET
所以高DD′＝2，所以这个棱柱的侧面积是4S四边形ABB′A′＝4×1×2＝8.]
3.12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]
4.①②③④ [①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；③④都正确，如图所示.]
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11.1.3 多面体与棱柱
第十一章 11.1 空间几何体
1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类.
2.认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面积.
课标要求
日常生活中常见到一些多面体，如棱柱，棱锥，棱台.它们可以是我们日常用到的物品，也可以是建筑物的形状.它们有哪些特征吗？这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、多面体
二、棱柱的结构特征
三、棱柱的计算问题
课堂达标
内容索引
四、棱柱展开图及其应用
多面体
一
多面体的有关概念
(1)定义：一般地，由若干个____________所围成的封闭几何体称为多面体.
(2)各部分名称
①面：围成多面体的各个多边形；
②棱：相邻两个面的________；
③顶点：棱与棱的公共点；
知识梳理
平面多边形
公共边
④面对角线：一个多面体中连接__________两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；
⑤体对角线：连接______________的两个顶点的线段称为多面体的体对角线；
⑥截面：一个几何体和一平面相交所得的__________ (包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面.
同一面上
不在同一面上
平面图形
棱柱的结构特征
二
探究1 观察下列空间几何体：
(1)以上几何体有什么共同特征？
(2)①③有哪些共同特征？
提示 (1)这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，这些物体统称为多面体.
(2)①与③对应空间几何体，底面互相平行，各个侧面都是平行四边形.
1.棱柱的定义及表示
知识梳理
名称 棱柱
特征性质或定义 条件：①有两个面__________；
②顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形
图形表示及相关名称
棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′(或棱柱AC′)
互相平行
(3)特殊的四棱柱
√
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
例1
√
√
对于A，B，D，显然是正确的；
对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.
思维升华
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形.
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
(1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是
A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
√
训练1
√
A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确的是C，D.
(2)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱
A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
棱柱的计算问题
三
(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________.
例2
(2)已知一棱柱的底面是菱形，其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，体对角线的长分别为9和15，则这个棱柱的侧面积为________.
160
思维升华
对于直棱柱，常考查：
(1)构造以棱为直角边的三角形求体对角线；
(2)直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和，S表＝S侧＋2S底；
(3)计算截面面积，要先确定截面的顶点和形状，再按平面多边形的计算公式求其面积.
(1)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为________.
(2)已知长方体的高为2，底面积为12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________.
训练2
28
(1)设长方体共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，
棱柱展开图及其应用
四
如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离.
例3
将三棱柱沿AA′展开，如图所示.
思维升华
求几何体表面上两点间的最小距离
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
(3)结合已知条件求得结果.
已知P是棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是________.
训练3
【课堂达标】
1.(多选)经过棱柱不相邻的侧棱的截面叫做棱柱的对角面，关于棱柱的对角面，下列说法错误的是
A.棱柱都有对角面 B.平行六面体的对角面全等
C.直棱柱的对角面是矩形 D.正棱柱的对角面是正方形
√
√
√
三棱柱没有对角面，故A错误；平行六面体的底面是平行四边形，非矩形的平行四边形的对角线不相等，故B错误；C正确；D中正棱柱的侧棱长与底面正多边形的对角线不一定相等，故对角面不一定是正方形.故D错误.
√
所以高DD′＝2，所以这个棱柱的侧面积是4S四边形ABB′A′＝4×1×2＝8.
3.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
12
该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.
4.如图所示，关于该几何体的正确说法有__________(填序号).
①这是一个六面体；②这是一个四棱柱；
③此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
①②③④
①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；③④都正确，如图所示.
【课时精练】
√
1.下列关于多面体的说法正确的是
A.有多个面的几何体叫多面体
B.多面体最少有3个面
C.多面体最少有3个顶点
D.多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体
多面体最少有4个顶点，4个面.
√
2.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}.这些集合之间的关系是
A.Q M N P B.Q N M P
C.P M N Q D.P N M Q
正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体.
√
3.(多选)下列关于棱柱的说法中，正确的是
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
√
√
显然A正确；底面边数量最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，当有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面时，侧面并不全等，所以C错误；易知D正确，故选ABD.
√
4.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面形状是
A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形
过底面一边的平面与上底面或所对侧面有一条交线，必定构成四边形.在正四棱柱中，底面一边与侧面垂直，故为矩形.
√
5.在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个五棱柱体对角线的条数是
A.20 B.15 C.12 D.10
如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的体对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的体对角线均有两条，共2×5＝10(条).
6.在如图所示的7个几何体中，其中的棱柱为________(填序号).
①③⑤
7.已知正六棱柱的高为5 cm，最长的体对角线为13 cm，则它的侧面积为________cm2.
180
设正六棱柱的底面边长为a cm，
则底面上最长对角线长为2a cm，
所以侧面积为5×6a＝5×6×6＝180 cm2.
8.长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________.
9.如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12 cm，体对角线AC1＝20 cm，BD1＝15 cm，求底面菱形的面积.
连接AC，BD，因为底面为菱形，则AC⊥BD.
设长方体长、宽、高分别为x，y，z，
√
11.(多选)对于棱柱而言，下列说法正确的是
A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形
B.所有的棱长都相等
C.棱柱中至少有2个面的形状完全相同
D.相邻两个面的交线叫做侧棱
√
A正确，根据棱柱的定义可知；
B错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；
C正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；
D错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是__________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.
①③④⑤
13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2.一条细线由顶点B出发沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求：
沿侧棱BB1，将正三棱柱的侧面展开，
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
得到一个矩形BB1B′1B′(如图).
由侧面展开图知，当B，M，C1三点共线时，由点B经过点M到点C1的路程最短，即BM＋MC1≥BC1，
14.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
√
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值.
其中，正确的说法是
A.①② B.①
C.①②③ D.①③
显然水的部分呈棱柱状，故①正确；易知四边形EFGH是矩形，且EH保持不变，随着倾斜度的不同，EF长度变化，
所以四边形EFGH面积也变化，故②不正确；
由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，
所以梯形ABFE的面积不变，而梯形ABFE的高不变，
所以AE＋BF是定值，故③正确，
所以四个说法中①③正确，故选D.课时精练13 多面体与棱柱
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.下列关于多面体的说法正确的是( )
有多个面的几何体叫多面体
多面体最少有3个面
多面体最少有3个顶点
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体
2.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}.这些集合之间的关系是( )
Q M N P Q N M P
P M N Q P N M Q
3.(多选)下列关于棱柱的说法中，正确的是( )
三棱柱的底面为三角形
一个棱柱至少有五个面
若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
4.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面形状是( )
矩形 三角形
梯形 菱形
5.在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个五棱柱体对角线的条数是( )
20 15
12 10
6.在如图所示的7个几何体中，其中的棱柱为________(填序号).
7.已知正六棱柱的高为5 cm，最长的体对角线为13 cm，则它的侧面积为________cm2.
8.长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________.
9.(13分)如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12 cm，体对角线AC1＝20 cm，BD1＝15 cm，求底面菱形的面积.
10.(15分)一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，求这个长方体的体对角线长.
二、综合运用
11.(多选)对于棱柱而言，下列说法正确的是( )
有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形
所有的棱长都相等
棱柱中至少有2个面的形状完全相同
相邻两个面的交线叫做侧棱
12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
13.(15分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2.一条细线由顶点B出发沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值.
三、创新拓展
14.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值.
其中，正确的说法是( )
①② ①
①②③ ①③
多面体与棱柱
1.D [多面体最少有4个顶点，4个面.]
2.D [正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体.]
3.ABD [显然A正确；底面边数量最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，当有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面时，侧面并不全等，所以C错误；易知D正确，故选ABD.]
4.A [过底面一边的平面与上底面或所对侧面有一条交线，必定构成四边形.在正四棱柱中，底面一边与侧面垂直，故为矩形.]
5.D [如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的体对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的体对角线均有两条，共2×5＝10(条).]
6.①③⑤
7.180 [设正六棱柱的底面边长为a cm，
则底面上最长对角线长为2a cm，
所以由＝13，解得a＝6，
所以侧面积为5×6a＝5×6×6＝180 cm2.]
8.3 [结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的长分别是＝＝2，＝＝3，＝，显然最小值为3.]
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9.解 连接AC，BD，因为底面为菱形，
则AC⊥BD.
由直棱柱知CC1⊥AC，DD1⊥BD，
所以AC2＝AC－CC＝202－122＝162，
即AC＝16，BD2＝BD－DD＝152－122＝81，
即BD＝9.
所以菱形的面积S＝AC·BD＝×16×9＝72(cm2).
10.解 设长方体长、宽、高分别为x，y，z，
则yz＝，xz＝，yx＝，
三式相乘得x2y2z2＝6，
即xyz＝，解得x＝，y＝，z＝1，
所以＝＝.
故长方体的体对角线长为.
11.AC [A正确，根据棱柱的定义可知；B错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；C正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；D错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.]
12.①③④⑤ [在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.]
13.解 沿侧棱BB1，将正三棱柱的侧面展开，
得到一个矩形BB1B′1B′(如图).
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(1)矩形BB1B′1B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，
所以展开图的对角线长为＝2.
(2)由侧面展开图知，当B，M，C1三点共线时，由点B经过点M到点C1的路程最短，即BM＋MC1≥BC1，
所以最短路线长为BC1＝＝2，
此时显然有△ABM≌△A1C1M.∴＝1.
14.D [显然水的部分呈棱柱状，故①正确；易知四边形EFGH是矩形，且EH保持不变，随着倾斜度的不同，EF长度变化，
所以四边形EFGH面积也变化，故②不正确；
由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，
所以梯形ABFE的面积不变，而梯形ABFE的高不变，
所以AE＋BF是定值，故③正确，
所以四个说法中①③正确，故选D.]
