【期末满分冲刺】 线段与动点、角的旋转 提升训练
【题型1 距离和差】
【例1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ．
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（ ）
A．6 B．2 C．3或5 D．2或6
【变式1-2】（23-24七年级·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）．
(1)若 满足
①当 点与 点重合时， ；
②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；
(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值．
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
【题型2 距离倍分】
【例2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号）
【变式2-1】（23-24七年级·安徽宣城·期末）点A、B、C在同一条数轴上，点A、B表示的数分别是1、﹣3，若AB＝2AC，则点C表示的数是（ ）
A．3或﹣1 B．9或﹣7 C．0或﹣2 D．3或﹣7
【变式2-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧．
(1)若线段在线段上运动．
如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果）
为线段上一点，且，，求线段的长；
(2)若线段在射线上运动，且，求线段的长．
【题型3 距离相等】
【例3】（23-24七年级·吉林·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是－3，3和1．动点P，Q两同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，求点Q所表示的数是多少；
（2）当t=0.5时，求线段PQ的长；
（3）当点P从点A向点B运动时，线段PQ的长为________（用含t的式子表示）；
（4）在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，直接写出t的值．
【变式3-1】（23-24七年级·吉林白山·期末）如图，直线上有，，三点，．直线上有两个动点，，点从点出发，以的速度沿方向运动，同时点从点出发，的速度沿方向运动，设运动时间为秒．
(1)当为多少秒时，点B是线段PQ的中点？
(2)运动过程中，当为多少秒时，点和点重合？
(3)若点运动至点右侧，则为多少秒时，线段与线段的长度相等？
【变式3-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知数轴上A，B两点对应数分别为和4，P为数轴上一动点，对应数为．
(1)若P为线段的三等分点，求P点对应的数．
(2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等．
【变式3-3】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原
点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）．
(1)线段的长度为______；
(2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示）
(3)当点、两点之间的距离为3时，求的值：
(4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值．
【题型4 动点与定点位置突变】
【例4】（23-24七年级·辽宁葫芦岛·期末）2023年6月30日，兴城西站正式投入使用，方便了广大市民的出行，下图是从北京站始发，途径兴城西站，开往沈阳南站的D21次列车的部分列车时刻表，请你仔细观察，完成下列问题：
(1)兴城西站和海城西站之间的车票一共有______种；
(2)如图所示，小明用数轴上的点A，B，C，D分别表示兴城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原点表示盘锦站，若点A表示的数为，点D表示的数为5；
①当点B是线段的三等分点（点B离点A较近），点C在线段上时，已知，求线段的长度；
②如果将次列车看作数轴上的一点P，动点P从A点出发，向x轴正方向匀速运动，若点M是线段的中点，且，求点P所表示的数．
【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）综合与实践
已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．
(1)观察发现：
直接写出线段__________．
(2)情境探究：
情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________；
情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？
(3)迁移类比：
当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长．
【变式4-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是8，是数轴上的一动点．
(1)线段的长是________________；
(2)如果点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点．求的长；
(3)若点在点右侧且与点之间的距离是3，当点满足时，请直接写出在数轴上点表示的数．
【变式4-3】（23-24七年级·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒．
(1)若时， 求的长；
(2)当P在线段上运动时，是定值吗 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；
(3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度．
【题型5 双动点位置突变】
【例5】（23-24七年级·湖北孝感·期末）如图，已知点A、B、C是直线l上的三个点，线段AB＝8厘米．
（1）若AB＝2BC，求线段AC的长度；
（2）若点C是线段AB的中点，点P、Q是直线l上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘来？
【变式5-1】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线l上有A、B两点，AB＝18cm，O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm．
（2）若动点P，Q分别从点A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．当t为何值时，2OP﹣OQ＝3cm？
【变式5-2】（23-24七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的
速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．
①求为何值，线段的长为；
②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，
(1)_______，_______；
(2)若点是线段上一点，且满足，求的长；
(3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．
①当为何值时，；
②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？
【题型6 单角突变——一边旋转】
【例6】（23-24七年级·湖北荆州·期末）如图1，直线与相交于点O，，平分，，平分．
(1)图中与互补的角是___________；
(2)求的度数；
(3)如图2，若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t
的值．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
【变式6-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，，是射线的反向延长线上的一点．现将射线绕点顺时针旋转至与射线重合为止，若射线旋转的速度为每秒，旋转时间为，则当射线，射线，射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，t的值是 ．
【变式6-2】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．
(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．
(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．
【变式6-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．
(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，．
①若射线是的奇妙线，则的度数为________；
②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？
【题型7 单角突变——两边旋转】
【例7】（23-24七年级·四川成都·期末）如图所示，是以直线上一点O为端点的三条射线，且，．以点O为端点作射线分别与射线重合，射线从处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，射线从处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线旋转至与射线重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
(1)当射线平分时，求射线旋转的时间．
(2)当射线的转速为时，求的值．
(3)若射线的转速为，
①当射线和射线重合时，求的值．
②当时，求射线旋转的时间．
【变式7-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？
(3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值。
【变式7-2】（23-24七年级·江苏无锡·期末）如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，
三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．
【变式7-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
(1)猜想：__________，并说明理由；
(2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，__________；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【题型8 图形旋转】
【例8】（23-24七年级·河南信阳·期末）将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒．
(1)如图2，当 ____秒时，平分 ；
(2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t）
(3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺
时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？
【变式8-1】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板）， ，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．
计算 当平分时，求t的值；
判断 判断与的数量关系，并说明理由；
操作 若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
【变式8-2】（23-24七年级·山东烟台·期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．
【A组研究】
在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．
（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；
（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【B组研究】
在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．
（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；
（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【变式8-3】（23-24七年级·江西景德镇·期末）点O在直线上，过点O任意作射线将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合．
(1)如图1，当平分时，请问：平分吗？请说明理由．
(2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当平分时，如图2，猜想与有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由．
(3)三角尺在旋转过程中，当在内部，且时，如图3，猜想与有何数量关系，并求出它们的等量关系式．
(4)三角尺在旋转过程中，当在射线上时，作平分，平分求的度数．【期末满分冲刺】 线段与动点、角的旋转 提升训练
【题型1 距离和差】
【例1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键．
由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答．
【详解】解：∵点为的中点，点为的中点，
∴，
∵点表示的数分别为，
∴
∴ ．
故答案为：．
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（ ）
A．6 B．2 C．3或5 D．2或6
【答案】D
【分析】此题画图时会出现两种情况，即点C在线段上，点C在线段的延长线上，再计算即可．
【详解】解：∵点A、B表示的数分别为、1，
∴．
第一种情况：C在线段的延长线上，如图，
∵，
∴；
第二种情况：C在线段上，如图，．
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式1-2】（23-24七年级·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）．
(1)若 满足
①当 点与 点重合时， ；
②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；
(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值．
【答案】(1)①；②；
(2)8或4
【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况；
（2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况．
【详解】（1）解：，
，
，
①当D点与B点重合时，
；
②如下图1，
分别为线段的中点，
，
；
如上图2，分别为线段的中点，
，
；
（2）如下图，
由题意得：
，
；
如下图，
，
．
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】/
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．
【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，
∴，．
∵线段和线段在同一直线上，
线段（A在左，B在右）的长为a，
长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，
∴分以下5种情况说明：
①当在左侧时，如图1，
即，
，
，
；
②当点D与点A重合时，如图2，
即
，
；
③当在内部时，如图3，
即
，
；
④当点C在点B右侧时，
同理可得：；
⑤当在右侧时，
同理可得：；
综上所述：线段的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
【题型2 距离倍分】
【例2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号）
【答案】①②③
【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点
可判断②；由结合线段的中点可判断③．
【详解】解：，
，
是线段的中点，
，
，
，
，
即，
故①正确；
，
，
，
M、N分别是线段、的中点，
，
，
，
故②正确；
M、N分别是线段、的中点，
，
，
，
，
故③正确；
故答案：①②③．
【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键．
【变式2-1】（23-24七年级·安徽宣城·期末）点A、B、C在同一条数轴上，点A、B表示的数分别是1、﹣3，若AB＝2AC，则点C表示的数是（ ）
A．3或﹣1 B．9或﹣7 C．0或﹣2 D．3或﹣7
【答案】A
【分析】由已知可得AB＝4，分点C在A左边和点C在A右边两种情况来解答．
【详解】解：AB＝1﹣（﹣3）＝4，
当C在A左边时，
∵AB＝2AC，
∴AC＝2，
此时点C表示的数为1﹣2＝﹣1；
当点C在A右边时，此时点C表示的数为1+2＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离；本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
【变式2-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍，
∴，
设，则，
∴，
，
∴，
故选：D．
【变式2-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧．
(1)若线段在线段上运动．
如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果）
为线段上一点，且，，求线段的长；
(2)若线段在射线上运动，且，求线段的长．
【答案】(1) ；线段的长为或；
(2)线段的长为或．
【分析】（）利用三等分点的定义求出，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；分当点在点的右侧和点在点的右侧，点在点的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；
（）分当线段在线段上、点在的延长线上，点在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；
本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，∵点为线段的三等分点（），
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
如图，当点在点的右侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时，
设，则，，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
∴线段的长为或；
（2）解：如图，当线段在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
如图，当点在的延长线上，点在线段上时，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，不合，舍去；
如图，当线段在线段的延长线上时，
设，则，，，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
【题型3 距离相等】
【例3】（23-24七年级·吉林·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是－3，3和1．动点P，Q两同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P到达点B时，求点Q所表示的数是多少；
（2）当t=0.5时，求线段PQ的长；
（3）当点P从点A向点B运动时，线段PQ的长为________（用含t的式子表示）；
（4）在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，直接写出t的值．
【答案】（1）2；（2）1.5；（3）4-5t或5t-4；（4）或或或
【分析】（1）先计算出点P到达点B时运动的时间，再计算出点Q相同时间内运动的路程，进而可得答案；
（2）利用路程=速度×时间，分别计算出当t=0.5时点P、Q运动的路程，即AP和CQ的长，再根据PQ=AQ－AP计算即可；
（3）分点P、Q重合前与重合后两种情况，画出图形，根据PQ=AQ－AP（重合前）与PQ=AP－AQ（重合后）列式化简即可；
（4）分点P从点A向点B运动和点P从点B向点A运动时两种情况，每种情况再分点P、Q在点C异侧和点C同侧，用含t的代数式分别表示出CP和CQ，即可列出方程，解方程即可求出结果.
【详解】解：（1），，所以点Q所表示的数是2；
（2）当t=0.5时，AP=6×0.5=3，CQ=1×0.5=0.5，所以PQ=AQ－AP=AC+CQ－AP=4+0.5－3=1.5；
（3）在点P从点A向点B运动时，若点P、Q重合，则，解得：；
当时，如图1，；
当时，如图2，.
故答案为：4－5t或5t－4；
（4）当点P从点A向点B运动时，若P，Q两点到点C的距离相等，则有如下两种情况：
①点P、Q在点C两侧，如图3，根据题意，得：，解得：；
②点P、Q在点C右侧，此时P、Q重合，由（3）题得：；
当点P从点B向点A运动时，若P，Q两点到点C的距离相等，也有如下两种情况：
③点P、Q在点C右侧，此时P、Q重合，根据题意，得：，解得：；
④点P、Q在点C两侧，如图4，根据题意，得：，解得：.
综上，在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，或或或.
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、线段的和差关系和一元一次方程的解法等知识，正确理解题意、全面分类、灵活运用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.
【变式3-1】（23-24七年级·吉林白山·期末）如图，直线上有，，三点，．直线上有两个动点，，点从点出发，以的速度沿方向运动，同时点从点出发，的速度沿方向运动，设运动时间为秒．
(1)当为多少秒时，点B是线段PQ的中点？
(2)运动过程中，当为多少秒时，点和点重合？
(3)若点运动至点右侧，则为多少秒时，线段与线段的长度相等？
【答案】(1)秒
(2)秒
(3)秒
【分析】本题考查一元一次方程的应用，中点的定义，数轴上两点之间的距离，
（1）由中点定义可得，列出方程可求解；
（2）由题意可得，列出方程可求解；
（3）根据题意列出方程可求解；
找到正确的数量关系并列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点B是线段PQ的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴当为秒时，点B是线段PQ的中点；
（2）当点和点重合时，则，
由题意可得：，
∴，
∴当为秒时，点和点重合；
（3）当点在点右侧，且线段与线段的长度相等，
∴，
∴，
∴当为秒时，线段与线段的长度相等．
【变式3-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知数轴上A，B两点对应数分别为和4，P为数轴上一动点，对应数为．
(1)若P为线段的三等分点，求P点对应的数．
(2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等．
【答案】(1)0或2
(2)或
(3)2分或5分或8分
【分析】（1）根据题意结合图形即可解决问题；
（2）分点P在线段的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题．
（3）设运动时间为t分，根据题意得：t分后点A对应的数为，点P对应的数为，点B对应的数为
，然后分三种情况，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵点A、B的对应的数分别为，4，
∴，
∵P为线段的三等分点，
∴点P对应的数为0或2；
（2）解：存在．
设点P对应的数为x，
∵P点到A点、B点距离之和为10，
∴点P在A点的左侧或B点的右侧，
∴或，
解得：或；
（3）解：设运动时间为t分，
根据题意得：t分后点A对应的数为，点P对应的数为，点B对应的数为，
∵点A和点P的速度相同，
∴点P始终为点A的右侧，
当点P到点A，B的距离相等，即时，
，
解得：；
当点B点A，点P的距离相等，即时，
，
解得：；
当点A到点B，点P的距离相等，即时，
，
解得：
∴经过时间2分或5分或8分时，其中一个点到另外两个点的距离相等．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，明确命题中的数量关系，正确列出方程．
【变式3-3】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度
的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）．
(1)线段的长度为______；
(2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示）
(3)当点、两点之间的距离为3时，求的值：
(4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值．
【答案】(1)27
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）根据动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，即可得到答案；
（3）根据、两点之间的距离为3时，列方程或，求解即可；
（4）由题意可知其中一个点是另外两个点的中点，分三种情况：①是的中点时；②是的中点；③是的中点；分别求解即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：27．
（2）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，
∴在数轴上对应的数为，
故答案为：．
（3）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，
∴在数轴上对应的数为，
点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒，
当点、两点之间的距离为3时，或，
当时，解得：，
当时，解得：，
综上，当点、两点之间的距离为3时，或；
（4）当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，即：其中一个点是另外两个点的中点，
①是的中点时，得，解得；
②是的中点，得，解得；
③是的中点，得，解得；
综上，或或．
【题型4 动点与定点位置突变】
【例4】（23-24七年级·辽宁葫芦岛·期末）2023年6月30日，兴城西站正式投入使用，方便了广大市民的出行，下图是从北京站始发，途径兴城西站，开往沈阳南站的D21次列车的部分列车时刻表，请你仔细观察，完成下列问题：
(1)兴城西站和海城西站之间的车票一共有______种；
(2)如图所示，小明用数轴上的点A，B，C，D分别表示兴城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原点表示盘锦站，若点A表示的数为，点D表示的数为5；
①当点B是线段的三等分点（点B离点A较近），点C在线段上时，已知，求线段的长度；
②如果将次列车看作数轴上的一点P，动点P从A点出发，向x轴正方向匀速运动，若点M是线段的中点，且，求点P所表示的数．
【答案】(1)12
(2)①；②点P所表示的数为或11
【分析】本题考查了线段数量问题，线段的和差计算，一元一次方程的应用；
（1）转化为线段的数量问题，即可求解；
（2）①根据题意得出，根据点B是线段的三等分点（点B离点A较近），得出，进而根据得出，进而根据，即可求解；
②因为点M是线段的中点，，则，设点P表示的数为x，分当点P在点D的左侧时，当点P在点D的右侧时， 分别列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）兴城西站和海城西站之间共4个站点，则车票一共有
兴城西站和海城西站之间的车票一共有12种
故答案为：12
（2）①因为点A表示的数为，点D表示的数为5
所以
因为点B是线段的三等分点（点B离点A较近）
所以
因为，
所以
因为
所以
②因为点M是线段的中点，
所以
设点P表示的数为x
当点P在点D的左侧时，
由题意可列方程为：
解得：
所以点P所表示的数为
当点P在点D的右侧时，
由题意可列方程为：
解得：
所以点P所表示的数为11
综上所述，点P所表示的数为或11
【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）综合与实践
已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．
(1)观察发现：
直接写出线段__________．
(2)情境探究：
情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________；
情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？
(3)迁移类比：
当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长．
【答案】(1)12
(2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变．
(3)6
【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键．
（1）根据两点间的距离求解即可；
（2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可；
情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可；
（3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可．
【详解】（1）．
故答案为：12；
（2）情境①：如图，
∵点P为线段的中点，
∴．
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
故答案为：6；
情境②：∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
∴，
∴的长度不变；
（3）∵M为的中点，N为的中点，
∴，，
∴．
【变式4-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是8，是数轴上的一动点．
(1)线段的长是________________；
(2)如果点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点．求的长；
(3)若点在点右侧且与点之间的距离是3，当点满足时，请直接写出在数轴上点表示的数．
【答案】(1)12
(2)6
(3)17 或5
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可；
（2）根据中点的定义得出，，再用计算即可；
（3）分点P在点B左侧和当点P在点B右侧，两种情况，根据列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：线段的长是；
（2）∵点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
∴；
（3）设点P表示的数为x，
∵点在点右侧且与点之间的距离是3，
∴点表示的数为，
∵，
∴点P在点C右侧，
∴当点P在点B左侧时，
，
解得：，
当点P在点B右侧时，
，
解得：，
综上：点P表示的数为17 或5．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法是解决本题的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒．
(1)若时， 求的长；
(2)当P在线段上运动时，是定值吗 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；
(3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
(3)
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．
（1）当时，，则，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，根据，求解作答即可；
（3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵M 为的中点，
∴，
∴，
∴的长为．
（2）解：当P在线段上运动时， 是定值；
由题意知，，，
∴，
∴是定值，定值为；
（3）解：当P在线段上运动时，如图1，
图1
由题意知，，
∴；
当P在线段的延长线上运动时，如图2，
图2
由题意知，，
；
综上所述，的长度为．
【题型5 双动点位置突变】
【例5】（23-24七年级·湖北孝感·期末）如图，已知点A、B、C是直线l上的三个点，线段AB＝8厘米．
（1）若AB＝2BC，求线段AC的长度；
（2）若点C是线段AB的中点，点P、Q是直线l上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘来？
【答案】（1）12厘米；（2），经过或1或3秒或9秒时线段PQ的长为5厘米
【分析】（1）根据线段的和差倍分即可得到结论；
（2）由于BC＝4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，当线段PQ的长为5厘米时，可分四种情况进行讨论：点P向左、点Q向右运动；点P、Q都向右运动；点P、Q都向左运动；点P向右、点Q向左运动；都可以根据线段PQ的长为5厘米列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）点C在点B的左侧，如图1，
∵AB＝8厘米，AB＝2BC，
∴BC＝4厘米，
∴AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4厘米；
点C在点B的右侧，如图2，
∵AB＝8厘米，AB＝2BC，
∴BC＝4厘米，
∴AC＝AB+BC＝8+4＝12厘米；
（2）∵点C是线段AB的中点，
∴BC＝4厘米，
设运动时间为t秒，PQ＝5厘米．
①如果点P向左、点Q向右运动时，如图3，
由题意，得：t+2t＝5﹣4，
解得t＝；
②点P、Q都向右运动时，如图4，
由题意，得：2t﹣t＝5﹣4，
解得t＝1；
③点P向右、点Q向左运动，如图5，
由题意，得：2t﹣4+t＝5，
解得t＝3；
④点P、Q都向左运动，如图6
由题意，得：2t﹣t＝5+4，
解得t＝9．
综上所述，经过或1或3秒或9秒时线段PQ的长为5厘米．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求解.
【变式5-1】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线l上有A、B两点，AB＝18cm，O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm．
（2）若动点P，Q分别从点A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．当t为何值时，2OP﹣OQ＝3cm？
【答案】（1）12，6．（2）3 s或11s
【分析】（1）由OA＝2OB，OA+OB＝18，即可求出OA、OB．
（2）①分两种情形当点P在点O左边时，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝8，当点P在点O右边时，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，解方程即可．
【详解】解：（1）∵AB＝18 cm，OA＝2OB，
∴2OB+OB＝18 cm，
∴OB＝6 cm，OA＝12 cm，
故答案分别为12，6．
（2）①当点P在点O左边时，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝3，t＝3，
当点P在点O右边时，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，t＝11，
∴t＝3 s或11s时，2OP﹣OQ＝3 cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．
①求为何值，线段的长为；
②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、
为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①或或；②存在，
【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得，
【详解】（1）解：，，
故答案是：16，8；
（2）①当M、N第一次相遇时，，
当M到达E点时，，
如图1，
当时，，
∴，
如图2，
当时，，
∴，
如图3，
当时，，
∴，
综上所述：或或；
②如图4，
当时，
由得，，
∴，
如图5，
当时，，
∴，此时不构成四边形，舍去
综上所述：．
【变式5-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，
(1)_______，_______；
(2)若点是线段上一点，且满足，求的长；
(3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．
①当为何值时，；
②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？
【答案】(1)8，4
(2)
(3)①或②
【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离：
（1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段上的一点，可设的长是，根据，列出方程求解即可；
（3）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可；②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8，4；
（2）设的长是，
当点在线段上时，如图：
则：，解得：；
当点在线段上时，如图：
则：，解得：（舍去）；
故的长是；
（3）①由题意，得：，，则：，
当在线段上时，，由题意，得：，
解得：，
当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：；
综上：或；
②∵，
∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：，
当点与点重合时，所需时间为：秒，
∴点行驶的总路程是．
【题型6 单角突变——一边旋转】
【例6】（23-24七年级·湖北荆州·期末）如图1，直线与相交于点O，，平分，，平分．
(1)图中与互补的角是___________；
(2)求的度数；
(3)如图2，若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
【答案】(1)和
(2)
(3)1或13或25
【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；
（2）利用求出，利用角平分线求出，求出，求出，角平分线，求出，即可得解；
（3）分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴互补的角是：和；
故答案为：和；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①当平分时，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
②平分时，
则：，
∴
∴；
③当平分时：
则：，
∴，
∴点旋转的角度为：，
∴；
综上：的值为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，，是射线的反向延长线上的一点．现将射线绕点顺时针旋转至与射线重合为止，若射线旋转的速度为每秒，旋转时间为，则当射线，射线，射线分别构成两个相等的角（重合除外）时，t的值是 ．
【答案】4或
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的定义，先根据平角的定义得到，再分当时，当时，两种情况建立方程求解即可．
【详解】解：∵没有旋转前，
∴
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为4或，
故答案为：4或．
【变式6-2】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．
(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．
(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．
【答案】(1)；
(2)秒或秒．
【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解；
（2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的“三分角”，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的平分线，
∴，
∵是的“三分角”，
∴，
分两种情况讨论，
当，此时秒；
当，此时秒；
综上，t的值为秒或秒．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键．
【变式6-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．
(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，．
①若射线是的奇妙线，则的度数为________；
②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？
【答案】(1)是
(2)①或或；②或或
【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可；
（2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可；
②射线是的奇妙线，在的内部，在的内部，然后分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义，
故答案为：是；
（2）解：①，射线是的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论：
当时，
∵，
∴；
当时，
∵
∴；
当时，
∵，
∴；
故答案为：20或30或40；
②∵射线是的奇妙线，
∴在的内部，
∴在的内部；
分三种情况：
（Ⅰ）如图，当时，如图所示：
∴
∴；
（Ⅱ）如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
（Ⅲ）当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的奇妙线．
【点睛】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
【题型7 单角突变——两边旋转】
【例7】（23-24七年级·四川成都·期末）如图所示，是以直线上一点O为端点的三条射线，且，．以点O为端点作射线分别与射线重合，射线从处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，射线从处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线旋转至与射线重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
(1)当射线平分时，求射线旋转的时间．
(2)当射线的转速为时，求的值．
(3)若射线的转速为，
①当射线和射线重合时，求的值．
②当时，求射线旋转的时间．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②5秒或70秒
【分析】本题主要是考查了角的和差计算，以及一元一次方程的应用，
（1）根据题意求得，当射线平分时，，此时旋转的度数为：，旋转的时间：．
（2）求出射线、射线旋转的度数，画出图形，根据角的和差即可求解；
（3）①根据和的转速，即可求解；
②设射线旋转的时间为，则分为2种情况讨论：①当和在未重合之前；②当和在重合之后．
【详解】（1）解：∵，
∴当射线平分时，，
∴此时旋转的度数为：，
∵射线从处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，
∴旋转的时间：．
（2）∵射线的转速为，射线从处开始绕点O顺时针匀速旋转，
∴时，，
∵射线从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为，
∴时，，
如图，
∴，
∴；
（3）①当射线和射线重合时，；
∴；
②设射线旋转的时间为，
当和在未重合之前，，；
当和在重合之后，，解得；
∵按题目条件射线旋转至与射线重合时停止，
∴，即，
∴时，早已停止运动，但未停止，因此第二种情况．
故当时，射线旋转的时间为5秒或70秒
【变式7-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？
(3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值。
【答案】(1)
(2)
(3)的值可为5或10或或
【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键．
（1）根据，，进行求解即可；
（2）根据角平分线的定义进行求解即可；
（3）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
，
．
（2）解：平分，平分，
，，
，
，
．
（3）
解：①当、同向运动追上前，
，，
，
，
解得：；
②当、同向运动追上后，
，
，
解得：；
③当、相向运动相遇前，，
，，
，
解得：；
④当、相向运动相遇后，，
，
解得：；
综上所述，的值可为5或10或或．
【变式7-2】（23-24七年级·江苏无锡·期末）如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．
【答案】或或8
【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由题意可得，在旋转过程中，，，，根据角平分线的定义分四种情况讨论，分别解方程求解即可．
【详解】解：设经过的时间为x秒，
，，，
在旋转过程中，，，，
令，，
解得：，．
即当时，三条射线停止运动．
①当为、夹角的角平分线时，
．
，
解得：，
此时，不合题意；
②当为、夹角的角平分线时，
．
，
解得：；
③当为、夹角的角平分线时，
．
解得：；
④当为、夹角的角平分线时，
．
解得：；
综上可知，运动或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线，
故答案为：或或8．
【变式7-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
(1)猜想：__________，并说明理由；
(2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，__________；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)180，理由见解析
(2)①60；②，理由见解析
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义：
（1）根据题意可得，再由，即可求解；
（2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
根据题意得：，
∵，
∴；
故答案为：180
（2）解：①当秒时，，
∵与互余，
∴；
故答案为：60
②，理由如下：
如图，
根据题意得：，
∵射线始终平分，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型8 图形旋转】
【例8】（23-24七年级·河南信阳·期末）将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒．
(1)如图2，当 ____秒时，平分 ；
(2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t）
(3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得 根据题意求解即可．
（2）根据题意得，进而求得． ，即可得到结论；
（3）根据题意得，求得． ，分情况列方程求解即可得到结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴；
（3）解：∵，，
或
解得 或
【变式8-1】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板）， ，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．
计算 当平分时，求t的值；
判断 判断与的数量关系，并说明理由；
操作 若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作：
【分析】本题主要考查角度的和差关系和角平分线性质，计算：根据角平分线性质得，结合旋转速度即可求的时间；判断：分两种情况和，分别求得和即可找得到关系；操作：由题意知和，即可得，进一步可求得和，即可发现其关系．
【详解】解：计算
∵，平分，
∴，
∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
∴．
∴t的值为2.25．
判断
当时，如图1，
据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，如图2，
据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴；
操作
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
【变式8-2】（23-24七年级·山东烟台·期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．
【A组研究】
在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．
（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；
（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【B组研究】
在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．
（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；
（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【答案】（1）；（2）不变，；（3）；（4）不变，
【分析】（1）根据即可求得答案；
（2）根据条件得，又因为，得出答案；
（3）根据 ，得出答案；
（4）根据=，得出答案；
【详解】解: (1) ，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
，
故答案为：；
(2)不变；
∵，
∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，
∴，
，
=，
=，
=；
(3) ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：60°；
(4)不变，
由题意得，，
，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论．
【变式8-3】（23-24七年级·江西景德镇·期末）点O在直线上，过点O任意作射线将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合．
(1)如图1，当平分时，请问：平分吗？请说明理由．
(2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当平分时，如图2，猜想与有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由．
(3)三角尺在旋转过程中，当在内部，且时，如图3，猜想与有何数量关系，并求出它们的等量关系式．
(4)三角尺在旋转过程中，当在射线上时，作平分，平分求的度数．
【答案】(1)平分
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质求解即可．
（2）根据角平分线的性质求解即可．
（3）设，得出，然后进行计算即可．
（4）设，得，然后进行计算即可．
【详解】（1）解：平分．
理由：如图1，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：．
理由：延长至H，
，
，
平分，
由上题可得平分，，
，
．
（3）解：设，
，
，
即 ．
（4）解：设，
得，
．
