2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷
一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：.故选：A
2. 函数y =的定义域是（ ）.
A 、(-3, 2] U [2, +∞) B 、(-3, -2] U [-2,+∞)
C 、(-3, 2) U ( 2, +∞) D 、(-3, -2) U (-2,+∞)
答案：C
3.已知角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），则sinα＝（ ）
A． B． C． D．不确定
【解答】解：角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），
则．故选：C．
4.命题“ " x ≤0, ln(x+1)=0 ”的否定为（ ）
A． $x 0, ln(x+1) ≠ 0 B． $x > 0, ln(x+1) = 0
C． "x 0, ln(x+1) = 0 D．" x > 0,ln(x+1) ≠ 0
答案：A
5.已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【详解】依题意可得,所以,
又的图象经过点,所以,解得,
所以.故选：D.
6.不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1） C．（－1，4） D．
【答案】C
【详解】
因为不等式可化为:
解得:
所以解集为:.，故选:C.
7.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数的周期为，
的图像向右平移个单位，
得，即
8.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
选：C.
【详解】因为，，，
又，
所以.
9.已知中，，，，则等于（ ）．
A．或 B． C． D．或
【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.
【详解】解：∵，，，
∴由得，
，∴B＝或.故选：A.
【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.
10. 向量，若，则k的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】由题意得=(1，-2)，因为，所以-2k-2=0，解得k=
11.数据8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位数是( )
A.5 B.6 C.7.5 D.8
答案：B.
12.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，
则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，
所以正四面体的外接球体积为．
故选：A
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13.已知复数，且│z│=，则 .
答案：±3.
14.已知函数，则 .
【答案】.
15. 函数f = 的最小正周期为2,则ω= .
答案：±π
16. 若，则的最小值为 .
【答案】9.
【详解】，所以，
则
17.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
【答案】 【解析】P=.
18.某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为 .
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
答案：447.
【解题思路】根据随机数表，数字要求500以内（含500），且不重复选取，写出前4个可得答案.
【解答过程】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得： 366，010，118，447,…
故抽到第四件产品的编号为447.
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19.的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
20.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值，并求出此时x的值．
【答案】(1)，
(2)当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．
【解析】（1）由题设，得………………………………………….…………….……2分
，…………………………………………….……………4分
．…………………………………………………………..5分
（2）因为，所以，…………………………………….……7分
当且仅当=60时等号成立，从而．………………………………..9分
故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．………10分
21.第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，
（1）求在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生数量；
（2）求候选者面试成绩的中位数.
解：（1）成绩在区间的频率为，故人数有；
（2）设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得.
22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．
（1）证明：
（2）若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
【小问1详解】
如图1，连接BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，且，，，
所以，，AB CD
所以，
所以，
所以，所以，
又因为，，BD，PD平面PBD，
所以平面PBD，
因为PB平面PBD，所以，
因为AB CD，所以．
【小问2详解】
在△ABC中，因为，，，则
，
设点A到平面PBC的距离为d，
由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC，
又因为平面PBC，平面PBC，所以AD 平面PBC，
所以，
因为，所以，
设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，
所以，
在△PBC中，，，，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
记直线AC与平面PBC所成角为θ，则，
所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷
一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 函数y =的定义域是（ ）.
A 、(-3, 2] U [2, +∞) B 、(-3, -2] U [-2,+∞)
C 、(-3, 2) U ( 2, +∞) D 、(-3, -2) U (-2,+∞)
3.已知角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），则sinα＝（ ）
A． B． C． D．不确定
4.命题“ " x ≤0, ln(x+1)=0 ”的否定为（ ）
A． $x 0, ln(x+1) ≠ 0 B． $x > 0, ln(x+1) = 0
C． "x 0, ln(x+1) = 0 D．" x > 0,ln(x+1) ≠ 0
5.已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6.不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．
7.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
8.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9.已知中，，，，则等于（ ）．
A．或 B． C． D．或
10. 向量，若，则k的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．
11.数据8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位数是( )
A.5 B.6 C.7.5 D.8
12.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13.已知复数，且│z│=，则 .
14.已知函数，则 .
15. 函数f = 的最小正周期为2,则ω= .
16. 若，则的最小值为 .
17.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
18.某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为 .
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19.的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值，并求出此时x的值．
21.第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，
（1）求在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生数量；
（2）求候选者面试成绩的中位数.
22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．
（1）证明：
（2）若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
