3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（同步检测）
一、选择题
1.已知椭圆C 的短轴长与焦距相等，则离心率e为( )
A. B.
C. D.
2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
4.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
5.椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8.(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是( )
A.1 B.
C. D.
二、填空题
9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是___________________
10.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0
12.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是_________________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________
三、解答题
13.已知椭圆C1：＋＝1.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
14.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．
15.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得，2b＝2c，∴b＝c，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.
2.A 解析：由题意知c＝3，＝，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为＋＝1.
3.A 解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
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依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆离心率e＝.
4.C 解析：如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形 |PF2|＝|F2F1| 2＝2c e＝＝.
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5.C 解析：由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，∴≤2c，e≥.又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是.
6.A 解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝．
7.AD 解析：由题意可知，解得a＝3，b＝2，c＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
8.CD 解析：当0
故正数m的值可以是或.
二、填空题
9.答案：＋＝1或＋＝1
解析：因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A是短轴的端点．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
10.答案：(2,4]
解析：∵e＝，b＝1,0
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
12.答案：＋＝1，[0,12]
解析：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，则椭圆的方程为＋＝1，
所以点A的坐标为(－2,0)，点F的坐标为(－1,0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4．
因为x∈[－2,2]，所以·∈[0,12]．
三、解答题
13.解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点；
③顶点：长轴端点为(0,10)，(0，－10)，短轴端点为(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
⑤离心率：e＝.
14.解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
15.解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，k>0，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（同步检测）
一、选择题
1.直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A.k<－或k> B.k≤－或k≥
C.－
A. B.
C. D.
4.已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为( )
A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0
5.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
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A. B. C. D.
6.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )
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A. B. C. D.
7.(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B.－
C.－ D.
8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是( )
A.a1＋c1＞2(a2＋c2) B.a1－c1＝a2－c2
C.e1＝ D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
二、填空题
9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A489.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A489.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A489.TIF" \* MERGEFORMATINET
10.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________
11.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________
12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．
三、解答题
13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．
INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A494.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A494.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A494.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)求“挞圆”的方程；
(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A 解析：由消去y得(4＋9k2)x2－18k2x＋9k2－36＝0，
Δ＝(－18k2)2－4(4＋9k2)(9k2－36)＝576(2k2＋1)，易知Δ>0恒成立，
∴直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为相交．
2.B 解析：将y＝kx＋2代入椭圆方程＋＝1，消去y，可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
∴Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48，
∵直线和椭圆有公共点，∴72k2－48≥0，∴k≤－或k≥.
3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝，
整理得a＝59c，即＝. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
4.B 解析：过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.
5.C 解析：设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得＝cos 60°，即a＝2b，所以e＝＝＝.
6.B 解析：如图，l1，l2 是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，
INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A493.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A493.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A493.TIF" \* MERGEFORMATINET
∴AC＝2R＝22，R＝11，
过点C作CE∥BD 交l1于点E，则CE＝BD，
在△ACE 中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R，
∴c＝＝R，∴e＝＝＝.
7.AB 解析：由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
解得k＝±．
8.ABC 解析：对A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；对B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；对C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得＝＝，即e1＝，所以选项C正确；对D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．故选ABC．
二、填空题
9.答案：32
解析：设椭圆方程为＋＝1，当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米．
10.答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1.②
∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1.
∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，∴y1－y2＝－(x1－x2)．
由①②两式相减可得＋＝0，即＋·＝0.∴a＝b，∴c＝b，∴e＝＝.
11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)
解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3.
由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
12.答案：0.22
解析：由条件可得，竞技场的总面积为π××＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为≈≈0.22(平方米)．
三、解答题
13.解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离d＝＝.
由得即P.
14.解：(1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)，得2x＋y＝2，①
2x＋y＝2，②
①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－，即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
15.解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)．
(2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，
则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0.
所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，
当且仅当＝时，S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。
