【能力提升】一元一次方程的应用 题型归纳
【题型 1 行程问题】
【例1】（2024秋 绿园区月考）一个大从县城骑车去乡村．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，需要再骑2千米才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程．
【分析】设原来的速度为x米/分．30x是全程的一半，（x+50）×20+2000，表示路程的一半，列方程求出原来的速度，再乘以30分钟就是路程的一半，乘以2就是全程的路程．
【解答】解：设原来的速度是每分钟行x米，根据题意列方程得：
30x＝（x+50）×20+2000，
解得x＝300，
300×30×2＝18000（米）＝18（千米）．
答：县城到乡村的总路程是18千米．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，运用方程求出原来的速度，再运用“速度×时间＝路程”求出全程的路程．
【变式1-1】（2024 雷州市开学）甲、乙二人分别开私家小轿车同时从徐闻大汉三墩旅游区（汉代海上丝绸之路始发巷）出发前往麻章湖光岩风景名胜区自驾游．已知当甲走了全程的时，乙离湖光岩风景名胜区还有99千米；当甲再走剩下路程的一半时，乙正好走了一半的路程（全程中，甲、乙速度均不变）．
（1）徐闻大汉三墩旅游区与麻章湖光岩风景名胜区相距多少千米？
（2）若甲用1小时30分钟跑完全程，则乙跑完全程的速度是多少？
【分析】（1）根据甲两次行的路程相等，计算出乙第一次行了全程几分之几；再根据乙离湖光岩风景名胜区99千米，占全程的几分之几，列出方程解答．
（2）先算出甲的速度；再根据甲乙两车的速度比，计算出乙的速度．
【解答】解：（1）设徐闻大汉三墩旅游区与麻章湖光岩风景名胜区相距x千米．
[1（1）]x＝99，
x＝99，
x＝132，
答：徐闻大汉三墩旅游区与麻章湖光岩风景名胜区相距132千米．
（2）132÷1.5＝88（千米），
3：4，
8866（千米/小时），
答：乙跑完全程的速度是66千米/小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到题的等量关系来列方程．
【变式1-2】（2024 苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 90 分钟，从B站到C站行驶了 60 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
① ．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
【分析】（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出v2，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分25≤t＜90，90≤t≤100，100＜t≤110，110＜t≤150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60＝150分钟，G1002次列车从A站到C站共需35+60+30＝125分钟，
∴150v1＝125v2，
∴，
故答案为：；
②∵v1＝4（千米/分钟），，
∴v2＝4.8（千米/分钟），
∵4×90＝360（千米），
∴A与B站之间的路程为360千米，
∵360÷4.8＝75（分钟），
∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，
由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，
i．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴4t﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝75（分钟）；
ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴360﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝87.5（分钟），不合题意，舍去；
ⅱi．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣360＝60，
t＝112.5（分钟），不合题意，舍去；
iv．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣[360+4（t﹣110）]＝60，
t＝125（分钟）；
综上所述，当t＝75或125时，|d1﹣d2|＝60．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
【变式1-3】（2024秋 南岗区月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：
（1）船在静水中的平均速度；
（2）甲、乙两地之间的距离．
【分析】（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为x km/h，进而列方程求解即可；
（2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）设船在静水中的速度为x km/h，依题意得：
2（x+3）＝2.5（x﹣3），
解得x＝27，
∴船在静水中的平均速度为27km/h，
答：船在静水中的平均速度为27km/h；
（2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h，
∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km），
∴甲乙两码头之间的距离60km．
答：甲乙两码头之间的距离60km．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键．
【题型 2 工程问题】
【例2】（2024秋 香坊区期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣200）人，
于是（2x﹣200）+x＝1000，
解得：x＝400，
所以生产盲盒B的工人人数为400人，
答：生产盲盒B的工人人数为400人；
（2）设安排m人生产A，则安排（1000﹣m）人生产B，
于是3×20m＝2×10（1000﹣m），
解得：m＝250，
∴1000﹣m＝1000﹣250＝750（人），
所以该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套，
答：该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋 陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，
每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16×15＞140，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润5000元即可求出利润；
方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工6×15＝90吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；
方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润．
【解答】解：方案一：可获利润为：5000×140＝700000（元）；
方案二：15天可精加工6×15＝90（吨），
说明还有50吨需要直接销售，
故可获利润：7500×90+1200×50＝735000（元）；
方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，
由题意得：15，
解得：x＝60，
故可获利润7500×60+5000×80＝850000（元），
∵850000＞735000＞700000，
所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．
【点评】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式2-2】（2024秋 道里区月考）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整16平方米，乙队计划每天修整24平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙
队要多用20天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天．
（1）求这项工程共需修整绿化带多少平方米？
（2）此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%，且每天工资随之上涨了20%，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？
（3）在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资300元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？
【分析】（1）设这项工程共需修整绿化带x平方米，由题意得：，即可求解；
（2）设甲队工作时间为t天，则乙队工作时间为（2t+4）天，由题意得：16t+24t+24（1+25%）（2t+4﹣t）＝960，即可求解；
（3）分别计算单独聘用甲队所需费用、乙队按原速原价所需费用、按（2）的方式所需费用即可判断；
【解答】解：（1）设这项工程共需修整绿化带x平方米，
由题意得：，
解得：x＝960，
经检验，x＝960是方程的根，
∴这项工程共需修整绿化带960平方米；
（2）设甲队工作时间为t天，则乙队工作时间为（2t+4）天，
由题意得：16t+24t+24（1+25%）（2t+4﹣t）＝960，
解得：t＝12，
∴2t+4＝28，
∴乙队共修整28天；
（3）①单独聘用甲队所需费用为：（元）；
②乙队按原速原价所需费用为：（元）；
③按（2）的方式所需费用为：（800+1200）×12+300×28+1200×（1+20%）（28﹣12）＝55440（元）；
∴按（2）的方式更省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
【变式2-3】（2023秋 岳阳期末）（列方程解应用题）为了打赢蓝天保卫战，共筑魅力和谐长沙，长沙市环
保局对湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天完成30米，乙工程队每天完成50米．
（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？
（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙工程队分别整治了多长的河道？
【分析】（1）整治这段河道任务用了x天，根据“甲的工作量+乙的工作量＝2400”列出方程并解答．
（2）设甲工程队整治的河道长a米，则乙工程队整治的河道长（2400﹣a）米，根据“根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合两队共用时60天”列出方程并解答．
【解答】解：（1）整治这段河道任务用了x天，
根据题意得：30x+50x＝2400，
解得 x＝30．
答：甲、乙两个工程队合作完成，整治这段河道任务用了30天．
（2）设甲工程队整治的河道长a米，则乙工程队整治的河道长（2400﹣a）米，根据题意得
60．
解得a＝900，
因此2400﹣a＝2400﹣900＝1500（米）
答：甲工程队整治的河道长900米，则乙工程队整治的河道长1500米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-4】（2024 耒阳市开学）有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早几天完工？需要支付速度最快的队伍多少元？
【分析】设甲队的工作效率为x，则乙队的工作效率为x，丙队的工作效率为（x），根据甲、丙两队合作，12天可以完成，即可列出关于x的一元一次方程，解方程，进而求出最快的比最慢的早的天数，再设甲队每天的费用为y元，则需要支付速度最快的队伍15y元，乙队每天的费用为（1800﹣y）元，丙队每天的费用为（y﹣1200）元，根据甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，即可
列出关于y的一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设甲队的工作效率为x，则乙队的工作效率为x，丙队的工作效率为（x），
根据题意可得：x（x），
解得：x，
∴x，（x），
∴甲队单独施工，需要15天完成；
乙队单独施工，需要30天完成；
丙队单独施工，需要60天完成，
∴如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早60﹣15＝45（天）完工，
设甲队每天的费用为y元，则需要支付速度最快的队伍15y元，乙队每天的费用为（18000﹣y）元，即（1800﹣y）元，丙队每天的费用为[12000﹣（1800﹣y）]元，即（y﹣1200）元，
根据题意可得：12y+12（y﹣1200）＝15000，
解得：y＝1225，
∴15y＝15×1225＝18375，
答：如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早45天完工，需要支付速度最快的队伍18375元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【题型 3 配套问题】
【例3】（2024秋 南岗区期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【分析】（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，根据男生人数比女生人数多2人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即男生的人数），再将其代入（48﹣x）中，即可求出女生人数；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据这节课制作的盒底的总数量是制作的盒身总数量的2倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，
根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2，
解得：x＝25，
∴48﹣x＝48﹣25＝23．
答：七年级四班有男生25人，女生23人；
（2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，
根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y），
解得：y＝3．
答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋 龙门县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【分析】（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人“得：16+x＝3x+4，可解得答案；
（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得240y×2＝400（22﹣y），即可解得答案．
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得x＝6，
∴调入6名工人；
（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），
设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，
∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴240y×2＝400（22﹣y），
解得y＝10，
∴22﹣y＝22﹣10＝12，
答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
【变式3-2】（2024 九龙坡区模拟）某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同．
（1）前3天应先安排多少名工人生产？
（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？
【分析】（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据这批订单的生产任务量不变，可列出关于x的一元一次方程（a当成常量），解之即可得出结论；
（2）设应安排y名工人生产A型配件，则安排（15+6﹣y）名工人生产B型配件，根据每天生产的A型和B型配件刚好配套，可列出关于y的一元一次方程，解之可求出y的值（即安排生产A型配件的工人人数），再将其代入（15+6﹣y）中，即可求出安排生产B型配件的工人人数．
【解答】解：（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，
根据题意得：150a＝3ax+（x+6）a×5，
即3x+5（x+6）＝150，
解得：x＝15．
答：前3天应先安排15名工人生产；
（2）设应安排y名工人生产A型配件，则安排（15+6﹣y）名工人生产B型配件，
根据题意得：，
解得：y＝13，
∴15+6﹣y＝15+6﹣13＝8（人）．
答：应安排13名工人生产A型配件，8名工人生产B型配件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023秋 信州区期末）某工厂现有15m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿．
（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少m3．
（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：
①如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
②如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【分析】（1）设用x m3木料制作桌面，则用（15﹣x）立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可．
（2）①设用am3木料制作桌面，则用（15﹣a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．②设用y m3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）设用x m3木料制作桌面，则用（15﹣x）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得
40x＝20（15﹣x），
解得：x＝5，
答：制作桌面的木料为5m3．
（2）①设用am3木料制作桌面，则用（15﹣a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得
4×50a＝300（15﹣a），
解得：a＝9，
∴制作桌腿的木料为：15﹣9＝6（m3）．
答：用9m3木料制作桌面，用6m3木料制作桌腿恰好配套．
②设用y m3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得
4×20320，
解得y＝12，
∴15﹣12＝3m3，
答：用12m3木料制作桌面，用3m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题的关键．
【变式3-4】（2024 新城区模拟）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽
车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲零件或2000个乙零件，2个甲零件要配3个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？
【分析】先设生产甲零件的工人有x人，则生产乙零件的工人有（38﹣x）人，然后根据每人每天可以生产1200个甲零件或2000个乙零件，2个甲零件要配3个乙零件，可以列出方程．
【解答】解：设生产甲零件的工人有x人，则生产乙零件的工人有（38﹣x）人，
由题意可得：1200x×3＝2000（38﹣x）×2，
解得x＝20，
∴38﹣x＝18，
答：生产甲零件的工人有20人，生产乙零件的工人有18人．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【变式3-5】（2023秋 舞阳县期末）某工厂车间有28个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
（1）求该工厂有多少工人生产A零件？
（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
【分析】（1）设该工厂有x名工人生产A零件，根据一个A零件配两个B零件可知，每天生产的两种零件恰好配套，则生产B零件的个数是A零件个数的2倍，根据这一相等关系列方程求出x的值即可；
（2）设从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，则调整后生产A、B零件的人数、生产数量及获得利润可用含y的式子表示，原来7名工人生产A零件、21名工人生产B零件，获得的利润可以求出来，这两个利润的差是600元，根据这一数量关系列方程求出y的值即可．
【解答】解：（1）设该工厂有x名工人生产A零件，
根据题意得2×18x＝12（28﹣x），
解得x＝7，
答：该工厂有7名工人生产A零件．
（2）设从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，
根据题意得10×18（7+y）+5×12（21﹣y）﹣（7×10×18+21×5×12）＝600，
解得y＝5，
答：从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解．
【题型 4 销售盈亏问题】
【例4】（2024秋 南岗区期中）某家电商场在双十一活动前共投入68000元，购进A、B两种品牌的微波炉共100台，其中A品牌微波炉每台进价是500元，B品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进A、B两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，A品牌微波炉每台售价800元，B品牌微波炉每台按进价加价25%销售，求全部售磬后，该家电商场共获利多少元？
（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批A、B两种品牌的微波炉进行销售，其中A品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；B品牌微波炉购进数量增加10%，进价不变，售价提高10%，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台B品牌微波炉打九折出售？
【分析】（1）设购进x台A品牌微波炉，则购进（100﹣x）台B品牌微波炉，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进A品牌微波炉的数量），再将其代入（100﹣x）中，即可求出购进B品牌微波炉的数量；
（2）利用总利润＝每台的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（3）设有y台B品牌微波炉打九折出售，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进x台A品牌微波炉，则购进（100﹣x）台B品牌微波炉，
根据题意得：500x+800（100﹣x）＝68000，
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60．
答：购进40台A品牌微波炉，60台B品牌微波炉；
（2）根据题意得：（800﹣500）×40+800×25%×60
＝300×40+800×25%×60
＝12000+12000
＝24000（元）．
答：全部售磬后，该家电商场共获利24000元；
（3）设有y台B品牌微波炉打九折出售，
根据题意得：（800﹣500﹣50）×40+[800×（1+25%）×（1+10%）﹣800]×[60×（1+10%）﹣y]+[800×（1+25%）×（1+10%）×90%﹣800]y＝27600，
解得：y＝20．
答：有20台B品牌微波炉打九折出售．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋 漳州期末）漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱．
（1）求这批蜜柚有多少千克？
（2）某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
红蜜柚 2.8 5
白蜜柚 2.2 3.5
求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？
【分析】（1）设这批蜜柚有x千克，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）设这批蜜柚有红蜜柚a千克，则白蜜柚有 （400﹣a） 千克，根据题意列出一元一次方程，得出红蜜柚和白蜜柚的质量，进而求出利润即可．
【解答】解：（1）设这批蜜柚有x千克，
根据题意，得 ，
解得 x＝400，
∴这批蜜柚有400千克．
（2）设这批蜜柚有红蜜柚a千克，则白蜜柚有 （400﹣a） 千克，
根据题意，得2.8a+2.2（400﹣a）＝970，
解得 a＝150，
则400﹣a＝250，
所以这批蜜柚有红蜜柚150千克，白蜜柚250千克．
所以销售完这批蜜柚的利润为（5﹣2.8）×150+（3.5﹣2.2）×250＝655（元）．
∴这家水果店销售完这批蜜柚可以获得655元利润．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意题意，找准等量关系列出方程是解题关键．
【变式4-2】（2023秋 沂南县期末）某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
每天售出的数量（支） ﹣2 +4 0 ﹣5 +7
（1）在这5天中，第一天售出该种钢笔 18 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 12 支；
（2）求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润；
（3）该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案：
方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元；
方案二：每支均打七五折销售．
在促销期间，王老师在该文具店购买x（x＞5）支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同．
【分析】（1）认真读懂题意，列列算式求值即可；
（2）按照题目给出的两种方案和数值，列数式求值比较即可；
（3）按照题目给出的两种方案，列出代数式，由两种方案价格相同列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知：在这5天中，第一天售出该种钢笔 20﹣2＝18（支），
销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔支数：7﹣（﹣5）＝12（支），
故答案为：18；12；
（2）（12﹣6）×[20×5+（﹣2+4﹣5+7）]＝624（元），
∴该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元；
（3）方案一：12×5+（12﹣4）×（x﹣5）＝8x+20（元），
方案二：12×0.75x＝9x（元），
∵两种方案价格相同，
∴8x+20＝9x，
∴x＝20，
∴购买钢笔20支时两种方案价格相同．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出正确的代数式．
【变式4-3】（2023秋 淄博期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%？
【分析】（1）设每件服装的标价是x元，根据每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元得：0.5x+20＝0.8x﹣40，即可解得答案；
（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，根据售价＝进价×（1+利润率）得：200（0.5×200+20）×（1+50%），可解得答案．
【解答】解：（1）设每件服装的标价是x元，
根据题意得：0.5x+20＝0.8x﹣40，
解得x＝200，
∴每件服装的标价是200元；
（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，
根据题意得：200（0.5×200+20）×（1+50%），
解得m＝9，
答：打9折销售能恰好保证利润率为50%．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握标价，售价，进价，利润，折扣的关系列出一元一次方程．
【变式4-4】（2023秋 凤翔区期末）某一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部
分打七折优惠
（1）A种商品每件进价为 40 元，每件B种商品利润率为 60% ；
（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？
【分析】（1）设A种商品每件进价为a元，利用利润＝售价﹣进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率＝利润÷进价×100%，即可求出每件B种商品利润率；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，由题意得40x+50（50﹣x）＝2100，再解方程即可；
（3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分450＜y≤600及y＞600两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款522元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种商品每件进价为a元，
依题意得：60﹣a＝50%a，
解得：a＝40，
∴A种商品每件进价为40元，
每件B种商品利润率为．
故答案为：40；60%．
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，
由题意得40x+50（50﹣x）＝2100，
解得：x＝40．
即购进A种商品40件，B种商品10件．
（3）设小华打折前应付款y元．
当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即450＜y≤600，
由题意得0.9y＝522，
解得y＝580，
当打折前购物金额超过600元，即y＞600，
600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522，
解得：y＝660．
综上所得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
【变式4-5】（2023秋 广汉市期末）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为40%；乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件进价为 50 元，每件乙种商品利润率为 50% ；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于560元 不优惠
超过560元，但不超过700元 按售价打九折
超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？
【分析】（1）根据商品利润率＝（商品售价﹣商品成本）÷商品售价×100%，可求每件乙种商品利润率，甲种商品每件进价；
（2）首先设出购进乙商品的件数，然后根据“同时购进甲、乙两种商品共30件”表示出购进甲商品的件数；然后根据“恰好用去1320元”列方程求出未知数的值，即可得解；
（3）根据小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，可分类讨论：小贺一次性购买乙种商品超过560元，但不超过700元；超过700元，根据优惠条件分别计算．
【解答】解：（1）设甲种商品的进价为a元，
则70﹣a＝40%a，
解得a＝50，
即甲种商品每件进价为50元，
100%＝50%，
即每件乙种商品利润率为50%，
故答案为：50；50%；
（2）设该商场购进乙种商品x件，根据题意可得：
50（30﹣x）+40x＝1320，
解得：x＝18，
答：该商场购进乙种商品18件；
（3）设小贺在该商场购买甲种商品b件，
①当购物金额超过560元，但不超过700元时，
70b×0.9＝630，
解得：b＝10；
②当购物金额超过700元时，
700×0.87+（70b﹣700）×0.3＝630，
解得：b＝11．
答：小贺在该商场购买甲种商品10或11件．
【点评】考查了一元一次方程的应用，在解析的过程中应该知道商品数为整数，有时有几个答案，应该注意，不要遗漏．
【题型 5 比赛积分问题】
【例5】（2024秋 南岗区期中）“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
（1）由表格知，答对一题得 5 分，答错一题得 ﹣1 分；
（2）第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【分析】（1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分；
（2）设答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论．
【解答】解：（1）七年18班的第一组6名同学，共设20道选择题，由表格中参赛者A的成绩可知：
每答对一道题得100÷20＝5（分）；
由表格中参赛者B的成绩可知：
每答错一道题扣（19×5﹣94）÷1＝1（分），
故答案为：5，﹣1；
（2）设答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，根据题意，得：
5x﹣（20﹣x）＝82，
解得x＝17，
答：答对了17道题．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程．
【变式5-1】（2023秋 谷城县期末）某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）这次竞赛中答对一题得 5 分，答错一题得 ﹣1 分；
（2）参赛者F得分为82分，求他答错了几道题？
（3）参赛者G说他的得分为75分，你认为可能吗？请说明理由．
【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分＝总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+答错的得分＝80分建立方程求出其解即可，注意y要为整数．
【解答】解：（1）由题意，得，
答对一题的得分是：100÷20＝5（分），
答错一题的得分是：94﹣19×5＝﹣1（分）．
故答案为：5，﹣1；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意得：
5x﹣（20﹣x）＝82，
∴5x﹣20+x＝82，
∴6x＝102，
∴x＝17，
20﹣17＝3．
答：参赛者得82分，他答错了3道题；
（3）假设他得75分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意得5y﹣（20﹣y）＝75，
∴5y﹣20+y＝75，
∴6y＝95，
∴y，
∵y为整数，
∴参赛者说他得75分，是不可能的．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键．
【变式5-2】（2024 邱县一模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金 （元/人） 1500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？
【分析】（1）设A队胜利x场，则平了12﹣x场，根据总积分为20分列出方程即可求解；
（2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题．
【解答】解：（1）设A队胜利x场，
∵一共打了12场，
∴平了12﹣x场，
∴3x+（12﹣x）＝20，
解得：x＝4；
∴12﹣x＝8，
∴A队胜4场，平8场；
（2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为1500×4＝6000元，
平了8场，奖金为700×8＝5600元，
∴奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设A队胜利x场，列出方程求解是解题的关键．
【变式5-3】（2023秋 章贡区期末）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛．如表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
（1）本次比赛中，胜一场积 3 分；
（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出F代表队胜出的场数．
【分析】（1）根据B队的比赛场数和积分可以得到胜一场的积分；
（2）根据表格中的数据可以计算出胜一场、平一场和负一场的积分，从而可以列出相应的方程，解答本题．
【解答】解：（1）本次比赛中，胜一场积：18÷6＝3（分），
故答案为：3；
（2）设F代表队胜出x场，则平了（10﹣x﹣1）场，输了1场，
由（1）知，胜一场积分为3分，
则平一场积分为：16﹣3×5＝1（分），
则负一场积分为：11﹣3×3﹣1×2＝0（分），
3x+1×（10﹣x﹣1）+1×0＝23，
解得，x＝7，
答：F代表队胜出7场．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
【变式5-4】（2022秋 硚口区期末）下表是某市大学生中国象棋锦标赛第一阶段比赛的部分参赛队的不完整积分表．
参赛队 局次 胜 和 负 积分
A 9 6 3 0 21
B 9 5 3 1 18
C 9 1 14
D 9 2 4 3 10
E 9 0 0 9 0
观察表格，请解决下列问题：
（1）本次比赛胜一局得 3 分，和一局得 1 分，负一局得 0 分．
（2）根据积分规则，请求出C队在已经进行的9局比赛中胜、和各多少局？
（3）此次比赛每个队共对弈21局，若D队最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为D队的最终得分可以等于39分吗？
【分析】（1）根据E队负了9局，得了0分可知，负一场得0分，设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛队可知，和一场得分，根据B参赛队，胜5场，和3场，负1场得18分，列出方程，解方程即可；
（2）设C队在已经进行的9局比赛中胜y局、和（9﹣1﹣y）局，根据得分为14分，列出方程，解方程即可；
（3）设D队最终胜的局数为m局，则负的局数为局，根据得分为3，列出方程，解方程，得出
，根据m必须取整数，得出D队的最终得分不可能等于3．
【解答】解：（1）∵E参赛队负了9局，得了0分，
∴负一场得0分，
设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛队可知，和一场得分，根据B参赛队，胜5场，和3场，负1场得18分，
可列方程，，
解得：x＝3，
则，
故答案为：3；1；0；
（2）解：设C队在已经进行的9局比赛中胜y局、和（9﹣1﹣y）局，根据题意得：3y+（9﹣1﹣y）＝14，
解得：y＝3，9﹣1﹣3＝5（局），
答：C队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局．
（3）解：设D队最终胜的局数为m局，则负的局数为局，
根据题意可得：3m+21﹣m39，
解得：m＝12，
∴D队的最终得分可能等于39．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据表格信息，找出等量关系，列出方程，准确解方程．
【题型 6 方案选择问题】
【例6】（2023秋 武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 1800 元；若该球馆按方案二购买，需付款 1890
元；
（2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
（3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）认真读懂题意，按照两种付费方案列代数式；
（2）由（1）得代数式相等，求x值即可；
（3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，计算出应付钱数．
【解答】解：（1）方案一需付款：150×10+（x﹣20）×15＝（15x+1200）元，
方案二需付款：（150×10+15x）×90%＝（13.5x+1350）元；
当x＝40时，方案一需付款＝15x+1200＝15×40+1200＝1800（元），
方案二需付款：13.5x+1350＝13.5×40+1350＝1890（元）；
故答案为：1800元，1890元；
（2）根据题意可列方程为：13.5x+1350＝15x+1200，
解得：x＝100，
答：当x＝100时，分别用两种方式购买所需费用一样；
（3）购买10副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，20盒乒乓球采用第二种方案，
∴应付钱数：10×150+（40﹣20）×15×90%＝1770（元）．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式．
【变式6-1】（2024秋 合肥期中）因教学需要，学校准备订购50个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：
A方案：买一个排球送一根跳绳；
B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款．
假设订购跳绳x根（x＞50）．
（1）若按A方案购买，一共需付款 （5000+20x） 元；若按B方案购买，一共需付款 （5400+18x） 元；（用含x的式子表示）
（2）购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？
【分析】（1）要购买排球50个，跳绳x根（x＞50），按A方案购买，需付款的跳绳为（x﹣50）根，根
据单价列出代数式整理即可；按B方案购买，需付款的跳绳为x根，根据单价列出代数式求出总价乘以90%，整理即可；
（2）由（1）列等式求解即可．
【解答】解：（1）要购买排球50个，跳绳x根（x＞50），
由题意可知：
按A方案购买，需付款的跳绳为（x﹣50）根，
故一共需付款：120×50+20（x﹣50）
即：（5000+20x）；
按B方案购买，需付款的跳绳为x根，
故一共需付款：90%（120×50+20x）
即：（5400+18x）；
故答案为：（5000+20x），（5400+18x）；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即5000+20x＝5400+18x，
解得x＝200．
答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
【点评】本题考查了列代数式和列方程解决实际问题，解题的关键是根据题意正确列代数式．
【变式6-2】（2024秋 大连期中）暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折．
当参加研学的总人数是x（x＞50）时．
（1）请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元；
（2）当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由；
（3）当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合研学社给出两种优惠方案，即可用含x的代数式分别表示采用两种优惠方案的收费；
（2）代入x＝90，求出采用两种优惠方案的收费，比较后即可得出结论；
（3）根据采用两种方案的收费是一样的，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：采用方案一的收费为（1600+320x）元；
采用方案二的收费为400×0.9（x﹣5）＝（360x﹣1800）元；
（2）采用方案一更省钱，理由如下：
当x＝90时，1600+320x＝1600+320×90＝30400；
360x﹣1800＝360×90﹣1800＝30600．
∵30400＜30600，
∴采用方案一更省钱；
（3）根据题意得：1600+320x＝360x﹣1800，
解得：x＝85．
答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式分别表示采用两种优惠方案的收费；（2）代入x＝90，求出采用两种优惠方案的收费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式6-3】（2024秋 南岗区月考）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
（1）每件服装标价多少元？
（2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费．
（3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？
【分析】（1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可；
（2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可；
（3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设每件服装标价x元，
则：0.95x﹣0.8x＝15
解得：x＝100，
答：每件服装标价为100元；
（2）30000÷80＝375＞100，
甲厂可以购进服装：（30000+50）÷（80×0.95）+3×35500（件），
∴在甲厂可购进500件服装的费用为：（500﹣3×35）×（80×0.95）﹣50＝29970（元），
服装店在甲服装厂购进服装利润为：80×500﹣29970＝10030（元），
乙厂：30000÷（80×0.8﹣4）＝500（件）
∴在乙厂可购进500件服装，
∴在甲厂可购进500件服装的费用为30000﹣500×0.12＝29940（元），
则服装店在乙服装厂购进服装利润为：500×80﹣29940＝10060（元）；
∵10060＞10030，
∴该服装店在乙服装厂购进服装利润最高；
（3）设需在购进y件服装，由（2）知，进价为：80×0.8﹣4＝60（元），
现标价为：60×（1+50%）＝90（元），
按进价的基础上每件服装加价50%销售的服装有：（500+y）（1﹣20%）＝400+0.8y（件），
按5折出售的服装有：（500+y）20%＝100+0.2y（件），
售价为：90×50%＝45（元），
则90（400+0.8y）+45（100+0.2y）﹣29940﹣60y＝14949，
36000+72y+4500+9y﹣29940﹣60y＝14949，即21y＝4389，
解得：y＝209，
答：需要在购进209件服装．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，找到相等关系是解题的关键．
【题型 7 数字问题】
【例7】（2024秋 沙坪坝区期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的
和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）．
（1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 15 ；
（2）请把﹣2，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方；
拓展延伸：
（3）如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把﹣5，﹣2，1，4，7，10，13，16，19分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和S都相等．请填出使S的值最大时的一种情形，并直接写出S的最大值和最小值．
【分析】（1）求出第一行三个数的和即可；
（2）所有数据的和除以3，求出每一行，每一列和对角线上的点数和，将9个数排序，中间的数字填写在幻方的中央位置，再根据和的情况进行填写即可；
（3）当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，当3个顶点的数为﹣5，﹣2，1时，和最小，进行求解即可．
【解答】解：（1）4+9+2＝15；
故答案为：15；
（2）（﹣2﹣5+4+1+7+10+13+16+19）÷3＝21，
∴和均为21，
∵﹣5，﹣2，1，4，7，10，13，16，19位于中间的数据为7，
∴幻方最中间的数为7，
（3）要求三角形的每条边上的4个数的和S都相等．
∴当3个顶点处的数字为3个最大的数时，和最大，
∴当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，
∴S＝（﹣2﹣5+1+4+7+10+13×2+16×2+19×2）÷3＝37，
当3个顶点处的数字为3个最小的数字时，和最小，
∴当3个顶点的数为﹣5，﹣2，1时，和最小，
∴S＝（﹣2×2﹣5×2+1×2+4+7+10+13+16+19）÷3＝19．
【点评】本题考查有理数的运算，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键是正确进行计算．
【变式7-1】（2024秋 邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等．
（1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ 1 ，b＝ 7 ；
（2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值．
【分析】（1）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于a（b）的一元一次方程，解之即可得出a（b）的值；
（2）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，可列出关于m（n）的一元一次方程，解之可得出m（n）的值，再将其代入mn中即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：2+5+8＝6+a+8，2+5+8＝2+b+6，
解得：a＝1，b＝7．
故答案为：1，7；
（2）根据题意得：2×（）×（﹣3）＝﹣3×2×m，2×（）×（﹣3）＝2×2×n，
解得：m，n＝2，
∴mn＝（）2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式7-2】（2024秋 江汉区期中）材料：
幻方起源于中国，如左图是中国文化中最古老的事物之一——“洛书”，将图中的各处点数顺次填到如图的正方形方格中，就得到一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，如图的幻方和是15．
问题：
下列三个图都是没有填完整的幻方．
（1）如图（1），直接写出图中x，y值以及幻方和；
（2）如图（2），将﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9等9个数填到幻方的方格中；
（3）如图（3），已知三个数a，b，c，当x＝﹣1时，代数式ax4+bx3+c（1﹣x）﹣2的值为2024，直接写出方格①中填入的数字．
【分析】（1）由第三列即可求得幻方和；由第一行、第三行即可求得x与y的值；
（2）由于9+（﹣7）＝7+（﹣5）＝5+（﹣3）＝3+（﹣1）＝2，1+2＝3，故只要第二行第二列填上1，其它行列或对角线的数的和为3，即可完成；
（3）当x＝﹣1时，代数式ax4+bx3+c（1﹣x）﹣1的值为2024，则可得a﹣b+2c＝2026；设幻方和为n，①为数x，则可以表示其它五个数，再根据对角线上的和为n，即可求解．
【解答】解：（1）幻方和为﹣2+8+6＝12，
而x+12+（﹣2）＝12，10+y+6＝12，
∴x＝2，y＝﹣4；
∴幻方和为12；
（2）幻方如下：
﹣1 9 ﹣5
﹣3 1 5
7 ﹣7 3
（3）当x＝﹣1时，代数式ax4+bx3+c（1﹣x）﹣2的值为2024，即a﹣b+2c﹣2＝2024，
∴a﹣b+2c＝2026；
设幻方和为n，①为数x，则幻方如下：
x b n﹣x﹣b
a n﹣a﹣c c
n﹣a﹣x a+c﹣b x+b﹣c
∵x+n﹣a﹣c+x+b﹣c＝n，
即a﹣b+2c＝2x，
∴2x＝2026，
即x＝1013．
【点评】本题考查了有理数的加法运算，列代数式及整式的加减，理解幻方每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等是解题的关键．
【变式7-3】（2024秋 南海区期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和＝中心数×3．
（1）如图2所示，则幻和＝ ﹣6 ；
（2）若b＝4，c＝6，求a的值是 8 ；
（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为多少？（写出求解过程）
【分析】（1）由幻和＝中心数×3直接可得答案；
（2）根据对角线、横行、纵列的数字之和都相等可求出a的值；
（3）用x，y，m，n表示a，b，c，d，代入a﹣b﹣c+d可得答案．
【解答】解：（1）∵幻和＝中心数×3，
∴幻和＝﹣2×3＝﹣6；
故答案为：﹣6；
（2）如图：
∵幻和＝﹣6，
∴d＝﹣6﹣b﹣（﹣2）＝﹣6﹣4+2＝﹣8，f＝﹣6﹣c﹣（﹣2）＝﹣6﹣6+2＝﹣10，
∴e＝﹣6﹣c﹣d＝﹣6﹣6﹣（﹣8）＝﹣4，
∴a＝﹣6﹣f﹣e＝﹣6﹣（﹣10）﹣（﹣4）＝8；
故答案为：8；
（3）∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
∴a＝n+y，b＝x+n，c＝x+m，d＝m+y，
∴a﹣b﹣c+d＝n+y﹣x﹣n﹣x﹣m+m+y＝﹣2（x﹣y），
∵x＝2，y＝﹣3，
∴a﹣b﹣c+d＝﹣2×（2+3）＝﹣10，
∴a﹣b﹣c+d的值为﹣10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，充分利用幻和解决问题．
【变式7-4】（2024秋 昆明月考）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．
（1）如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为 15 ；
（2）①如图3，当a＝ ﹣3 时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等；
②若将﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则b＝ 3 ；
（3）将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由．
【分析】（1）列式计算即可；
（2）①根据题意，列出方程进行计算即可；
②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可．
（3）设阴影方框的中央位置的数为x，根据题意，列出方程求出x的值，进行判断即可．
【解答】解：（1）4+5+6＝15；
故答案为：15；
（2）①由题意得：3+a﹣9＝3﹣7﹣5，
解得a＝﹣3；
故答案为：﹣3；
②根据题意得3×3b＝﹣5﹣3﹣1+1+3+5+7+9+11，
解得b＝3；
故答案为：3；
（3）不正确，
理由：设阴影方框的中央位置的数为x，
由题意得3×3x＝189，
解得x＝21；
不存在阴影方框，其中央数字为21；
故该同学的说法不正确．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍是解题的关键．
【变式7-5】（2024秋 浦东新区月考）如图1，将九个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．
（1）请利用三阶幻方的性质填满图2；
（2）走法是每步直一格再斜一格，即先横着或直着走一格，然后再斜着走一个对角线，可进可退．中国象棋中的马可越过河界，俗称“马走日”，则在图二的左下角一点放入一个马，是否可以不遗漏的走完图二边框的所有点？若能，请直接写出最少需要几步，若不能，请说明理由．
【分析】（1）设其余六个位置分别为A、B、C、D、E、F，依据题意得到[（﹣4）+8+A]+[B+C+（﹣2）]＝[（﹣4）+C+D]+（A+B+D），求得D，再求出C、F，然后可求出三个数字的和，即可求解；
（2）应用例举法逐一分析即可．
【解答】解：（1）设其余六个位置分别为A、B、C、D、E、F，如图：
∴[（﹣4）+8+A]+[B+C+（﹣2）]＝[（﹣4）+C+D]+（A+B+D），
∴（﹣4）+8+（﹣2）＝（﹣4）+D+D，
∴D＝3，
∵（﹣4）+8+A＝A+C+3，
∴C＝1，
∵（﹣4）+8+A＝A+（﹣2）+F，
∴F＝6，
∴（﹣4）+1+6＝3，
∴A＝3﹣（﹣4）﹣8＝﹣1，
B＝3﹣（﹣4）﹣3＝4，
E＝3﹣3﹣6＝﹣6，
∴从左到右且从上到下依次是：﹣4，8，﹣1，4，1，﹣2，3，﹣6，6，
如图：
（2）能，如图：
∴最少需要17步才能不遗漏的走完图二边框的所有点．
【点评】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法，掌握数字规律是解题的关键．
【题型 8 几何问题】
【例8】（2024秋 香坊区月考）某公园有一处长方形空地如图1所示，它的长是10米，宽是长的．
（1）求长方形的宽；
（2）为美化环境，现计划将大长方形内部建一个小长方形花坛（花坛的宽度忽略不计），如图2，小长方形的面积比剩余空白部分面积大，求剩余空白部分的面积；
（3）在（2）的条件下，在小长方形花坛中种植花卉，在剩余空白部分铺草坪，经市场调研了解，种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，求种草的总费用比种植花卉的总费用节约几分之几．
【分析】（1）根据长宽关系列式求解即可；
（2）设空白部分的面积为x平方米，由小长方形的面积比剩余空白部分面积大求出小长方形的面积，再根据小长方形的面积与剩余空白部分面积等于大小长方形的面积列方程即可；
（3）先根据（2）求出小长方形的面积，设种草的成本为y元，根据种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，列方程求出种草的成本，再分别求出种草的总费用，种植花卉的总费，进而求出节约了多少．
【解答】解：（1）长方形的宽为（米），
答：长方形的宽为6米；
（2）设空白部分的面积为x平方米，则小长方形的面积为平方米，
由题意得，，
解得：x＝24，
所以剩余空白部分的面积为24平方米，
答：剩余空白部分的面积为24平方米；
（3）由（2）知小长方形的面积为：（平方米），
设种草的成本为y元，
由题意得，，
解得：y＝8，
所以种草的总费用为24×8＝192元，种植花卉的总费用10×36＝360（元），
所以种草的总费用比种植花卉的总费用节约．
答：种草的总费用比种植花卉的总费用节约．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系式．
【变式8-1】（2024 南海区开学）足球的表面是由若干块黑色五边形的白色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共有32块皮块，白色皮块占球面的表面积约是黑色皮块所占的表面积的1.5倍，已知球体的表面积计算公式是S＝4πR2（R为球的半径）．
（1）黑色和白色皮块各有多少块？
（2）若一个足球的半径R为10cm，黑色皮块所占的面积约为多少？（π取3.14）
【分析】（1）利用皮x块的总数作为相等关系列方程求解．即黑色皮块数+白色皮块数＝32．
（2）设黑色皮块所占的面积为S，则白色皮块所占的面积为1.5S，根据球体的表面积计算公式，即可得出关于S的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，
根据题意列方程：3x+5x＝32，
解得：x＝4，
则黑色皮块有：3x＝12个，
白色皮块有：5x＝20个．
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
（2）设黑色皮块所占的面积为S cm2，则白色皮块所占的面积为1.5S cm2，
根据题意得：S+1.5S＝4π×102，
解得：S＝160π≈502.4．
答：黑色皮块所占的面积约为502.4cm2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．此题的关键是要知道相等关系为：黑色皮块数+白色皮块数＝32，并能用x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来．
【变式8-2】（2024春 萨尔图区期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【分析】设原来正方形纸的边长是x cm，则第一次剪下的长条的长是x cm，宽是5cm，第二次剪下的长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm；然后根据第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【解答】解：设原来正方形纸的边长是x cm，则第一次剪下的长条的长是x cm，宽是5cm，第二次剪下的长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm，
由题意得：5x＝6（x﹣5），
解得：x＝30，
则30×5＝150（cm2）．
答：每一个长条的面积为150cm2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式8-3】（2024春 宜城市期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案．
【分析】首先根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，以及使甲、乙两种作物的总产量的比是 2：1，得出两部分面积之比，进而得出边长之比，即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，
∴要使甲、乙两种作物的总产量的比是 2：1，
则设种植甲作物的面积为：x m2，则种植乙作物的面积为：（20000﹣x）m2，
∴4（20000﹣x）＝x，
解得：x＝16000，
∴种植乙作物的面积为：20000﹣16000＝4000，
分法：
的种植长度为200m，宽度80m，或者长度为160m，宽度为100m，即乙的种植长度200m，宽度20m或者长度40m，宽度为100m．
即可得出符合要求的两部分．
如图所示：
【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及一元一次方程的应用，根据已知得出两部分面积之比是解题关键．
【变式8-4】（2024春 镇平县月考）如图，在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝5cm，BC＝9cm，请认真观察思考并解答如下问题：
（1）求小长方形的长和宽；
（2）直接写出阴影部分图形的总面积为 15cm2 ．
【分析】（1）根据图形设小长方形的长为x cm，则宽为（5﹣x）cm，然后根据BC为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列方程，求出x，即可得出答案；
（2）再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设小长方形的长为x cm，则宽为（5﹣x）cm，
由题意得x+3（5﹣x）＝9，
解得x＝3，
5﹣3＝2（cm），
答：小长方形的长为3cm，宽为2cm．
（2）阴影部分图形的总面积为：
5×9﹣5×3×2＝15（cm2），
故答案为：15cm2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式8-5】（2023秋 惠东县期末）综合运用
如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm．点P从点B开始以2cm/s的速度沿B→C→A的方向移动，终点为A；点Q从点A开始以1cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，终点为C．如果点P，点Q同时出发，用t（s）表示移动时间．
（1）点P到达终点时所需时间为 9 s，点Q到达终点时所需时间为 14 s；
（2）若点P在线段BC上运动，点Q在线段AB上运动，试求出t为何值时，BQ＝BP；
（3）点Q在运动时，试求出t为何值时，三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的．
【分析】（1）分别计算出各自运动的路程，除以各自的速度就是所求的时间；
（2）根据运动，分别表示出BQ和BP的长度，列出方程计算即可；
（3）先计算出三角形ABC面积，然后分点Q在AB和BC上，两种情况计算即可．
【解答】解：（1）点P到达终点时所需时间为：（8+10）÷2＝9（s），
点Q到达终点时所需时间为：（6+8）÷1＝14（s），
故答案为：9，14；
（2）当P在线段BC上运动，Q在线段AB上运动，
BQ＝（6﹣t）（cm），BP＝2t（cm），
∵BQ＝BP，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2，
∴t为2s时，BQ＝BP；
（3）当Q在AB上时，AQ＝t（cm），
∵三角形QAC的面积等于三角形ABC面积，
∴S△QACS△ABC，
即8t6×8，
解得t＝2，
当Q在BC上时，CQ＝（14﹣t）（cm），
∵三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的，
∴S△QACS△ABC，
即6（14﹣t）6×8，
解得t，
∴t为2s或s时，三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的．
【点评】本题考查了一元一次方程的运用，列代数式，运动的规律是解题的关键．
【变式8-6】（2024秋 沙坪坝区期中）工人将一个长方形纸块ABCD进行切割，得到如图所示的3个长方形，其中AD＝26cm，AB＝8cm，ED＝a cm，AG＝b cm．
（1）如图1，若长方形AGHE与长方形EFCD的周长相等，请用含a的代数式表示AG的长度和长方形GBFH的周长；
（2）如图2，将长方形EFCD按照虚线继续切割成两个小长方形分别作为一个长方体的上、下底面，将长方形GBFH折叠为这个长方体的侧面，若b＝2cm，请求出此长方体的体积．
【分析】（1）由周长相等可得AG＝（2a﹣18）cm，代入周长公式即可得解；
（2）由EF＞GB确定长方体的展开图，由GH＝AE得出a的值，进而即可求出长方体的体积；
【解答】解：（1）长方形AGHE与长方形EFCD的周长相等，其中AD＝26cm，AB＝8cm，ED＝a cm，AG＝b cm．
∴2AG+2AE＝2AB+2ED，
∵ED＝a cm，AD＝26cm，AB＝8cm，
∴2AG+2（26﹣a）＝2×8+2a，
∴AG＝（2a﹣18）cm，
∴长方形GBFH的周长＝2GB+2GH＝2（AB﹣AG）+2AE＝2（8﹣2a+18）+2（26﹣a）＝（104﹣6a）cm；
（2）∵EF＞GB，
∴所围成的长方体展开图如图2，
∴GH＝2EF+ED＝2AB+a＝16+a＝AE＝26﹣a，
解得：a＝5cm，
∴GH＝26﹣5＝21（cm），
∵b＝2cm，
∴AG＝2cm，
∴BG＝8﹣2＝6cm，
∴所围成的长方体如图所示，
∴长方体的体积＝8×（5）×6＝120（cm3）．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键．
【题型 9 和差倍分问题】
【例9】（2024春 长春期末）某校组建了90人的合唱队和15人的舞蹈队，根据实际需要，从合唱队中准备抽调部分同学参加舞蹈队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的4倍，则需从合唱队中抽调多少人参
加舞蹈队？
【分析】设需从合唱队中抽调x人参加舞蹈队，根据合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的4倍，即可得出一元一次方程，求解即可．
【解答】解：设需从合唱队中抽调x人参加舞蹈队，
根据题意得：90﹣x＝4（15+x），
解得x＝6，
答：需从合唱队中抽调6人参加舞蹈队．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程．
【变式9-1】（2023秋 未央区月考）我校航进一班有53人，航苗一班有52人．现要从这两个班各抽调一些同学去养老院参加《少年陪伴老人，建立时代交流》的敬老活动．如果从航进一班抽调的人数比航苗一班少9人，那么航进一班剩余的人数恰好是航苗一班剩余人数的倍．请问需要从航苗一班抽调多少人参加这次敬老活动？
【分析】设需要从航苗一班抽调x人参加这次敬老活动，则从航进一班抽调（x﹣9）人，根据抽调后航进一班剩余的人数恰好是航苗一班剩余人数的倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设需要从航苗一班抽调x人参加这次敬老活动，则从航进一班抽调（x﹣9）人，
根据题意得：53﹣（x﹣9）（52﹣x），
解得：x＝32．
答：需要从航苗一班抽调32人参加这次敬老活动．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式9-2】（2022秋 白云区期末）某班学生分两组参加某项活动，甲组有36人，乙组有42人，后来由于活动需要，从甲组抽调了部分学生去乙组，结果乙组的人数是甲组人数的2倍少3人．从甲组抽调了多少学生去乙组？
【分析】设从甲组抽调了x个学生去乙组，根据题中数量关系，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设从甲组抽调了x个学生去乙组，
根据题意得：2（36﹣x）﹣3＝42+x，
解得：x＝9，
答：从甲组抽调了9个学生去乙组．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
【变式9-3】（2024 碑林区二模）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”．
译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？
【分析】根据题干中价格相等的条件列出8x﹣3＝7x+4，求解即可．
【解答】解：设购买物品的人数是x人，
根据题意得，8x﹣3＝7x+4，
解得x＝7，
所以这件物品的价格是8x﹣3＝8×7﹣3＝53（元），
答：购买物品的人数是7人，这件物品的价格是53元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键．
【变式9-4】（2022秋 嘉鱼县期末）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”；马主曰：“我马食半牛”．大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半”，马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半”．按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人几斗粟米？
【分析】设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意，列出方程即可求解．
【解答】解：设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，
根据题意得：x+2x+4x＝5，
解得，
答：羊的主人应当赔偿给禾苗的主人斗粟米．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【题型 10 比例分配问题】
【例10】（2024 重庆模拟）列方程解应用题
中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先
工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋．
（1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？
（2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为7：13，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？
【分析】（1）根据“甲、乙的工作量之和为16000”列方程求解；
（2）根据“改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天”列方程求解．
【解答】解：（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，
则360x+680（x﹣4）＝16000，
解得：x＝18，
答：从开始加工到完成这批布艺红包袋．一共需要18天．
（2）设甲车间每天生产7m个，乙车间每天生产13m个布艺红包袋．
4天后还剩：（个），
由题意得：，
解得：m＝160
经检验：m＝160是原分式方程的解，且符合题意．
∴改进后甲每天产量：160×7＝1120（个）．
答：改进工艺后，甲车间每天生产1120个布艺红包袋．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
【变式10-1】（2024 建邺区开学）超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9：7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域（A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶），在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3：7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱．
【分析】根据题意，先求出原有某品牌纯牛奶45箱，酸牛奶35箱，由新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，可设纯牛奶为2x，酸牛奶为5x，根据A、B两区域的牛奶箱数之比为3：7，列出方程（2x+2）：（5x﹣2）＝3：7，求出新进纯牛奶和酸牛奶各多少箱，再加上原来纯牛奶、酸牛奶的箱数解答即可．
【解答】解：原有某品牌纯牛奶8045（箱），
酸牛奶8035（箱），
设新进的纯牛奶为2x箱，酸牛奶为5x箱，
则根据题意可得：（2x+2）：（5x﹣2）＝3：7，
解得x＝20．
目前纯牛奶有20×2+45＝85（箱），
目前酸牛奶有20×5+35＝135（箱），
答：目前超市中纯牛奶有85箱，酸牛奶有135箱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式10-2】（2024 通州区一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为2：3，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以设非遗文献馆的坐席数有2x个，少年儿童馆坐席数为3x个，则山体阅览区的坐席数4×3x+200＝（12x+200）个，再根据山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设非遗文献馆的坐席数有2x个，少年儿童馆坐席数为3x个，则山体阅览区的坐席数4×3x+200＝（12x+200）个，
由题意可得：2x+3x+（12x+200）＝1900，
解得x＝100，
∴2x＝200，3x＝300，12x+200＝1400，
答：山体阅览区的坐席有1400个、非遗文献馆的坐席有200个、少年儿童馆的坐席有300个．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【变式10-3】（2023春 普陀区期中）甲、乙、丙三人年龄之比是2：3：4，年龄之和为45岁，则最大年龄是几岁？
【分析】根据年龄比和年龄和列出方程求解即可．
【解答】解：设甲的年龄为2x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为4x岁，由题意可得，
2x+3x+4x＝45，
解得x＝5，
∴最大年龄是4x＝20（岁）．
答：最大年龄是20岁．
【点评】本题考查一元一次方程的运用，巧设甲的年龄为2x是关键．
【题型 11 古代问题】
【例11】（2024 庐江县二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度．
【分析】设木头长x尺，根据用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺得：，即可解得答案．
【解答】解：设木头长x尺，
根据题意得：，
解得：x＝6.5，
答：木头的长度是6.5尺．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【变式11-1】（2024 雁塔区二模）《孙子算经》中有一则故事：一位农妇在河边洗碗，官吏问：“你今天为什么洗这么多碗？”农妇回答：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”农妇回答：“客人每两位合用一个饭碗，每三位合用一个汤碗，每四位合用一个菜碗，共用了65个碗．”问农妇家一共来了多少位客人？
【分析】设农妇家一共来了x位客人，则共使用x个饭碗，x个汤碗，x个菜碗，由题意：共用了65
个碗，列出一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设农妇家一共来了x位客人，则共使用x个饭碗，x个汤碗，x个菜碗，
依题意得：xxx＝65，
解得：x＝60．
答：农妇家一共来了60位客人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式11-2】（2024 青秀区开学）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？
（1）设小和尚有x人，请根据题意列方程；
（2）设大和尚有y人，请根据题意列方程；
（3）请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？
【分析】（1）由大、小和尚人数间的关系可得出大和尚有（100﹣x）人，利用馒头数＝3×大和尚人数小和尚人数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
（2）由大、小和尚人数间的关系可得出小和尚有（100﹣y）人，利用馒头数＝3×大和尚人数小和尚人数，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
（3）分别解（1）（2）中的方程即可．
【解答】解：（1）设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人．
依题意得：3（100﹣x）x＝100；
（2）设大和尚有y人，则小和尚有（100﹣y）人．
依题意得：3y（100﹣y）＝100；
（3）选择（1）中的方程：3（100﹣x）x＝100．
解方程得到：x＝75．
所以100﹣x＝25．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
选择（2）中的方程：3y（100﹣y）＝100，
解方程得到：y＝25．
所以100﹣y＝75．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，关键是以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．
【变式11-3】（2024 郸城县模拟）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．
（1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？
（2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由．
【分析】（1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可；
（2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果．
【解答】解：（1）设该店有客房x间，
由题意得，7x+7＝9（x﹣1），
解得x＝8，
得7×8+7＝63（人），
答：该店有客房8间，到了63名房客；
（2）若每间房最多入住4人，得63÷4＝15，
则至少需要16间客房，
由不低于10间但低于20间，给予九折优惠，
得订16间房需要付0.9×25×16＝360（元），
由等于20间或是超过20间的，给予七折优惠，
得订20间房需要付0.7×25×20＝350（元），
∵350＜360，
∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，盈不足问题，方案选择问题，本题的关键是理解两种收费方式，根据优惠选择合适的订房方案．
【变式11-4】（2024 石泉县模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步；现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶．问：速度快的人要走多少步才能追到速度慢的人？
【分析】设速度快的人追上速度慢的人所用时间为t，根据速度慢的人和速度快的人所用时间相等列方程，求出时间，进而求出速度快的人所走的路程即可．
【解答】解：设速度快的人追到速度慢的人所用时间为t，
根据题意列方程得：100t＝60t+100，
解得t＝2.5，
2.5×100＝250（步），
答：速度快的人要走250步才能追到速度慢的人．
【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，根据等量关系列出方程并正确求解是解题的关键．
【变式11-5】（2024 蜀山区一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？
【分析】设大船有x只，则小船有（8﹣x）只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元【能力提升】一元一次方程的应用 题型归纳
【题型 1 行程问题】
【例1】（2024秋 绿园区月考）一个大从县城骑车去乡村．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，需要再骑2千米才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程．
【变式1-1】（2024 雷州市开学）甲、乙二人分别开私家小轿车同时从徐闻大汉三墩旅游区（汉代海上丝绸之路始发巷）出发前往麻章湖光岩风景名胜区自驾游．已知当甲走了全程的时，乙离湖光岩风景名胜区还有99千米；当甲再走剩下路程的一半时，乙正好走了一半的路程（全程中，甲、乙速度均不变）．
（1）徐闻大汉三墩旅游区与麻章湖光岩风景名胜区相距多少千米？
（2）若甲用1小时30分钟跑完全程，则乙跑完全程的速度是多少？
【变式1-2】（2024 苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
① ．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
【变式1-3】（2024秋 南岗区月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：
（1）船在静水中的平均速度；
（2）甲、乙两地之间的距离．
【题型 2 工程问题】
【例2】（2024秋 香坊区期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【变式2-1】（2023秋 陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【变式2-2】（2024秋 道里区月考）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整16平方米，乙队计划每天修整24平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用20天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天．
（1）求这项工程共需修整绿化带多少平方米？
（2）此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%，且每天工资随之上涨了20%，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？
（3）在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资300元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？
【变式2-3】（2023秋 岳阳期末）（列方程解应用题）为了打赢蓝天保卫战，共筑魅力和谐长沙，长沙市环保局对湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天完成30米，乙工程队每天完成50米．
（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？
（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙工程队分别整治了多长的河道？
【变式2-4】（2024 耒阳市开学）有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早几天完工？需要支付速度最快的队伍多少元？
【题型 3 配套问题】
【例3】（2024秋 南岗区期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【变式3-1】（2023秋 龙门县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【变式3-2】（2024 九龙坡区模拟）某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同．
（1）前3天应先安排多少名工人生产？
（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？
【变式3-3】（2023秋 信州区期末）某工厂现有15m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿．
（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少m3．
（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：
①如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
②如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【变式3-4】（2024 新城区模拟）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲零件或2000个乙零件，2个甲零件要配3个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？
【变式3-5】（2023秋 舞阳县期末）某工厂车间有28个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
（1）求该工厂有多少工人生产A零件？
（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
【题型 4 销售盈亏问题】
【例4】（2024秋 南岗区期中）某家电商场在双十一活动前共投入68000元，购进A、B两种品牌的微波炉共100台，其中A品牌微波炉每台进价是500元，B品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进A、B两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，A品牌微波炉每台售价800元，B品牌微波炉每台按进价加价25%销售，求全部售磬后，该家电商场共获利多少元？
（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批A、B两种品牌的微波炉进行销售，其中A品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；B品牌微波炉购进数量增加10%，进价不变，售价提高10%，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台B品牌微波炉打九折出售？
【变式4-1】（2023秋 漳州期末）漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱．
（1）求这批蜜柚有多少千克？
（2）某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
红蜜柚 2.8 5
白蜜柚 2.2 3.5
求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？
【变式4-2】（2023秋 沂南县期末）某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
每天售出的数量（支） ﹣2 +4 0 ﹣5 +7
（1）在这5天中，第一天售出该种钢笔 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 支；
（2）求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润；
（3）该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案：
方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元；
方案二：每支均打七五折销售．
在促销期间，王老师在该文具店购买x（x＞5）支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同．
【变式4-3】（2023秋 淄博期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%？
【变式4-4】（2023秋 凤翔区期末）某一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
（1）A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ；
（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？
【变式4-5】（2023秋 广汉市期末）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为40%；乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于560元 不优惠
超过560元，但不超过700元 按售价打九折
超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？
【题型 5 比赛积分问题】
【例5】（2024秋 南岗区期中）“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
（1）由表格知，答对一题得 分，答错一题得 分；
（2）第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【变式5-1】（2023秋 谷城县期末）某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）这次竞赛中答对一题得 分，答错一题得 分；
（2）参赛者F得分为82分，求他答错了几道题？
（3）参赛者G说他的得分为75分，你认为可能吗？请说明理由．
【变式5-2】（2024 邱县一模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金 （元/人） 1500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？
【变式5-3】（2023秋 章贡区期末）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛．如表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况．
代表队 场次（场） 胜（场） 平（场） 负（场） 积分（分）
A 6 5 1 0 16
B 6 6 0 0 18
C 6 3 2 1 11
D 6 3 1 2 10
（1）本次比赛中，胜一场积 分；
（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出F代表队胜出的场数．
【变式5-4】（2022秋 硚口区期末）下表是某市大学生中国象棋锦标赛第一阶段比赛的部分参赛队的不完整积分表．
参赛队 局次 胜 和 负 积分
A 9 6 3 0 21
B 9 5 3 1 18
C 9 1 14
D 9 2 4 3 10
E 9 0 0 9 0
观察表格，请解决下列问题：
（1）本次比赛胜一局得 分，和一局得 分，负一局得 分．
（2）根据积分规则，请求出C队在已经进行的9局比赛中胜、和各多少局？
（3）此次比赛每个队共对弈21局，若D队最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为D队的最终得分可以等于39分吗？
【题型 6 方案选择问题】
【例6】（2023秋 武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 元；若该球馆按方案二购买，需付款 元；
（2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
（3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【变式6-1】（2024秋 合肥期中）因教学需要，学校准备订购50个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：
A方案：买一个排球送一根跳绳；
B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款．
假设订购跳绳x根（x＞50）．
（1）若按A方案购买，一共需付款 元；若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的式子表示）
（2）购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？
【变式6-2】（2024秋 大连期中）暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折．
当参加研学的总人数是x（x＞50）时．
（1）请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元；
（2）当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由；
（3）当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的．
【变式6-3】（2024秋 南岗区月考）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
（1）每件服装标价多少元？
（2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费．
（3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？
【题型 7 数字问题】
【例7】（2024秋 沙坪坝区期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）．
（1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ；
（2）请把﹣2，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方；
拓展延伸：
（3）如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把﹣5，﹣2，1，4，7，10，13，16，19分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和S都相等．请填出使S的值最大时的一种情形，并直接写出S的最大值和最小值．
【变式7-1】（2024秋 邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等．
（1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ ，b＝ ；
（2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值．
【变式7-2】（2024秋 江汉区期中）材料：
幻方起源于中国，如左图是中国文化中最古老的事物之一——“洛书”，将图中的各处点数顺次填到如图的正方形方格中，就得到一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，如图的幻方和是15．
问题：
下列三个图都是没有填完整的幻方．
（1）如图（1），直接写出图中x，y值以及幻方和；
（2）如图（2），将﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9等9个数填到幻方的方格中；
（3）如图（3），已知三个数a，b，c，当x＝﹣1时，代数式ax4+bx3+c（1﹣x）﹣2的值为2024，直接写出方格①中填入的数字．
【变式7-3】（2024秋 南海区期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和＝中心数×3．
（1）如图2所示，则幻和＝ ；（2）若b＝4，c＝6，求a的值是 ；
（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为多少？（写出求解过程）
【变式7-4】（2024秋 昆明月考）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．
（1）如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为 ；
（2）①如图3，当a＝ 时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等；
②若将﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则b＝ ；
将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由．
【变式7-5】（2024秋 浦东新区月考）如图1，将九个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．
（1）请利用三阶幻方的性质填满图2；
（2）走法是每步直一格再斜一格，即先横着或直着走一格，然后再斜着走一个对角线，可进可退．中国象棋中的马可越过河界，俗称“马走日”，则在图二的左下角一点放入一个马，是否可以不遗漏的走完图二边框的所有点？若能，请直接写出最少需要几步，若不能，请说明理由．
【题型 8 几何问题】
【例8】（2024秋 香坊区月考）某公园有一处长方形空地如图1所示，它的长是10米，宽是长的．
（1）求长方形的宽；
（2）为美化环境，现计划将大长方形内部建一个小长方形花坛（花坛的宽度忽略不计），如图2，小长
方形的面积比剩余空白部分面积大，求剩余空白部分的面积；
（3）在（2）的条件下，在小长方形花坛中种植花卉，在剩余空白部分铺草坪，经市场调研了解，种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，求种草的总费用比种植花卉的总费用节约几分之几．
【变式8-1】（2024 南海区开学）足球的表面是由若干块黑色五边形的白色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共有32块皮块，白色皮块占球面的表面积约是黑色皮块所占的表面积的1.5倍，已知球体的表面积计算公式是S＝4πR2（R为球的半径）．
（1）黑色和白色皮块各有多少块？
（2）若一个足球的半径R为10cm，黑色皮块所占的面积约为多少？（π取3.14）
【变式8-2】（2024春 萨尔图区期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【变式8-3】（2024春 宜城市期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案．
【变式8-4】（2024春 镇平县月考）如图，在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝5cm，BC＝9cm，请认真观察思考并解答如下问题：
（1）求小长方形的长和宽；（2）直接写出阴影部分图形的总面积为 ．
【变式8-5】（2023秋 惠东县期末）综合运用
如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm．点P从点B开始以2cm/s的速度沿B→C→A的方向移动，终点为A；点Q从点A开始以1cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，终点为C．如果点P，点Q同时出发，用t（s）表示移动时间．
（1）点P到达终点时所需时间为 s，点Q到达终点时所需时间为 s；
（2）若点P在线段BC上运动，点Q在线段AB上运动，试求出t为何值时，BQ＝BP；
（3）点Q在运动时，试求出t为何值时，三角形QAC的面积等于三角形ABC面积的．
【变式8-6】（2024秋 沙坪坝区期中）工人将一个长方形纸块ABCD进行切割，得到如图所示的3个长方形，其中AD＝26cm，AB＝8cm，ED＝a cm，AG＝b cm．
（1）如图1，若长方形AGHE与长方形EFCD的周长相等，请用含a的代数式表示AG的长度和长方形GBFH的周长；
（2）如图2，将长方形EFCD按照虚线继续切割成两个小长方形分别作为一个长方体的上、下底面，将长方形GBFH折叠为这个长方体的侧面，若b＝2cm，请求出此长方体的体积．
【题型 9 和差倍分问题】
【例9】（2024春 长春期末）某校组建了90人的合唱队和15人的舞蹈队，根据实际需要，从合唱队中准备抽调部分同学参加舞蹈队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的4倍，则需从合唱队中抽调多少人参加舞蹈队？
【变式9-1】（2023秋 未央区月考）我校航进一班有53人，航苗一班有52人．现要从这两个班各抽调一些同学去养老院参加《少年陪伴老人，建立时代交流》的敬老活动．如果从航进一班抽调的人数比航苗一班少9人，那么航进一班剩余的人数恰好是航苗一班剩余人数的倍．请问需要从航苗一班抽调多少人参加这次敬老活动？
【变式9-2】（2022秋 白云区期末）某班学生分两组参加某项活动，甲组有36人，乙组有42人，后来由于活动需要，从甲组抽调了部分学生去乙组，结果乙组的人数是甲组人数的2倍少3人．从甲组抽调了多少学生去乙组？
【变式9-3】（2024 碑林区二模）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”．
译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？
【变式9-4】（2022秋 嘉鱼县期末）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”；马主曰：“我马食半牛”．大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半”，马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半”．按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人几斗粟米？
【题型 10 比例分配问题】
【例10】（2024 重庆模拟）列方程解应用题
中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋．
（1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？
（2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为7：13，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？
【变式10-1】（2024 建邺区开学）超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9：7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2：5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域（A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶），在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3：7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱．
【变式10-2】（2024 通州区一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为2：3，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．
【变式10-3】（2023春 普陀区期中）甲、乙、丙三人年龄之比是2：3：4，年龄之和为45岁，则最大年龄是几岁？
【题型 11 古代问题】
【例11】（2024 庐江县二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度．
【变式11-1】（2024 雁塔区二模）《孙子算经》中有一则故事：一位农妇在河边洗碗，官吏问：“你今天为什么洗这么多碗？”农妇回答：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”农妇回答：“客人每两位合用一个饭碗，每三位合用一个汤碗，每四位合用一个菜碗，共用了65个碗．”问农妇家一共来了多少位客人？
【变式11-2】（2024 青秀区开学）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？
（1）设小和尚有x人，请根据题意列方程；
（2）设大和尚有y人，请根据题意列方程；
（3）请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？
【变式11-3】（2024 郸城县模拟）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．
（1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？
（2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由．
【变式11-4】（2024 石泉县模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步；现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶．问：速度快的人要走多少步才能追到速度慢的人？
【变式11-5】（2024 蜀山区一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？
【题型 12 日历问题】
【例12】（2024秋 鼓楼区期中）如图是2024年1月的日历表；
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
（1）在表中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，求U形框中的五个数字之和；
（2）在表中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，求这五个数字中最大的数．
【变式12-1】2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数．
（1）若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为 ．
（2）用式子表示“X”形框内五个数的和．
（3）“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120？若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由．
